3.4 函数的应用(一)　-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦函数的应用(一)核心知识点，系统梳理一次函数、二次函数、分段函数及幂函数模型的解析式与应用场景，构建“审题-建模-求模-还原”的问题解决流程，以实际案例为支架衔接函数理论与生活应用。 资料以真实情境案例（如班级饮水费用测算、学生注意力变化分析）引导学生用数学眼光抽象函数模型，通过“类题通法”总结与分层练习（基础到创新）培养数学思维中的推理与运算能力，课中助力教师高效授课，课后便于学生查漏补缺，强化建模与应用意识。

3.4　函数的应用(一)　　　　　　► 对应学生用书P83 学习目标　1.了解函数模型(如一次函数、二次函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用，提升数据分析素养．(重点)　2.能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题，提升数学建模素养．(重点、难点) 1．教材挖掘：(1)阅读教材P93～94，分析思考：用函数解决实际问题的一般过程． 提示：审题，建模，求模，还原． (2)如果总体由几部分不同环节构成，应该使用哪种函数模型？ 提示：分段函数模型． 2．判断是非：判断下面结论是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)当x每增加一个单位时，y增加或减少的量为定 值，则y是x的一次函数．(　　 ) (2)对于自变量在不同范围内，对应关系不同的函数关系一般可以用分段函数表示．(　　 ) (3)一个好的函数模型，既能与现有数据高度符合，又能很好地推演和预测．(　　 ) (4)用函数模型预测的结果和实际结果必须相等，否则函数模型就无存在意义了．(　　 ) 答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)× 　函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 分段函数模型 f(x)＝ 幂函数模型 f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0) 例1　(链接教材：人教A版P93例1)某校高一(8)班共有学生50人，据统计，原来每人每年用于购买饮料的平均支出是a元．经测算和市场调查，若该班学生集体改饮某品牌的桶装纯净水，则年总费用由两部分组成，一部分是购买纯净水的费用，另一部分是其他费用780元，其中纯净水的销售价x(元/桶)与年购买总量y(桶)之间满足如图所示的关系． (1)求y与x的函数关系． (2)若该班每年需要纯净水380桶，且a为120，请你根据提供的信息分析一下：该班学生集体改饮纯净水与个人买饮料相比，哪一种花钱更少？ 解：(1)由题意，可设y与x的函数关系为y＝kx＋b， 把(4，400)，(5，320)代入， 得解得 所以y＝－80x＋720. (2)当a＝120时，若购买饮料，则总费用为120×50＝6 000(元)； 若集体改饮桶装纯净水，设所有的费用为w元， 由380＝－80x＋720，得x＝4.25(元/桶). 所以ω＝380×4.25＋780＝2 395(元)<6 000(元)， 所以该班学生集体改饮桶装纯净水更省钱． 类题通法 (1)特点：图象是一条直线； (2)方法：求一次函数解析式的常用方法是待定系数法； (3)单调性：当一次项系数为正时，一次函数为增函数；当一次项系数为负时，一次函数为减函数. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【迁移运用】 (多选)甲、乙两人在一次赛跑中，路程y与时间x的函数关系如下图所示，则下列说法不正确的是(　　) A．甲比乙先出发 B．乙比甲跑的路程多 C．甲、乙两人的速度相同 D．甲先到达终点 解析：选ABC.根据图象可以看出，甲、乙两人同一时间从同一地点出发，两人路程一样，显然甲所用时间短，两人速度不同，甲先到达终点． 　函数模型样例 角度一　幂函数与二次函数模型 例2　(链接教材：人教A版P95练习2)如图，某渠道的截面是一个等腰梯形，上底AD长为一腰和下底长之和，且两腰AB，CD与上底AD之和为8米．设腰长为x米． (1)将渠道的截面面积S表示为腰长x的函数关系式； (2)等腰梯形的腰与上、下底长各为多少米时，截面面积最大？并求出截面面积S的最大值． 解：(1)腰AB＝CD＝x米，则上底AD为(8－2x)米，下底BC为(8－3x)米， 所以由勾股定理得梯形的高为x米． 由x>0，8－2x>0，8－3x>0，可得0<x<. 所以S＝[(8－2x)＋(8－3x)]×x＝(－5x2＋16x)， 即S＝(－5x2＋16x)(0<x<). (2)因为S＝(－5x2＋16x)＝－(x－)2＋，所以x＝∈(0，)时，Smax＝. 此时，腰长AB＝米，上底AD＝米，下底BC＝米，最大截面面积为 平方米． 角度二　分段函数模型 例3　(链接教材：人教A版P94例2)经研究发现，学生的注意力与老师的授课时间有关，开始授课时，学生的注意力逐渐集中，到达理想的状态后保持一段时间，随后开始逐渐分散，用f(x)表示学生的注意力，x表示授课时间(单位：分)，实验结果表明f(x)与x有如下关系： f(x)＝ (1)开始授课后多少分钟，学生的注意力最集中？能维持多长时间？ (2)若讲解某一道数学题需要55的注意力以及10分钟的时间，老师能否及时在学生一直达到所需注意力的状态下讲完这道题？ 解：(1)由题意得，当0<x<10时，f(x)＝5x＋9，此时函数单调递增； 当10≤x≤16时，函数f(x)取得最大值，此时f(x)＝59； 当16<x≤30时，f(x)＝－3x＋107，此时函数单调递减． 所以开始授课后10分钟，学生的注意力最集中，能维持6分钟． (2)当0<x<10时，令f(x)≥55，即5x＋9≥55， 解得9.2≤x<10，集中注意力时间共10－9.2＝0.8(分钟)； 当10≤x≤16时，f(x)＝59>55，集中注意力时间共6分钟； 当16<x≤30时，令f(x)≥55，即－3x＋107≥55，解得16<x≤， 则集中注意力时间共－16＝(分钟)， 因为0.8＋6＋＝<10， 所以老师不能及时在学生一直达到所需注意力的状态下讲完这道题． 类题通法 分段函数模型的求解技巧 (1)在求解析式时，应先确定分“段”，即函数分成几段，并抓住“分界点”，确保分界点“不重不漏”． (2)求函数值时，先确定自变量的值所属的区间，再代入；同样，已知函数值，求解自变量的值时，就是解方程的过程，即每段都令y取已知函数值，解出相应x的值，再判断是否属于所在区间． 1．一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是(　　) A．一次函数模型 B．二次函数模型 C．分段函数模型 D．无法确定 解析：选C.由s与t的图象，可知t分4段，则函数模型为分段函数模型． 2．已知某炮弹飞行高度h(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系式为h＝130t－5t2，则炮弹飞行高度高于240 m的时间长为(　　) A．22 s B．23 s C．24 s D．25 s 解析：选A.根据题意可得130t－5t2>240，解得2<t<24，则炮弹飞行高度高于240 m的时间长为24－2＝22(s). 3．(2025·江苏连云港模拟)某小型服装厂生产一种风衣，日销货量x件(单位：件)(x∈N*)与货价p(单位：元/件)之间的关系为p＝160－2x，生产x件所需成本C＝100＋30x(单位：元)，当工厂日获利不少于1 000元时，该厂日产量最少生产风衣的件数是______．(假设生产的所有产品都能售完) 解析：由题意，设该厂日获利为y元，则y＝(160－2x)x－(100＋30x)＝－2x2＋130x－100， 当工厂日获利不少于1 000元时，即－2x2＋130x－100≥1 000， 即x2－65x＋550≤0，得(x－10)(x－55)≤0，解得10≤x≤55. 故该厂日产量最少生产风衣的件数是10. 答案：10 [课后分层练(二十七)]　函数的应用(一) (单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分) 【基础巩固】 1．国内快递1 000 g以内的包裹的邮资标准如下表： 运送距离x(km) 0＜x≤500 500＜x≤1 000 1 000＜x≤1 500 … 邮资y(元) 5.00 6.00 7.00 … 如果某人在西安要快递800 g的包裹到距西安1 200 km的某地，那么他应付的邮资是(　　) A．5.00元 B．6.00元 C．7.00元 D．8.00元 解析：选C.由题意可知，当x＝1 200 km时，y＝7.00元． 2．某商家准备在春节来临前连续2次对某一商品销售价格进行提价且每次提价10%，然后在春节活动期间连续2次对该商品进行降价且每次降价10%，则该商品的最终售价与原来价格相比(　　) A．略有降低 B．略有提高 C．相等 D．无法确定 解析：选A.设现价为b，原价为a，则b＝a(1＋10%)2(1－10%)2＝(1－0.01)2a<a. 3．向一杯子中匀速注水时，杯中水面高度h随时间t变化的函数h＝f(t)的图象如图所示，则杯子的形状是(　　) 解析：选A.从题图中看出，在时间段[0，t1]，[t1，t2]内水面高度是匀速上升的，在[0，t1]上升慢，在[t1，t2]上升快． 4．(2025·四川自贡期末)某班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙(墙足够长)的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、三角形、弓形这三种方案，最佳方案是(　　) A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案1或方案2 解析：选C.方案1：设AD＝x米，则AB＝(8－2x)米， 则菜园面积s＝x(8－2x)＝－2x2＋8x＝－2(x－2)2＋8， 当x＝2时，此时菜园最大面积为8 m2； 方案2: 依题意AB＋AC＝8，则8＝AB＋AC≥2，所以AB·AC≤16，当且仅当AB＝AC＝4时取等号， 所以S△ABC＝AB·AC sin A≤8sin A≤8，即(S△ABC)max＝8当且仅当AB＝AC＝4，∠BAC＝90°时取等号； 方案3：若弓形为半圆，则半圆的半径＝米， ∴此时菜园最大面积＝＝m2>8 m2. 5．随着社会的发展，小汽车逐渐成了人们日常的交通工具．小王在某段时间共加92号汽油两次，两次加油单价不同．现在他有两种加油方式：第一种方式是每次加油200元，第二种方式是每次加油30升．我们规定这两次加油哪种加油方式的平均单价低，哪种就更经济，则更经济的加油方式为(　　) A．第一种 B．第二种 C．两种一样 D．不确定 解析：选A.设第一次的油价为x1，第二次的油价为x2，且x1≠x2， 第一种加油方式的平均油价为y1＝＝， 第二种加油方式的平均油价为y2＝＝， 因为y2－y1＝－＝>0，则y1<y2， 因此，更经济的加油方式为第一种． 6．(多选)某部影片的盈利额(即影片的票房收入与固定成本之差)记为y，观影人数记为x，y关于x的函数图象如图(1)所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图(2)、图(3)中的实线分别为调整后y关于x的函数图象．给出下列四种说法，其中正确的说法是(　　) A．图(2)对应的方案是：提高票价，并提高固定成本 B．图(2)对应的方案是：保持票价不变，并降低固定成本 C．图(3)对应的方案是：提高票价，并保持固定成本不变 D．图(3)对应的方案是：提高票价，并降低固定成本 解析：选BC.由图(1)可设y关于x的函数y＝kx＋b，k>0，b<0，k为票价，当k＝0时，y＝b，则－b为固定成本，由图(2)知，直线向上平移，k不变，即票价不变，b变大，则－b变小，固定成本减小，故A错误，B正确；由图(3)知，直线与y轴的交点不变，直线斜率变大，即k变大，票价提高，b不变，即－b不变，固定成本不变，故C正确，D错误． 7．(多选)甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系，下列结论正确的是(　　) A．甲同学从家出发到乙同学家走了60 min B．甲从家到公园的时间是30 min C．甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快 D．当0≤x≤30时，y与x的关系式为y＝x 解析：选BD.在A中，甲在公园休息的时间是10min，所以只走了50min，A错误；由题中图象知，B正确； 甲从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长，而距离相等，所以甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢，C错误； 当0≤x≤30时，设y＝kx(k≠0)，则2＝30k，解得k＝，D正确． 8．某市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层．某建筑物准备建造可以使用30年的隔热层，据当年的物价，每厘米厚的隔热层的建造成本是9万元．根据建筑公司的前期研究得到，该建筑物30年间每年的能源消耗费用N(单位：万元)与隔热层的厚度h(单位：厘米)满足关系：N(h)＝(0≤h≤10).经测算知道，如果不建造隔热层，那么30年间每年的能源消耗费用为10万元．设F(h)为隔热层的建造费用与30年间的能源消耗费用的总和，那么使F(h)达到最小值的隔热层的厚度h＝________厘米． 解析：由题意及N(h)＝，可得N(0)＝＝10，即m＝40， ∴N(h)＝. 隔热层的建造费用与30年间的能源消耗费用的总和F(h)＝30N(h)＋9h＝＋9h＝＋3(3h＋4)－12≥2－12＝108(万元)， 当且仅当＝3(3h＋4)，即h＝(厘米)时F(h)达到最小值． 答案： 9．要建造一个高为3米，容积为48立方米的无盖长方体蓄水池．已知池底的造价为每平方米1 500 元，池壁的造价为每平方米1 000元．该蓄水池的总造价y(元)关于池底一边的长度x(米)的函数关系为________． 解析：根据条件，该蓄水池的总造价y元，池底一边的长度x米，底面另一边长为米， ∴长方体的底面积为16，侧面积为3×2(x＋)，由题意得y＝6 000(x＋)＋1 500×16，x>0. 答案：y＝6 000(x＋)＋1 500×16，x>0 10．(2025·安徽安庆模拟)随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产x台，需另投入成本G万元，且G＝由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． (1)写出年利润W万元关于年产量x台的函数解析式(利润＝销售收入－成本)； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 解：(1)当0<x≤40时，W＝200x－－300＝－2x2＋120x－300； 当40<x≤100时，W＝200x－(201x＋－2 100)－300＝－(x＋)＋1 800， 故W＝ (2)若0<x≤40，W＝－2(x－30)2＋1 500，当x＝30时，W(x)max＝1 500万元； 若40<x≤100，W＝－(x＋)＋1 800≤－2＋1 800＝－120＋1 800＝1 680， 当且仅当x＝时，即x＝60时，W(x)max＝1 680万元， 由于1 680>1 500，故该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1 680万元． 【综合运用】 11．我国的酒驾标准是指车辆驾驶员血液中的酒精含量大于或者等于20 mg/100 mL，已知一驾驶员某次饮酒后体内每100 mL血液中的酒精含量y(单位：mg)与时间x(单位：h)的关系是：当0<x<时，y＝－x2＋x；当x≥时，y＝，那么该驾驶员在饮酒后至少要经过________h才可驾车． 解析：当0<x<时，y＝－x2＋x＝－(x－2)2＋， 当x＝2时，函数有最大值y＝>20，所以当x＝时，函数值为30>20，所以当0<x<时，饮酒后体内每100 ml血液中的酒精含量大于20 mg/100 ml， 当x≥时，函数y＝单调递减，令y＝＝20⇒x＝5.5，因此饮酒后5.5小时体内每100 ml血液中的酒精含量等于20 mg/100 ml. 答案：5.5 12．李庄村电费收取有以下两种方案供农户选择： 方案一：每户每月收管理费2元，月用电不超过30度每度0.5元，超过30度时，超过部分按每度0.6元． 方案二：不收管理费，每度0.58元． (1)求方案一收费L(x)元与用电量x(度)间的函数关系． (2)李刚家月用电量在什么范围时，选择方案一比选择方案二更好？ 解：(1)当0≤x≤30时，L(x)＝2＋0.5x. 当x>30时，L(x)＝2＋30×0.5＋(x－30)×0.6＝0.6x－1. ∴L(x)＝ (2)设按第二方案收费为F(x)元，则F(x)＝0.58x. 当0≤x≤30时，由L(x)<F(x)，得2＋0.5x<0.58x，∴x>25，∴25<x≤30. 当x>30时，由L(x)<F(x)，得0.6x－1<0.58x，∴x<50，∴30<x<50. 综上，25<x<50. 故李刚家月用电量在25度到50度范围内(不含25、50度)时，选择方案一比方案二更好． 【创新探索】 13．某园林建设公司计划购买一批机器投入施工．据分析，这批机器可获得的利润y(单位：万元)与运转时间x(单位：年)的函数解析式为y＝－x2＋12x－9(x≤11，且x∈N*). (1)当这批机器运转第几年时，可获得最大利润？最大利润为多少？ (2)当运转多少年时，这批机器的年平均利润最大？ 解：(1)y＝－x2＋12x－9＝－(x－6)2＋27， 因为x≤11，且x∈N*，所以当x＝6时，y＝－x2＋12x－9取得最大值， 故这批机器运转第6年时，可获得最大利润，最大利润为27万元． (2)设年平均利润为w， 因为x≤11，且x∈N*，则w＝＝－x－＋12＝12－(x＋)≤12－2＝6， 当且仅当x＝，即x＝3时，等号成立， 故当运转3年时，这批机器的年平均利润最大． 学科网（北京）股份有限公司 $