4.1.2 无理数指数幂及其运算性质-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦无理数指数幂及其运算性质核心知识点，从有理数指数幂自然过渡，通过探究明确无理数指数幂是确定实数，系统梳理并推广实数指数幂运算性质，构建完整指数幂运算体系，为后续指数函数学习奠定基础支架。 资料以问题驱动探究提升数学抽象素养，如通过不足与过剩近似值逼近理解无理数指数幂确定性，例题链接教材并总结类题通法强化数学运算，分层练习结合实际问题（如酒精浓度计算）培养数学建模。课中助力教师引导学生抽象概括，课后学生可分层巩固，弥补知识盲点。

4.1.2　无理数指数幂及其运算性质　　► 对应学生用书P92 学习目标　1.能结合教材探究、了解无理数指数幂，提升数学抽象素养．(重点、难点)　2.结合有理数指数幂的运算性质掌握实数指数幂的运算性质，提升数学运算素养．(重点) 　无理数指数幂的运算 问题1　阅读教材P108探究，思考是否是一个确定的实数？ 提示：当的不足近似值x和过剩近似值y逐渐逼近时，5x和5y都趋向于同一个数，它是一个确定的实数． 问题2　能否把有理数指数幂的运算性质推广到实数指数幂运算？ 提示：可以． 1．无理数指数幂 一般地，无理数指数幂aα(a>0，α为无理数)是一个确定的实数． 2．实数指数幂的运算法则 (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)； (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)； (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)； (4)拓展：＝ar－s(a>0，r，s∈R)． 例1　(链接教材：人教A版P109练习1)计算下列各式的值： ； (2)； (3). 解：(1)原式＝＝25＝32. (2)原式＝＝23×3＝24. (3)原式＝. 类题通法 　　　　　 (1)无理数指数幂的运算性质与有理数指数幂的运算性质相同； (2)若式子中含有根式，一般把底数中的根式化为指数式，指数中的根式可以保留直接运算． 　　　　　　 【迁移运用】 1.计算下列各式： ； ÷aπ. 解：(1)原式＝＝36×22＝2 916. (2)原式＝. 　条件求值问题 问题3　2和2存在怎样的等量关系？ 提示：2－2＝4. 问题4　已知的值，如何求a＋的值？反之呢？ 提示：设＝m，则两边平方得a＋＝m2－2；反之，若设a＋＝n(a>0)，则n＝m2－2，即m＝，故. 解决条件求值问题的思路及常见变形 (1)整体代换法的思路： (2)常见变形： ＝a－b； 2＝＋b； ＝a±b(a，b均使式子有意义)． 例2　(链接教材：人教A版P110习题4.1T7)(1)已知am＝4，an＝3，则的值为(　　 ) A． B．6 C． D．2 解析：选A.. (2)已知，则x2＋x-2＝________． 解析：将，两边平方得x＋x-1＋2＝5，则x＋x-1＝3， 两边再平方得x2＋x-2＋2＝9，所以x2＋x-2＝7. 答案：7 类题通法 　　 (1)把所要求的式子先进行变形，找出与条件的联系，再求值． (2)对条件加以变形，使它与所求的式子联系更加明显，从整体上把握代数式的结构特点，然后求值． 　　　　　　　　　　 【迁移运用】 2.(1)若a>0，且ax＝3，ay＝5，则＝__________． 解析：. 答案：9 (2)已知x＋x-1＝7，则＝________． 解析：设m＝，两边平方得m2＝x＋x-1＋2＝7＋2＝9， 因为m>0，所以m＝3，即＝3. 答案：3 　实际问题中的指数运算 例3　(链接教材：人教A版P110T9)从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升，然后加满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满，以此继续下去，则至少应倒________次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于10%. 解析：由题意，得第n次操作后纯酒精体积与总溶液的体积之比为，令<，验证可得n≥4. 所以至少应倒4次后才能使酒精的浓度低于10%. 答案：4 温馨提示 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 指数运算在实际问题中的应用 在成倍数递增(递减)、固定增长率等问题中，常常用到指数运算，用来计算增减的次数、增减前后的数量等．) 　　　　　　　　　 1．＝(　　 ) 解析：选. 2．计算的结果是(　　 ) A．π B． C．－π D． 解析：选D.原式＝＝π-1＝. 3．(2025·北京西城期末)已知3a＝2，9b＝36，则a－b＝(　　 ) A． B．－ C．1 D．－1 解析：选D.由9b＝36，得3b＝6，而3a＝2，则3a－b＝＝3-1，所以a－b＝－1. 4．已知＝5(x>0)，那么＝(　　 ) A． B．－ C．± D．7 解析：选＋2＝5＋2＝7.又x>0，故. [课后分层练(二十九)]　无理数指数幂及其运算性质 (单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分) 【基础巩固】 1．下列运算结果不正确的是(　　 ) B．当a>0时，(ar)s＝(as)r C．是一个确定的实数 ＝8 解析：选A.根据实数指数幂的运算，A不正确． 2．下列运算中正确的是(　　 ) B．(－a2)3＝(－a3)2 C．0＝1 D．5＝－ 解析：选，故A错误； (－a2)3＝－a2×3＝－a6，(－a3)2＝a6，故B错误； 当a＝4时，0无意义，故C错误； 5＝－，故D正确． 3．(2025·甘肃酒泉期末)已知m>0，则化为(　　 ) C．m D．1 解析：选＝m. 4．已知10m＝3，10n＝4，则＝(　　 ) A． B． C． D． 解析：选. 5．已知＝4，则的值是(　　 ) A．15 B．12 C．16 D．25 解析：选A.因为＝4，所以m＋m-1＝2－2＝16－2＝14， 又由立方差公式＝m＋1＋m-1＝15. 6．(多选)下列根式与分数指数幂的互化正确的是(　　 ) A． (x>0) (x≠0) (x>0) 解析：选BD.对A，当y<0时，，故A错误； 对(x>0)，故B正确； 对(x≠0)，故C错误； 对(x>0)，故D正确． 7．若10x＝3，10y＝4，则102x－y＝________． 解析：∵10x＝3，∴102x＝9，∴102x－y＝. 答案： 8．如果在某种细菌培养过程中，细菌每10分钟分裂一次(1个分裂成2个)，那么经过1小时，一个这种细菌可以分裂成________个． 解析：经过1小时可分裂6次，可分裂成26＝64(个)． 答案：64 9．＝_________________________________. 解析：原式＝ ＝＋a－a-1＝a＋a-1＋a－a-1＝2a. 答案：2a 【综合运用】 10．(多选)(2025·江苏南通模拟)下列运算(化简)中正确的有(　　 ) a·(4y－a)＝4x －-1＋0＝3－2 ÷＝ 解析：选ABD.对于，故A正确； 对于a·(4y－a)＝4·＝4x，故B正确； 对于－-1＋0＝－1－＋1＝1，故C错误； 对于÷＝，故D正确． 11．已知函数f(x)＝x为偶函数，则a＝(　　 ) A．－1 B．－2 C．2 D．1 解析：选A.因为函数f(x)＝x为偶函数，所以f(x)＝f(－x)， f(x)＝x＝x， f(－x)＝－x＝－x＝－x＝－x， 所以－x＝x，即得－[(a＋2)2x＋a]＝a×2x＋a＋2， 可得(2a＋2)(2x＋1)＝0，x∈R， 又2x>0，所以a＝－1. 12．(1)已知a2x＝3，求的值； (2)已知a>0，b>0，且ab＝ba，b＝8a，求a的值． 解：(1)原式 ＝. (2)∵a>0，b>0，又ab＝ba，b＝8a， ∴，即a＝，∴，∴a＝. 【创新探索】 13．(2025·江苏镇江模拟)自“ChatGPT”横空出世，全球科技企业掀起一场研发AI大模型的热潮，随着AI算力等硬件底座逐步搭建完善，AI大规模应用成为可能，尤其在图文创意、虚拟数字人以及工业软件领域已出现较为成熟的落地应用．Sigmoid函数和Tanh函数是研究人工智能被广泛使用的2种用作神经网络的激活函数，Tanh函数的解析式为tan h x＝，经过某次测试得知tan h x0＝，则当把变量减半时，＝(　　 ) A． B． C． D． 解析：选A.∵tan h x0＝， ∴＝9，则＝－3(舍)． ∴tan h. 14．已知函数f(x)＝. (1)求f，f(3)＋f(－2)的值； (2)求f(x)＋f(1－x)的值； (3)利用(2)的结论求f的值． 解：(1)f＝1. f(3)＋f(－2)＝＝1. (2)f(x)＋f(1－x)＝＝1. (3)由(2)知f. 学科网（北京）股份有限公司 $