3.2.2 奇偶性-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦高中数学函数奇偶性，系统梳理概念内涵、判断方法及与单调性的综合应用。从祈年殿对称性情境导入，通过问题链抽象定义，结合图象理解几何意义，再以例题解析、类题通法构建学习支架，形成完整知识脉络。 资料以情境化问题培养数学眼光，如祈年殿对称性引发思考；通过定义辨析（如“∀能否省略”）提升逻辑推理，分层练习兼顾基础与创新。课中例题变式助直观想象，课后分层练可查漏补缺，落实核心素养。

3.2.2　奇偶性 第1课时　函数奇偶性的概念及判断　　► 对应学生用书P73 学习目标　1.结合具体函数，了解函数奇偶性的概念和几何意义，提升数学抽象素养．(重点)　2.掌握函数的奇偶性的判断和证明方法，提升逻辑推理素养．(重点)　3.会用奇偶函数图象的对称性解决简单问题，提升直观想象素养．(重点、难点) 　　　 祈年殿，位于北京天坛公园的世界文化遗产，是明清两代皇帝祈求丰收的圣地．它的前身是“大祀殿”，始建于明永乐十八年(1420年)，是一座鎏金宝顶、蓝瓦红柱、金碧辉煌的彩绘三层重檐圆形大殿． 问题1　该殿图形有何特点？ 提示：既是轴对称图形，又是中心对称图形． 问题2　若该特点运用到函数中，函数的图象关于y轴对称，则该函数是什么函数？ 提示：偶函数． 问题3　若该特点运用到函数中，函数的图象关于原点中心对称，则该函数是什么函数？ 提示：奇函数． 【自主评测】 1．教材挖掘：请认真阅读教材P82～83，分析思考：认为奇偶性定义中的“∀”可以省略吗？ 提示：不可以，具有奇偶性需要每一个自变量x均满足． 2．判断是非：判断下面结论是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数，就是偶函数．(　　 ) (2)存在既是奇函数，又是偶函数的函数．(　　 ) (3)函数f(x)＝x2，x∈[－1，1)是偶函数．(　　 ) (4)若y＝f(x)(x∈R)是偶函数，则一定有f(－1)＝f(1).(　　 ) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 　奇、偶函数　 问题4　观察下列函数图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？ 提示：这两个函数图象都关于y轴对称． 问题5　如何利用符号语言精确地描述“函数图象关于y轴对称”呢？ 提示：f(x)＝f(－x). 问题6　观察函数f(x)＝x和g(x)＝的图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？ 提示：可以发现，这两个函数的图象都关于原点成中心对称图形． 问题7　如何利用符号语言精确地描述“函数图象关于原点对称”呢？ 提示：f(－x)＝－f(x). 类型 偶函数 奇函数 条件 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D 结论 f(－x)＝f(x) f(－x)＝－f(x) 图象特点 关于y轴对称 关于原点对称 温馨提示 　　 （1） 函数的奇偶性是函数的整体性质. （2） 具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 角度一　函数奇偶性的判断 例1　(链接教材：人教A版P84例6)判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x3＋x； (2)f(x)＝＋； (3)f(x)＝； (4)f(x)＝ 解：(1)函数的定义域为R，关于原点对称， 又f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－(x3＋x)＝－f(x)，因此函数f(x)是奇函数． (2)函数f(x)＝＋的定义域为{－1，1}，关于原点对称，此时f(x)＝0，所以函数f(x)＝＋既是奇函数又是偶函数． (3)由1－x2≥0，得－1≤x≤1. 由|x＋2|－2≠0，得x≠0，且x≠－4. 故函数f(x)的定义域是[－1，0)∪(0，1]，关于原点对称．显然x∈[－1，0)∪(0，1]时，x＋2>0. 则f(x)＝＝. ∵f(－x)＝＝－＝－f(x)， ∴f(x)＝是奇函数． (4)方法一：∵函数f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． 当x>0时，－x<0， ∴f(－x)＝(－x)[1－(－x)]＝－x(1＋x)＝－f(x). 当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝－x(1－x)＝－f(x). ∴函数f(x)为奇函数． 方法二：作出函数的图象，如图所示的实线部分：由图可知，该函数为奇函数． 类题通法 判断函数奇偶性的方法 (1) 定义法 （2）图像法 注意：对于分段函数奇偶性的判断，应分段讨论，要注意根据x的取值范围代入相应的函数解析式． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 角度二　奇、偶函数的图象及其应用 例2　(链接教材：人教A版85练习1)已知奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，且在区间[0，5]上的图象如图所示． (1)画出f(x)在区间[－5，0]上的图象； (2)写出使f(x)<0的x的取值集合． 解：(1)因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5，5]上的图象关于原点对称．由y＝f(x)在[0，5]上的图象，可知它在[－5，0]上的图象，如图所示． (2)由图象知，使函数值f(x)<0的x的取值集合为(－2，0)∪(2，5). 变式探究　若将本例(2)中的“奇函数”改为“偶函数”，“f(x)<0”改为“f(x)>0”，其他条件不变，如何解答本题？ 解：由图可知，函数f(x)>0的解集为{x|－2<x<0，或0<x<2}． 类题通法 1.巧用奇偶性作函数图象的步骤 (1)确定函数的奇偶性. (2)作出函数在[0，+∞)（或（-∞,0])上对应的图象. (3)根据奇（偶）函数关于原点(y轴）对称得出在(-∞, 0]（或[0，+∞))上对应的函数图象。 2.奇偶函数图象的应用类型及处理策略 (1)类型：利用奇、偶函数的图象可以解决求值、比较大小及解不等式问题. (2)策略：利用函数的奇偶性作出相应函数的图象，根据图象直接观察. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　利用函数的奇偶性求值 　例3　(1)已知函数f(x)＝x2＋(2－m)x＋m2＋12为偶函数，则m的值是(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 解析：选C.因为函数f(x)＝x2＋(2－m)x＋m2＋12为偶函数， 所以f(x)＝f(－x)， 即x2＋(2－m)x＋m2＋12 ＝(－x)2－(2－m)x＋m2＋12， 即4－2m＝0，所以m＝2. (2)设函数f(x)＝为奇函数，则a＝________． 解析：方法一(定义法)：由已知f(－x)＝－f(x)， 即＝－. 显然x≠0得，x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a， 故a＋1＝0，得a＝－1. 方法二(特值法)：由f(x)为奇函数得 f(－1)＝－f(1)， 即＝－， 整理得a＝－1. 答案：－1 类题通法 利用函数奇偶性求参策略 (1)若表示定义域的区间含有参数，则可利用对称性列出关于参数的方程． (2)一般化策略：对x取定义域内的任一个值，利用f(－x)与f(x)的关系式恒成立来确定参数的值． (3)特殊化策略：根据定义域内关于原点对称的特殊自变量值对应的函数值的关系列方程求解，不过，这种方法求出的参数值要代入解析式检验，看是否满足条件，不满足的要舍去． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【迁移运用】 (1)已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，若f(－3)＝10，则f(3)＝(　　) A．26 B．18 C．10 D．－26 解析：选D.由f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，得f(x)＋8＝x5＋ax3＋bx. 令G(x)＝x5＋ax3＋bx＝f(x)＋8， ∵G(－x)＝(－x)5＋a(－x)3＋b(－x)＝－(x5＋ax3＋bx)＝－G(x)，∴G(x)是奇函数，∴G(－3)＝－G(3)，即f(－3)＋8＝－f(3)－8.又f(－3)＝10， ∴f(3)＝－f(－3)－16＝－10－16＝－26. (2)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝(　　) A．－3 B．－1 C．1 D．3 解析：选C.因为f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，所以f(－x)－g(－x)＝－x3＋x2＋1， 又由题意可知f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，所以f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1， 则f(1)＋g(1)＝1. 1．若函数y＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析：选C.因为函数y＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则f(x)＝f(－x)，那么可知a＝1. 2．f(x)＝x3＋的图象关于(　　 ) A．原点对称 B．y轴对称 C．y＝x对称 D．y＝－x对称 解析：选A.f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．又f(－x)＝(－x)3＋＝－x3－＝－(x3＋)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，∴其图象关于原点对称． 3．函数f(x)＝的奇偶性为(　　 ) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 解析：选D.函数f(x)＝的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，故f(x)是非奇非偶函数． 4．函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－2，2a]，则a＝_______，b＝_______． 解析：由f(x)为偶函数知，其定义域关于原点对称，故有a－2＋2a＝0，解得a＝.又f(x)为偶函数，所以其图象关于y轴对称，即－＝0，解得b＝0. 答案：　0 奇(偶)函数运算性质及复合函数的奇偶性 设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2(D1∩D2≠∅)，在它们的公共定义域内，有以下结论： f(x) g(x) f(x)＋g(x) f(x)－g(x) f(x)g(x) f(g(x)) 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 [课后分层练(二十四)]　函数奇偶性的概念及判断 (单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分) 【基础巩固】 1．对于定义域是R的任意奇函数f(x)，都有(　　 ) A.f(x)－f(－x)>0 B.f(x)－f(－x)≤0 C.f(x)·f(－x)≤0 D.f(x)·f(－x)>0 解析：选C.∵f(x)为奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)，f(x)·f(－x)＝f(x)·[－f(x)]＝－[f(x)]2≤0， 又f(0)＝0，∴－[f(x)]2≤0. 2．已知函数f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝x2＋2，那么f(－1)的值是(　　 ) A.－3 B．－1 C.1 D．3 解析：选A.∵函数f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝x2＋2， ∴f(－1)＝－f(1)＝－(12＋2)＝－3. 3．已知函数f(x)＝(x－1)，则f(x)为(　　) A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数又不是偶函数 解析：选D.因为f(x)＝(x－1)，则≥0，得定义域为[－1，1). 因为f(x)定义域不关于原点对称，则f(x)既不是奇函数又不是偶函数． 4．(2025·河北秦皇岛模拟)已知函数f(x)＝1－|x－2|＋|x|，则下列函数为奇函数的是(　　 ) A.y＝f(x＋1)＋1 B.y＝f(x－1)＋1 C.y＝f(x＋1)－1 D.y＝f(x－1)－1 解析：选C.因为f(x)＝1－|x－2|＋|x|， 所以f(x＋1)－1＝1－|x＋1－2|＋|x＋1|－1＝－|x－1|＋|x＋1|， 令g(x)＝f(x＋1)－1＝－|x－1|＋|x＋1|，定义域为R， 且g(－x)＝－|－x－1|＋|－x＋1|＝－(－|x－1|＋|x＋1|)＝－g(x)， 所以g(x)＝f(x＋1)－1为奇函数，故C正确； 又y＝f(x＋1)＋1＝－|x－1|＋|x＋1|＋2，为非奇非偶函数，故A错误； y＝f(x－1)＋1＝1－|x－1－2|＋|x－1|＋1＝－|x－3|＋|x－1|＋2，为非奇非偶函数，故B错误； y＝f(x－1)－1＝1－|x－1－2|＋|x－1|－1＝－|x－3|＋|x－1|，为非奇非偶函数，故D错误． 5．(多选)已知定义在区间[－7，7]上的一个偶函数，它在[0，7]上的图象如图，则下列说法正确的是(　　) A.这个函数有两个单调增区间 B.这个函数有三个单调减区间 C.这个函数在其定义域内有最大值7 D.这个函数在其定义域内有最小值－7 解析：选BC.由题意作出该函数在[－7，0]上的图象，如图所示． 由图象可知该函数有三个单调递增区间，三个单调递减区间，在其定义域内有最大值7，最小值不为－7. 6．(多选)已知函数f(x)＝mx2＋nx＋3m＋n是偶函数，且其定义域为[m－1，2m]，则(　　) A.m＝3 B.n＝0 C.函数f(x)的定义域为[－，] D.函数f(x)的最大值为 解析：选BCD.因为函数f(x)＝mx2＋nx＋3m＋n是偶函数，所以函数的定义域关于原点对称． 又因为函数f(x)的定义域为[m－1，2m]，所以m－1＋2m＝0，解得m＝，故A错误； 又因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝mx2－nx＋3m＋n＝f(x)＝mx2＋nx＋3m＋n，解得n＝0.所以函数的解析式为f(x)＝x2＋1. 定义域为[－，]，其图象是开口向上，且以y轴为对称轴的抛物线， 所以当x＝±时，f(x)取得最大值，故BCD正确． 7．已知f(x)＝x2＋bx＋1，x∈[－2a，a＋3]是偶函数，则实数a＋b的值为______． 解析：由题设知f(－x)＝f(x)，则(－x)2＋b(－x)＋1＝x2＋bx＋1，得2bx＝0恒成立，故b＝0， 由偶函数的定义域关于原点对称，则－2a＋a＋3＝0，可得a＝3， 所以a＋b＝3. 答案：3 8．若函数f(x)＝为奇函数，则a＝________． 解析：在定义f(－x)＝－f(x)中令x＝1，则f(－1)＝－f(1)， ∴＝－，解得a＝，经检验，符合题意． 答案： 9．判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x2(x2＋2)； (2)f(x)＝|x＋1|－|x－1|； (3)f(x)＝； (4)f(x)＝ 解：(1)∵x∈R，∴－x∈R. 又∵f(－x)＝(－x)2[(－x)2＋2]＝x2(x2＋2)＝f(x)，∴f(x)为偶函数． (2)∵x∈R，∴－x∈R. 又∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数． (3)由得－2≤x≤2，且x≠0，所以定义域为[－2，0)∪(0，2]，关于原点对称， 所以f(x)＝＝＝. 又f(－x)＝＝－＝－f(x)， 所以f(x)是奇函数． (4)函数f(x)的定义域为R，定义域关于原点对称． ①当x＝0时，－x＝0， 所以f(－x)＝f(0)＝0，f(x)＝f(0)＝0， 所以f(－x)＝－f(x)； ②当x>0时，－x<0，所以f(－x)＝－(－x)2－2(－x)－3＝－(x2－2x＋3)＝－f(x)； ③当x<0时，－x>0，所以f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝－(－x2－2x－3)＝－f(x). 综上，可知函数f(x)为奇函数． 【综合运用】 10．设函数f(x)，g(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(　　) A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数 C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数 解析：选C.易知选项ABCD中的函数定义域即为R； 因为f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，所以f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)， 对于A，f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)，故f(x)g(x)是奇函数，即A错误； 对于B，|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)，故|f(x)|g(x)是偶函数，即B错误； 对于C，f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，故f(x)|g(x)|是奇函数，即C正确； 对于D，|f(－x)g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|，故|f(x)g(x)|是偶函数，即D错误． 11．(多选)函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2－1，则(　　 ) A.f(－1)＝－1 B．g(－1)＝2 C.f(1)＋g(1)＝1 D．f(1)＋g(1) ＝2 解析：选AC.由f(x)－g(x)＝x3＋x2－1得：f(－x)－g(－x)＝－x3＋x2－1， 又f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，∴－f(x)－g(x)＝－x3＋x2－1； 由 得f(x)＝x3，g(x) ＝－x2＋1； 对于A，f(－1)＝(－1)3＝－1，A正确； 对于B，g(－1)＝－(－1)2＋1＝0，B错误； 对于CD，f(1)＋g(1)＝1－1＋1＝1，C正确，D错误． 12．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为________． 解析：当x>0时，不等式f(x)>x转化为x2－4x>x，∴x>5，由函数是奇函数，图象关于原点对称，因此当x<0时不等式f(x)>x的解集为－5<x<0，综上不等式的解集为(－5，0)∪(5，＋∞). 答案：(－5，0)∪(5，＋∞) 13．已知函数f(x)＝，若f(a)＝，则f(－a)＝________. 解析：根据题意，f(x)＝＝1＋， 而h(x)＝是奇函数， 故f(－a)＝1＋h(－a)＝1－h(a)＝2－[1＋h(a)]＝2－f(a)＝2－＝. 答案： 14．(2025·内蒙古鄂尔多斯期末)已知函数f(x)＝ax＋(a，b∈R). (1)判断f(x)的奇偶性，并用定义进行证明； (2)若b＝2a，试讨论f(x)在(，＋∞)上的单调性． 解：(1)当a＝b＝0时，f(x)＝0(x≠0)既是奇函数也是偶函数； 当a，b不同时为0时，f(x)是奇函数，证明如下： 函数f(x)的定义域为，对于∀x∈，都有－x∈， 且f(－x)＝a(－x)＋＝－(ax＋)＝－f(x)， 故f(x)为奇函数． 综上，当a＝b＝0时，f(x)既是奇函数也是偶函数；当a，b不同时为0时，f(x)是奇函数． (2)当b＝2a时，f(x)＝ax＋＝a. 当a＝0时，f(x)＝0在(，＋∞)上无单调性； 当a≠0时，任取x1，x2∈(，＋∞)，且x1<x2， 则f－f＝a(x1－x2＋－)＝a(x1－x2)·， ∵x1，x2∈(，＋∞)，且x1<x2， ∴x1－x2<0，x1x2>2，x1x2－2>0. 若a>0，则f－f＝a(x1－x2)·<0，即f<f， ∴f(x)在(，＋∞)上单调递增； 若a<0，则f－f＝a(x1－x2)·>0，即f>f， ∴f(x)在(，＋∞)上单调递减． 【创新探索】 15．已知函数f(x)对一切x、y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y). (1)求证：f(x)是奇函数； (2)若f(－3)＝a，试用a表示f(12). 解：(1)证明：由已知f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，令y＝－x得f(0)＝f(x)＋f(－x)， 令x＝y＝0得f(0)＝2f(0)，所以f(0)＝0. 所以f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，故f(x)是奇函数． (2) 因为f(x)为奇函数．所以f(－3)＝－f(3)＝a，所以f(3)＝－a.又f(12)＝f(6)＋f(6)＝2f(3)＋2f(3)＝4f(3)，所以f(12)＝－4a. 第2课时　函数单调性和奇偶性的综合应用　► 对应学生用书P76 学习目标　1.会根据函数奇偶性求函数值或函数的解析式，提升逻辑推理素养．(重点)　2.能利用函数的奇偶性与单调性分析、解决较简单的综合问题，提升逻辑推理和数学运算素养．(重点、难点) 　利用奇偶性求函数解析式 　　例1　(链接教材：人教A版P86习题3.2T11)已知f(x)是R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－2x2＋3x＋1. (1)求f(0)的值； (2)求函数f(x)的解析式． 解：(1)∵f(x)是R上的奇函数，∴f(－0)＝－f(0)， ∴f(0)＝－f(0)，即2f(0)＝0， ∴f(0)＝0. (2)当x<0，即－x>0时， f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1. ∵f(x)是奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)， 即－f(x)＝－2x2－3x＋1，∴f(x)＝2x2＋3x－1(x<0). ∴函数f(x)的解析式为f(x)＝ 变式探究　在本例中，把条件“f(x)是定义在R上的奇函数”改为“f(x)是定义在R上的偶函数”，其余不变，求当x<0时，f(x)的解析式． 解：当x<0，即－x>0时， f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1. ∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)， 即f(x)＝－2x2－3x＋1(x<0). 类题通法 利用函数奇偶性求函数解析式的步骤 (1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，工就应在哪个区间上设. (2)转化到已知区间上，代入已知的解析式. (3)利用f(x)的奇偶性写出-f(x)或f(-x)，从而解出f(x). (4)已知函数f(x)，g(x)的组合运算与奇偶性，把τ换为一工，构造方程组求解. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【迁移运用】 若函数f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝，则f(x)＝________. 解析：∵f(x)＋g(x)＝　①， 以－x代替x，得f(－x)＋g(－x)＝. 又f(x)为偶函数，g(x)为奇函数， ∴f(x)－g(x)＝－　②. ①＋②，得2f(x)＝－＝， ∴f(x)＝. 答案： 　单调性与奇偶性的应用 (1)奇函数在区间[a，b]和[－b，－a](a<b)上单调性相同． (2)偶函数在区间[a，b]和[－b，－a](a<b)上单调性相反． (3)奇函数在区间[a，b](a<b)上有最大值为M，则在[－b，－a]上有最小值为－M． (4)偶函数在区间[a，b](a<b)上有最大值为N，则在[－b，－a]上有最大值为N． 角度一　比较大小 例2　若f(x)是偶函数，其定义域为(－∞，＋∞)，且在[0，＋∞)上是减函数，则f(－)与f(a2＋2a＋)的大小关系是(　　) A.f(－)>f(a2＋2a＋) B.f(－)<f(a2＋2a＋) C.f(－)≥f(a2＋2a＋) D.f(－)≤f(a2＋2a＋) 解析：选C.因为a2＋2a＋＝(a＋1)2＋≥，又f(x)为偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，所以f(－)＝f()≥f(a2＋2a＋). 类题通法 比较函数值大小的求解策略 (1)若自变量在同一个单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小. (2)若自变量不在同一个单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一个单调区间上，然后利用单调性比较大小. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 角度二　解不等式 例3　已知定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0]上单调递增，若f(a)>f(3)，则实数a的取值范围是________． 解析：由题意，函数f(x)在R上是增函数，所以a>3. 答案：(3，＋∞) 变式探究　(1)(变条件)已知定义在R上的偶函数f(x)在(－∞，0]上单调递增，若f(a)>f(3)，则实数a的取值范围是________． 解析：由题意可知f(x)在(－∞，0]上单调递增，在[0，＋∞)上单调递减， 所以|a|<3，解得－3<a<3. 答案：(－3，3) (2)(变条件)已知定义在[－2，2]上的偶函数f(x)在[0，2]上单调递减，若f(1－m)<f(m)，则m的取值范围是________． 解析：因为f(x)在[－2，2]上是偶函数，且f(x)在[0，2]上单调递减， 因此f(1－m)<f(m)等价于f(|1－m|)<f(|m|)等价于⇒⇒－1≤m<. 答案：[－1，) 类题通法 利用函数奇偶性和单调性解不等式的策略 (1)结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)的形式； (2)利用单调性“脱去”函数的等号“f”，转化为解不等式（组）的问题。 1．若偶函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则a＝f(－)，b＝f()，c＝f()的大小关系是(　　) A.b<a<c B．b<c<a C.a<c<b D．c<a<b 解析：选C.f(x)为偶函数，则a＝f(－)＝f(). 又∵<<，f(x)在(0，＋∞)上是增函数， ∴f()<f<f，即a<c<b. 2．已知函数f(x)是偶函数，且x<0时，f(x)＝3x－1，则x>0时，f(x)＝(　　) A.3x－1 B．3x＋1 C.－3x－1 D．－3x＋1 解析：选C.设x>0，则－x<0. ∴f(－x)＝－3x－1. 又∵f(x)是偶函数，∴x>0时，f(x)＝f(－x)＝－3x－1. 3．若f(x)是定义在[－6，6]上的偶函数，且f(4)>f(1)，则下列各式一定成立的是(　　) A.f(0)<f(6) B．f(4)>f(3) C.f(2)>f(0) D．f(－1)<f(4) 解析：选D.∵f(x)是定义在[－6，6]上的偶函数，∴f(－1)＝f(1).又f(4)>f(1)，∴f(4)>f(－1). 4．已知函数f(x)是R上的奇函数，且在R上是减函数，若f(a－1)＋f(1)>0，则实数a的取值范围是________． 解析：∵f(a－1)＋f(1)>0，∴f(a－1)>－f(1). ∵f(x)是奇函数， ∴f(－1)＝－f(1). ∴f(a－1)>f(－1). 又f(x)在R上是减函数，∴a－1<－1，即a<0. 答案：(－∞，0) 5．已知奇函数f(x)在R上是减函数，且f(3a－10)＋f(4－2a)<0，求a的取值范围． 解：∵f(3a－10)＋f(4－2a)<0， ∴f(3a－10)<－f(4－2a)， ∵f(x)为奇函数，∴－f(4－2a)＝f(2a－4)， ∴f(3a－10)<f(2a－4). 又f(x)在R上是减函数，∴3a－10>2a－4，∴a>6. 故a的取值范围为(6，＋∞). 函数的凸凹性 (链接教材：人教A版P101复习参考题3T8) 设函数y＝f(x)在区间D上连续，∀x1，x2∈D： (1)函数f(x)的图形是凹的⇔f()≤； (2)函数f(x)的图形是凸的⇔f()≥. 　　 [课后分层练(二十五)]　函数单调性和奇偶性的综合应用 (单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分) 【基础巩固】 1．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为(　　) A.y＝x＋1 B．y＝－x2 C.y＝ D．y＝x|x| 解析：选D.A是增函数，不是奇函数；B和C都不是定义域内的增函数，排除，只有D正确． 2．若函数f(x)是偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，则(　　 ) A.f(－2)<f(3)<f(－4) B.f(3)<f(－2)<f(－4) C.f(3)<f(－4)<f(－2) D.f(－4)<f(3)<f(－2) 解析：选D.因为函数f(x)是偶函数，所以f(3)＝f(－3)，因为函数f(x)在(－∞，0]上是增函数，所以有f(－4)<f(－3)<f(－2)，即f(－4)<f(3)<f(－2). 3．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式<0的解集为(　　 ) A.(－1，0)∪(1，＋∞) B.(－∞，－1)∪(0，1) C.(－∞，－1)∪(1，＋∞) D.(－1，0)∪(0，1) 解析：选D.由f(x)为奇函数可知，＝<0. 而f(1)＝0，则f(－1)＝－f(1)＝0. 当x>0时，f(x)<0＝f(1); 当x<0时，f(x)>0＝f(－1). 又∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，∴奇函数f(x)在(－∞，0)上为增函数． 所以0<x<1，或－1<x<0. 4．如果奇函数f(x)在[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f(x)在区间[－7，－3]上是(　　 ) A.增函数且最小值为－5 B.减函数且最小值为－5 C.增函数且最大值为－5 D.减函数且最大值为－5 解析：选C.因为奇函数f(x)在[3，7]上是增函数且最小值为5，而奇函数的图象关于原点对称，所以f(x)在区间[－7，－3]上是增函数且最大值为－5. 5．设f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，若x1<0，x1＋x2>0，下列结论正确的是(　　) A.f(x1)<f(x2) B.f(x1)>f(x2) C.f(|x1|)>f(|x2|) D.f(－x1)>f(x2) 解析：选A.由x1＋x2>0，x1<0得x2>－x1>0， ∵f(x)在(0，＋∞)是增函数， ∴f(x2)>f(－x1)， 又f(x)是R上的偶函数，∴f(－x1)＝f(x1)＝f(|x1|)，f(x2)＝f(|x2|)，∴f(x2)>f(x1). 6．(多选)(新定义)若函数f(x)同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有f(x)＋f(－x)＝0；②对于定义域上的任意x1，x2，当x1≠x2时，恒有<0，则称函数f(x)为“理想函数”．则下列函数中能被称为“理想函数”的有(　　) A.f(x)＝ 　　 B．f(x)＝x2 C.f(x)＝ 　　 D．f(x)＝－x 解析：选CD.已知性质①说明函数是奇函数，性质②说明函数在定义域内是减函数， 选项A，函数在(－∞，0)及(0，＋∞)是减函数，但在定义域内不是减函数，选项B，在[0，＋∞)上是增函数，均不合题意， 选项C，f(x)＝x≥0时，f(－x)＝(－x)2＝x2＝－f(x)，x<0时，f(－x)＝－(－x)2＝－x2＝－f(x)，因此在定义域内f(－x)＝－f(x)，函数为奇函数， 在(－∞，0)上是减函数且f(x)>0，在[0，＋∞)上也是减函数且f(x)≤0，因此函数在定义域内是减函数，满足题意，选项D，f(x)＝x易知其满足题意． 7．若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是(　　 ) A.[－1，1]∪[3，＋∞) B.[－3，－1]∪[0，1] C.[－1，0]∪[1，＋∞) D.[－1，0]∪[1，3] 解析：选D.因为定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，所以f(x)在(0，＋∞)上也是单调递减，且f(－2)＝0 ，f(0)＝0，所以当x∈(－∞，－2)∪(0，2)时，f(x)>0，当x∈(－2，0)∪(2，＋∞)时，f(x)<0， 所以由xf(x－1)≥0可得：或或x＝0， 解得－1≤x≤0或1≤x≤3， 所以满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1，0]∪[1，3]. 8．已知y＝f(x)是奇函数，若g(x)＝f(x)＋2且g(1)＝1，则g(－1)＝_______． 解析：因为g(x)＝f(x)＋2，g(1)＝1，所以1＝f(1)＋2，所以f(1)＝－1，又因为f(x)是奇函数，所以f(－1)＝1，则g(－1)＝f(－1)＋2＝3. 答案：3 9．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)－2. (1)求f(x)的解析式； (2)若f(m＋1)<f(2－m)，求实数m的取值范围． 解：(1)因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)－2， 则当x<0时，－x>0，f(x)＝f(－x)＝－x(－x＋1)－2＝x2－x－2， 所以当x<0时，f(x)＝x2－x－2， 故f(x)＝ (2)依题意，f(x)＝x2＋x－2在[0，＋∞)上单调递增， 则f<f⇔f(|m＋1|)<f⇔|m＋1|<|m－2|，解得m<， 所以实数m的取值范围是(－∞，). 【综合运用】 10．已知函数f(x)＝＋1在[－2 025，2 025]上的最大值和最小值分别为M，N，则M＋N＝________． 解析：f(x)＝＋1，则f(x)－1＝， 令g(x)＝f(x)－1＝，定义域为[－2 025，2 025]， 则g(－x)＝＝－＝－g(x)，故g(x)为奇函数，所以g(x)max＋g(x)min＝0， 即f(x)max－1＋f(x)min－1＝0，故M＋N＝2. 答案：2 11．已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，a∈R). (1)判断f(x)的奇偶性； (2)若f(x)在[2，＋∞)是增函数，求实数a的取值范围． 解：(1)当a＝0时，f(x)＝x2， 对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，∴f(x)为偶函数． 当a≠0时，f(x)＝x2＋(a≠0，x≠0)， 取x＝±1，得f(－1)＋f(1)＝2≠0，f(－1)－f(1)＝－2a≠0， ∴f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)，∴函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数． (2)设2≤x1<x2，f(x1)－f(x2)＝x＋－x－＝[x1x2(x1＋x2)－a]， 要使函数f(x)在x∈[2，＋∞)上为増函数，必须f(x1)－f(x2)<0恒成立． ∵x1－x2<0，x1x2>4，∴即a<x1x2(x1＋x2)恒成立． 又∵x1＋x2>4，∴x1x2(x1＋x2)>16.∴a的取值范围是(－∞，16]. 12．已知函数f(x)＝是定义在[－1，1]上的奇函数，且f(1)＝1. (1)求m，n的值； (2)试判断函数f(x)的单调性，并证明你的结论； (3)求使f(a－1)＋f(a2－1)<0成立的实数a的取值范围． 解：(1)由题意，x∈[－1，1]在f(x)＝中，函数是奇函数，且f(1)＝1， 可得f(0)＝0即n＝0；又(m＋n)＝1，则m＝2，∴m＝2，n＝0；经验证满足题意． (2)由题意及(1)得，f(x)＝在[－1，1]上为增函数．证明如下： 设－1≤x1<x2≤1，则f(x1)－f(x2)＝－＝， ∵－1≤x1<x2≤1，∴x1－x2<0，x1x2<1， ∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， ∴f(x)在[－1，1]上为增函数； (3)由题意，f(x)＝，x∈[－1，1]， ∴f(a－1)＋f(a2－1)<0，即f(a－1)<－f(a2－1)＝f(1－a2)， ∴－1≤a－1<1－a2≤1，解得0≤a<1， ∴a的取值范围是[0，1). 【创新探索】 13．(多选)(新定义)给出定义：若m－<x≤m＋(其中m为整数)，则称m为离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}＝m，则下列关于函数f(x)＝x－{x}的四个说法中正确的有(　　) A.函数y＝f(x)的定义域是R，值域是(－，] B.函数y＝f(x)是偶函数 C.函数y＝f(x)是奇函数 D.函数y＝f(x)在(－，]上单调递增 解析：选AD.化简函数解析式可得， f(x)＝x－{x}＝画出函数的图象，如图所示，由图象可知函数y＝f(x)的定义域是R，值域是(－，]，故A正确． 由图可以得出，函数图象既不关于y轴对称，也不关于坐标原点对称，且f(x)在(－，]上单调递增， 故函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数，从而B，C错误，D正确． 学科网（北京）股份有限公司 $