3.2.1 单调性与最大(小)值-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦函数单调性与最值核心知识点，前承函数概念与表示，后启奇偶性等性质，通过情境引入、自主评测、例题变式及类题通法构建学习支架，系统讲解单调性定义、判断证明、单调区间及最值求法。 资料以艾宾浩斯遗忘曲线、气温变化图培养数学抽象，定义证明单调性强化逻辑推理，二次函数最值及利润问题提升运算与建模能力。课中例题变式助教师突破重难点，课后分层练习满足学生查漏补缺需求。

3．2　函数的基本性质 3．2.1　单调性与最大(小)值 第1课时　函数的单调性　　　　　　► 对应学生用书P66 学习目标　1.从图象直观、定性描述和定量分析三个方面，理解和研究函数的单调性，提升数学抽象素养．(重点) 2．会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性，提升逻辑推理素养．(难点、重点)　3.会求一些具体函数的单调区间，提升数学运算素养．(重点) 　　　德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究．他经过测试，得到了以下一些数据： 时间 间隔t 刚记忆 完毕 20分 钟后 60分 钟后 8～9 小时后 1天后 2天后 6天后 一个 月后 记忆量y (百分比) 100 58.2 44.2 35.8 33.7 27.8 25.4 21.1 以上数据表明，记忆量y是时间间隔t的函数．艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”，如图． 问题1　当时间间隔t逐渐增大，你能看出对应的函数值y有什么变化趋势？通过这个试验，你打算以后如何待刚学过的知识？ 提示：随着时间间隔t逐渐增大，函数值y逐渐变小，这个试验告诉我们，在以后的学习中，我们应及时复习刚学习过的知识． 【自主评测】 1．教材挖掘：(1)能否说y＝在定义域内是减函数？为什么？ 提示：不能．函数f(x)＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，若x1∈(－∞，0)，x2∈(0，＋∞)， 则x1<x2，而f(x1)<f(x2)，所以f(x)不是减函数，原因是函数f(x)在定义域内不是连续的． (2)若存在x1，x2∈(a，b)，使得>0成立，能否判断函数f(x)在区间(a，b)上单调递增？ 提示：不能． 2．判断是非：判断下面结论是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)若f(x)是R上的减函数，则f(－3)>f(2).(　　 ) (2)如果f(－1)<f(2)，那么函数f(x)在区间[－1，2]上单调递增．(　　 ) (3)函数y＝f(x)在[0，2]上单调递减，则[0，2]是函数的单调递减区间．(　　 ) (4)若f(x)在R上是增函数，且f(x1)>f(x2)，则x1>x2.(　　 ) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 　增函数与减函数 　　　下图为某地区24小时内的气温变化图． 问题2　从左向右看，图象是如何变化的？ 提示：从左向右看，图象先下降，后上升，再下降． 问题3　气温在哪些区间上升？哪些区间下降？ 提示：气温在区间[4，14]内上升，在区间[0，4)和(14，24]内下降． 1．函数的单调性 条件 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D：如果∀x1，x2∈I，当x1<x2时 都有f(x1)<f(x2) 都有f(x1)>f(x2) 结论 f(x)在区间I上单调递增 f(x)在区间I上单调递减 图示 温馨提示 增(减)函数定义中x1，x2的三个特征 (1)任意性，即不可以用区间I上的特殊值代替． (2)有大小，通常规定x1<x2. (3)属于同一个单调区间I. 　2．函数的单调区间 如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间． 角度一　利用定义证明函数的单调性 例1　(链接教材：人教A版P79例3)已知函数f(x)＝，判断并证明f(x)在(－2，＋∞)上的单调性． 解：f(x)＝＝＝1－在(－2，＋∞)上单调递增，证明如下： ∀x1，x2∈(－2，＋∞)，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝1－－(1－)＝－＝， 因为－2<x1<x2， 所以x1＋2>0，x2＋2>0，x1－x2<0， 所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， 所以f(x)在(－2，＋∞)上单调递增． 类题通法 利用定义证明函数单调性的步骤 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【迁移运用】 1.(链接教材：人教A版P78例2)根据定义，研究函数f(x)＝在x∈(－1，1)上的单调性． 解：设x1，x2为(－1，1)上的任意两个数，且x1<x2， 所以f(x1)－f(x2)＝－＝＝. 因为x1，x2∈(－1，1)且x1<x2， 所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0. 所以>0. 所以f(x1)－f(x2)>0， 即f(x1)>f(x2)，所以f(x)在(－1，1)上单调递减． 角度二　函数的单调区间 例2　(链接教材：人教A版P86习题3.2T2)作出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象并指出它的单调区间． 解：根据绝对值的意义，y＝－x2＋2|x|＋3 ＝＝ 作出函数图象如图所示， 据图象可知，函数在区间(－∞，－1]，[0，1]上是增函数；函数在区间(－1，0)，(1，＋∞)上是减函数． 变式探究　将本例函数改为f(x)＝|x2＋2x－3|，求f(x)的单调区间． 解： 令g(x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4. 先作出g(x)的图象，保留其在x轴及x轴上方部分，把它在x轴下方的图象翻到x轴上方就得到f(x)＝|x2＋2x－3|的图象，如图所示． 由图象易得：函数的递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)；函数的递减区间是(－∞，－3]，[－1，1]. 类题通法 求函数单调区间的两种方法 (1)定义法：先求出定义域，再利用定义进行判断求解． (2)图象法：先画出图象，再根据图象求单调区间． 　　　　　 　函数单调性的应用 　角度一　解不等式 例3　已知f(x)是定义在区间[－1，1]上的增函数，且f(x－2)<f(1－x)，则x的取值范围是_________________________________________________． 解析：因为f(x)是定义在区间[－1，1]上的函数， 所以解得1≤x≤2　①. 因为f(x)是增函数，且f(x－2)<f(1－x)，所以x－2<1－x，解得x<　②. 由①②得，1≤x<. 答案：[1，). 类题通法 利用单调性解不等式的方法 在求解与抽象函数有关的不等式时，往往利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【迁移运用】 2.(2025·陕西商洛模拟)已知定义在上的函数 f满足 f＝8，对任意的x1，x2∈，且x1≠x2，x1x2[f(x1)＋f(x2)]<xf(x2)＋xf(x1)恒成立，则不等式f>2x－6的解集为__________． 解析：设0<x1<x2，由x1x2[f＋f]<xf＋xf， 得x2(x1－x2)f<x1(x1－x2)f，又x1－x2<0， 所以x2f>x1f，即>， 设g＝，则g>g， 所以g在上单调递减． 由f(4)＝8，得g(4)＝＝2， 由f(x－3)>2x－6， 得即 即得 解得3<x<7， 所以原不等式的解集为(3，7). 答案：(3，7) 角度二　已知函数单调性求参数 例4　已知函数f(x)＝ax2－x＋1在(－∞，2)上单调递减，求a的取值范围． 解：当a＝0时，f(x)＝－x＋1在(－∞，2)上单调递减，符合题意； 当a≠0时，要使f(x)在(－∞，2)上单调递减，则解得0＜a≤. 综上，a的取值范围为. 变式探究　本例条件改为“函数f(x)＝ax2－x＋1的单调递减区间是(－∞，2)”，又该如何求解？ 解：因为函数f(x)＝ax2－x＋1的单调递减区间是(－∞，2)， 所以此函数是二次函数，且－＝2，解得a＝. 类题通法 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (1)利用单调性定义：设单调区间内x1<x2，由f(x1)-f(x2)<0（或f(x1)-f(x2)>0)恒成立求参数范围. (2)利用具体函数本身所具有的特征：如二次函数单调区间被对称轴一分为二，根据对称轴相对于所给单调区间的位置求参数。 1．下列函数在区间(0，＋∞)上不是增函数的是(　　) A．y＝2x＋1 B．y＝x2＋1 C．y＝3－x D．y＝x2＋2x＋1 解析：选C.函数y＝3－x在区间(0，＋∞)上是减函数． 2．若函数f(x)在(－∞，－1]上是增函数，则下列关系式中成立的是(　　) A．f(－)<f(－1)<f(－2) B．f(－1)>f(－)<f(－2) C．f(－2)<f(－1)<f(－) D．f(－2)<f(－)<f(－1) 解析：选D.因为f(x)在(－∞，－1]上是增函数，且－2<－<－1，所以f(－2)<f(－)<f(－1). 3．函数f(x)＝－x2＋2x＋3的单调减区间是(　　) A．(－∞，1) B．(1，＋∞) C．(－∞，2) D．(2，＋∞) 解析：选B.易知函数f(x)＝－x2＋2x＋3是图象开口向下的二次函数，其对称轴为x＝1，所以其单调减区间是(1，＋∞). 4．已知函数y＝f(x)是定义在[－2，2]上的增函数，则f(x2)>f(－x)的解集是________． 解析：由函数y＝f(x)在[－2，2]上单调递增，且f(x2)>f(－x)，得解得－≤x<－1或0<x≤. 答案：[－，－1)∪(0，] 对勾函数和飘带函数的单调性 (链接教材：人教A版P92探究与发现、 P101复习参考题3T12) 1．对勾函数：函数y＝x＋(a>0)在(－∞，－]，[，＋∞)上单调递增，在[－，0)，(0，]上单调递减(如图1). 2．飘带函数：函数y＝x＋(a<0)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增(如图2). [课后分层练(二十二)]　函数的单调性 (单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分) 【基础巩固】 1．已知y＝f(x)的图象如图所示，则该函数的单调递增区间为(　　) A．[－1，3] B．[－1，2]和[4，5] C．[－1，2] D．[－3，－1]和[2，4] 解析：选B.函数的图象在[－1，2]和[4，5]上呈上升趋势． 2．(2025·天津期中)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的函数是(　　) A．f(x)＝－2x＋3 B．f(x)＝2x－1 C．f(x)＝ D．f(x)＝－x2 解析：选B.A选项，f(x)＝－2x＋3在R上单调递减，A错误； B选项，f(x)＝2x－1在R上单调递增，满足要求，B正确； C选项，f(x)＝在区间(0，＋∞)上单调递减，C错误； D选项，f(x)＝－x2在区间(0，＋∞)上单调递减，D错误． 3．(2025·山东菏泽期中)已知函数f(x)＝x2＋4x＋c，则(　　) A．f(1)<c<f(－2) B．c<f(－2)<f(1) C．c>f(1)>f(－2) D．f(1)>c>f(－2) 解析：选D.因为二次函数f(x)＝x2＋4x＋c图象的对称轴为直线x＝－2，且开口向上，所以函数f(x)在[－2，＋∞)上单调递增，所以f(－2)<f(0)<f(1)，又f(0)＝c，所以f(1)>c>f(－2). 4．若函数y＝x2＋(2a－1)x＋1在区间(－∞，2]上是减函数，则实数a的取值范围是(　　) A．(－，＋∞) B．(－∞，－] C．(3，＋∞) D．(－∞，－3] 解析：选B.∵函数y＝x2＋(2a－1)x＋1的图象开口向上，直线x＝为函数图象的对称轴， 又函数在区间(－∞，2]上是减函数，故2≤，解得a≤－. 5．(多选)(2025·福建平潭期中)下列函数中，满足对任意x1，x2∈(1，＋∞)，<0的是(　　) A．f(x)＝－2(x－1)2－2 B．f(x)＝3x＋5 C．f(x)＝1＋ D．f(x)＝|x－4| 解析：选AC.若对任意x1，x2∈(1，＋∞)，<0，则由单调性定义可知，函数f(x)在区间(1，＋∞)上为减函数． 对于A，f(x)＝－2(x－1)2－2，其图象开口向下，对称轴为直线x＝1，故f(x)在区间(1，＋∞)上为减函数，满足题意； 对于B，f(x)＝3x＋5为一次函数，且k＝3>0，故f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，不满足题意； 对于C，f(x)＝1＋在区间(0，＋∞)上是减函数，故函数满足在区间(1，＋∞)上为减函数，满足题意； 对于D，f(x)＝|x－4|＝显然函数在区间(1，4)上单调递减，在区间(4，＋∞)上单调递增，故不满足题意． 6．(数学文化)我国著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直观，形无数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．函数f(x)＝|x|＋的图象大致是(　　) 解析：选B.当0<x<1时，f(x)＝x＋，此时f(x)在(0，1)上单调递减， 当x>1时，f(x)＝x＋，此时f(x)在(1，＋∞)上单调递增， 且x>0时，当且仅当x＝1时，f(x)＝[f(x)]min＝2， 由此可知C，D选项中图象错误； 当x<0时，f(x)＝－x＋，此时f(x)在(－∞，0)上单调递减， 故选项A中图象不合题意，又f(－1)＝0，故B中图象符合题意． 7．(2025·福建南安月考)函数f(x)＝的单调递减区间是(　　) A．(－∞，1] B．[1，＋∞) C．[1，3] D．[－1，1] 解析：选C.设y＝，t＝－x2＋2x＋3≥0，得－1≤x≤3.y＝在[0，＋∞)上单调递增，t＝－x2＋2x＋3在[－1，1]上单调递增，在[1，3]上单调递减，根据复合函数单调性判断法则“同增异减”可知，f(x)的单调递减区间为[1，3]. 8．定义在(－2，2)上的函数f(x)是增函数，且满足f(1－a)<f(a)，则实数a的取值范围是__________. 解析：由题设知实数a应满足解得<a<2. 答案：(，2) 9．已知函数f(x)＝x2－－3(x>0)，判断函数的单调性，并证明． 解：函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．证明如下： 任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2， 即x1>x2>0， f(x1)－f(x2)＝(x－－3)－(x－－3)＝(x－x)＋(－) ＝(x1－x2)(x1＋x2)＋＝(x1－x2)(x1＋x2＋). 因为x1>x2>0，则x1－x2>0，x1＋x2＋>0， 则f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)， 所以函数f(x)＝x2－－3在区间(0，＋∞)上单调递增． 10．求下列函数的单调区间，并指出该函数的单调性． (1)f(x)＝－； (2)f(x)＝ (3)f(x)＝－x2＋2|x|＋3. 解：(1)函数f(x)＝－的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是单调递增的． (2)当x≥1时，f(x)是增函数，当x<1时，f(x)是减函数，所以f(x)的单调区间为(－∞，1)，[1，＋∞)，并且函数f(x)在区间(－∞，1)上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增． (3)因为f(x)＝－x2＋2|x|＋3＝ 根据解析式可作出函数的图象如图所示， 由图象可知函数f(x)的单调区间为(－∞，－1]，(－1，0)，[0，1)，[1，＋∞). f(x)在区间(－∞，－1]，[0，1)上单调递增，在区间(－1，0)，[1，＋∞)上单调递减． 【综合运用】 11．已知函数f(x)在R上是增函数，则下列说法正确的是(　　) A．y＝－f(x)在R上是减函数 B．y＝在R上是减函数 C．y＝[f(x)]2在R上是增函数 D．y＝af(x)(a为实数)在R上是增函数 解析：选A.∵函数f(x)在R上是增函数，∴y＝－f(x)在R上是减函数，故选项A正确； 函数f(x)在R上是增函数，但y＝在R上不一定是减函数， 如f(x)＝x在R上是增函数，但y＝＝在R上不是减函数，故排除选项B； 函数f(x)在R上是增函数，但y＝[f(x)]2在R上不一定是增函数， 如f(x)＝x在R上是增函数，但y＝[f(x)]2＝x2在R上不是增函数，故排除选项C； 函数f(x)在R上是增函数，但y＝af(x)(a为实数)在R上不一定是增函数， 如f(x)＝x在R上是增函数，但y＝－2f(x)＝－2x在R上不是增函数，故排除选项D. 12．(多选)(2025·安徽亳州检测)已知函数f(x)在R上是减函数，且a＋b>0，则下列说法正确的是(　　) A．f(a)＋f(b)>0 B．f(a)－f(－b)>0 C．f(－a)－f(b)>0 D．f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b) 解析：选CD.由a＋b>0，则a>－b，b>－a，因为函数f(x)在R上是减函数，所以f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)，则f(－a)－f(b)>0，f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b). 13．已知f(x)＝为增函数，则a的取值范围是______． 解析：因为f(x)＝为增函数， 故解得3≤a<4. 答案：[3，4) 14．已知函数f(x)＝(a∈R，a≠0). (1)用单调性的定义讨论f(x)在区间(1，＋∞)上的单调性； (2)已知f(2)＝2，解不等式f(x2－2x＋4)≥. 解：(1)任取1<x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝， 由1<x1<x2，得x2－x1>0，(x1－1)(x2－1)>0， 所以当a>0时，f(x1)－f(x2)>0， 即f(x1)>f(x2)， 所以f(x)在区间(1，＋∞)上单调递减； 当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， 所以f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增． (2)因为f(2)＝2，所以a＝1， 由(1)可知f(x)在区间(1，＋∞)上单调递减， 因为f(x2－2x＋4)≥＝f(7)，且x2－2x＋4＝(x－1)2＋3>1， 所以x2－2x＋4≤7，即x2－2x－3≤0， 解得－1≤x≤3， 所以原不等式的解集为[－1，3]. 【创新探索】 15．(多选)(2025·湖北襄阳月考)若函数f(x)满足∀x1，x2∈(1，＋∞)，当x1≠x2时，不等式>1恒成立，则称f(x)在(1，＋∞)上为“平方差增函数”．下列函数f(x)中，在(1，＋∞)上是“平方差增函数”的是(　　) A．f(x)＝4x－1 B．f(x)＝x2＋x＋ C．f(x)＝2x2－2x＋1 D．f(x)＝x2－2x＋1 解析：选BC.若函数f(x)满足∀x1，x2∈(1，＋∞)，当x1≠x2时，不等式>1恒成立，则－1＝>0，令g(x)＝f(x)－x2，则>0，所以g(x)在(1，＋∞)上是增函数．对于A，f(x)＝4x－1，则g(x)＝f(x)－x2＝－x2＋4x－1，其图象的对称轴是直线x＝2，故g(x)在(1，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减，故A错误；对于B，f(x)＝x2＋x＋，则g(x)＝f(x)－x2＝x＋，故g(x)在(1，＋∞)上单调递增，故B正确；对于C，f(x)＝2x2－2x＋1，故g(x)＝f(x)－x2＝x2－2x＋1，其图象的对称轴是直线x＝1，故g(x)在(1，＋∞)上单调递增，故C正确；对于D，f(x)＝x2－2x＋1，则g(x)＝f(x)－x2＝－2x＋1，故g(x)在(1，＋∞)上单调递减，故D错误． 第2课时　函数的最大(小)值　　　　► 对应学生用书P70 学习目标　1.理解函数的最大值和最小值的概念及其几何意义，提升数学抽象素养．(重点、难点)　2.能借助函数的图象和单调性，求一些简单函数的最值或值域，提升数学运算素养．(重点)　3.能利用函数的最值解决相关的实际应用问题，提升数学建模素养．(重点) 　函数的最大(小)值 　科考队对新疆地区“早穿棉袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这一独特的沙漠气候进行科学考察，如图是某天气温随时间的变化曲线．请根据曲线图说说气温的变化情况． 问题1　该天的最高气温和最低气温分别是多少？ 提示：该天的最高气温为25 ℃，最低气温为－5 ℃. 问题2　设该天某时刻的气温为f(x)，则f(x)在哪个范围内变化？ 提示：该天某时刻的气温变化范围是[－5，25]. 问题3　从函数图象上看，气温的最大值、最小值在什么时刻取得？ 提示：气温的最大值在t＝17处取得，气温的最小值在t＝6时取得． 项目 最大值 最小值 条件 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足：∀x∈D，都有 f(x)≤M f(x)≥M ∃x0∈D，使得f(x0)＝M 结论 M是函数y＝f(x)的最大值 M是函数y＝f(x)的最小值 几何意义 f(x)图象上最高点的纵坐标 f(x)图象上最低点的纵坐标 温馨提示 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (1)最值首先是一个函数值，即存在一个自变量x0,使得f(x0)等于最值。 (2)对于定义域内的任意x，都有f(x)≤f(x0)（或f(x)≥f(x0))，“任意”两个字不可省略。 角度一　利用图象法求函数的最值 例1　(链接教材：人教A版P81例5)已知函数f(x)＝求函数f(x)的最大值、最小值． 解：作出f(x)的图象如图： 由图象可知，当x＝2时，f(x)取最大值为2；当x＝时，f(x)取最小值为－. 所以f(x)的最大值为2，最小值为－. 类题通法 图象法求最值的一般步骤 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 角度二　利用单调性求函数的最值 例2　英国著名物理学家牛顿曾研究过函数f(x)＝x2＋的图象，其形恰如希腊神话中海神波塞冬的武器——三叉戟，因此f(x)的图象又称为牛顿三叉戟曲线．求f(x)在(0，＋∞)上的最值． 解：取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝x＋－(x＋) ＝(x－x)－ ＝(x1－x2)[(x1＋x2)－] ＝·[x1x2(x1＋x2)－2]. 当0<x1<x2<1时，<0，x1x2(x1＋x2)－2<0，所以f(x1)－f(x2)>0， 即f(x1)>f(x2)，所以f(x)在(0，1)上为减函数． 当x2>x1>1时，<0，x1x2(x1＋x2)－2>0，所以f(x1)－f(x2)<0， 即f(x1)<f(x2)，所以f(x)在(1，＋∞)上为增函数． 所以f(x)在(0，＋∞)上有最小值，且f(x)min＝f(1)＝3. 综上，f(x)在(0，＋∞)上的最小值为3，无最大值． 类题通法 函数的最大(小)值与单调性的关系 (1)若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增(减)，则f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)； (2)若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增(减)，在区间[b，c]上单调递减(增)，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【迁移运用】 1.(2025·安徽铜陵模拟)已知函数f(x)＝，则f在区间(－2，＋∞)上为________(增函数或减函数)，在区间上的最大值为___________________________________________________________． 解析：令∀x1，x2∈，且x1>x2>－2， 则f(x1)－f＝－＝＝， 因为x1>x2>－2，则x1＋2>0，x2＋2>0，x1－x2>0，则f(x1)－f>0，即f(x1)>f， 则f在区间上单调递增，所以f在区间[1，4]上的最大值为f＝. 答案：增函数　 　二次函数的最值 例3　(链接教材：人教A版P86习题3.2T7)(定轴定区间类型)已知函数f(x)＝x2－2x－3，若x∈[0，2]，求函数f(x)的最值． 解：∵函数f(x)＝x2－2x－3开口向上，对称轴x＝1，∴f(x)在[0，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，且f(0)＝f(2).∴f(x)max＝f(0)＝f(2)＝－3，f(x)min＝f(1)＝－4. 变式探究　(1)(定轴动区间类型)已知函数f(x)＝x2－2x－3，若x∈[t，t＋2]，求函数f(x)的最值． 解：∵对称轴x＝1， ①当1≥t＋2即t≤－1时，f(x)max＝f(t)＝t2－2t－3，f(x)min＝f(t＋2)＝(t＋2)2－2(t＋2)－3＝t2＋2t－3. ②当≤1<t＋2，即－1<t≤0时，f(x)max＝f(t)＝t2－2t－3，f(x)min＝f(1)＝－4. ③当t≤1<，即0<t≤1时，f(x)max＝f(t＋2)＝t2＋2t－3，f(x)min＝f(1)＝－4. ④当1<t，即t>1时，f(x)max＝f(t＋2)＝t2＋2t－3，f(x)min＝f(t)＝t2－2t－3. 设函数f(x)的最大值为g(t)，最小值为φ(t)，则有 g(t)＝φ(t)＝ (2)(动轴定区间)求二次函数f(x)＝x2－2ax＋2在[2，4]上的最小值． 解：∵函数图象的对称轴是x＝a，∴当a<2时，f(x)在[2，4]上是增函数，∴f(x)min＝f(2)＝6－4a. 当a>4时，f(x)在[2，4]上是减函数，∴f(x)min＝f(4)＝18－8a. 当2≤a≤4时，f(x)min＝f(a)＝2－a2. ∴f(x)min＝ 类题通法 　 以一元二次函数图象开口向上、对称轴为直线x=m为例，区间为[a,b]. (1)最小值：f(x)min= (2)最大值：f(x)max= 　　　　　　　　　　　　　　　　　 　实际问题中的最值 例4　某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数： R(x)＝ 其中x是仪器的月产量． (1)将利润表示为月产量的函数f(x)； (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润) 解：(1)设月产量为x台，则总成本为20 000＋100x， 从而f(x)＝ (2)当0≤x≤400时， f(x)＝－(x－300)2＋25 000； ∴当x＝300时，f(x)max＝25 000， 当x>400时，f(x)＝60 000－100x是减函数， f(x)<60 000－100×400<25 000. ∴当x＝300时，f(x)max＝25 000. 即每月生产300台仪器时利润最大，最大利润为25 000元． 类题通法 (1) 对于实际应用问题，首先要审清题意，确定自变量和因变量的条件关系，列出函数关系式，建立数学模型，同时要注意自变量的取值范围。 (2)分析函数的性质（多涉及二次函数、分段函数），选择合适的数学方法从而解决数学问题，进行验证或评估，回归题意。 【迁移运用】 2.某公司在甲、乙两地销售同一种农产品，利润(单位：万元)分别为y1＝5x－x2，y2＝3x，其中x为销售量(单位：吨)，若该公司在这两地共销售10吨农产品，则能获得的最大利润为_____________万元. 解析：设在甲地销售农产品x吨， 则在乙地销售农产品(10－x)吨， 由题意可得利润y＝5x－x2＋3(10－x)＝－x2＋2x＋30＝－(x－4)2＋34， 所以当x＝4时，获得最大利润y＝34万元． 答案：34 1．函数f(x)＝在[1，＋∞)上(　　) A．有最大值无最小值 B．有最小值无最大值 C．有最大值也有最小值 D．无最大值也无最小值 答案：A 2．函数y＝x2－2x＋2在区间[－2，3]上的最大值、最小值分别是(　　) A．10，5 B．10，1 C．5，1 D．以上都不对 解析：选B.因为y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，且x∈[－2，3]， 所以当x＝1时，ymin＝1， 当x＝－2时，ymax＝(－2－1)2＋1＝10. 3．已知函数f(x)＝则f(x)的最大值、最小值分别为(　　) A．10，6 B．10，8 C．8，6 D．以上都不对 答案：A 4．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________m. 解析：设矩形花园的宽为y，则＝， 即y＝40－x(0<x<40)， 矩形花园的面积S＝x(40－x)≤＝400， 当且仅当x＝20时，取等号，即当x＝20 m时，面积最大． 答案：20 5．已知函数f(x)＝则f(x)的最大值为________． 解析：f(x)的图象如图： 则f(x)的最大值为f(2)＝2. 答案：2 [课后分层练(二十三)]　函数的最大(小)值 (单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分) 【基础巩固】 1．已知定义在[－2，2]上的函数f(x)的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是(　　) A．f(－2)，0 B．0，2 C．f(－2)，2 D．f(2)，2 解析：选D.由题图可知，此函数的最小值是f(2)，最大值是2. 2．若函数f(x)＝x2－2x＋m在[3，＋∞)上的最小值为1，则实数m的值为(　　) A．－3 B．－2 C．－1 D．1 解析：选B.因为f(x)＝x2－2x＋m＝(x－1)2－1＋m的图象开口向上，对称轴为x＝1，所以f(x)的最小值为f(3)＝32－2×3＋m＝1，解得m＝－2. 3．记函数f(x)＝在区间[3，4]上的最大值和最小值分别为M和m，则＝(　　) A． B． C． D． 解析：选D.因为f(x)＝＝2＋，所以f(x)在[3，4]上是减函数，所以m＝f(4)＝4，M＝f(3)＝6，所以＝＝. 4．已知函数f(x)＝kx2－4x＋8在[5，10]上单调递减，且f(x)在[5，10]上的最小值为－32，则实数k的值为(　　) A．－ B．0 C．0或－ D．0或 解析：选B.由函数f(x)＝kx2－4x＋8在[5，10]上单调递减可知，当x＝10时，函数取最小值，即100k－40＋8＝－32，解得k＝0.当k＝0时，f(x)＝－4x＋8，函数是减函数，满足题意． 5．函数f(x)＝x2＋4x＋5在区间[m，0]上的值域为[1，5]，则实数m的取值范围是(　　 ) A.m≤－2 B．－4≤m≤－2 C．－2≤m≤0 D．－4≤m≤0 解析：选B.函数f(x)＝x2＋4x＋5的图象抛物线开口向上，对称轴方程为x＝－2，f(－2)＝1，f(－4)＝f(0)＝5，函数f(x)＝x2＋4x＋5在区间[m，0]上的值域为[1，5]，则有－4≤m≤－2. 6．(多选)(2025·江苏泰州期中)已知函数f(x)＝x2的值域是[0，4]，则它的定义域可能是(　　) A．[－1，2] B．[－3，2] C．[－1，1] D．[－2，1] 解析：选AD.因为f(x)的值域是[0，4]，所以0≤x2≤4，所以－2≤x≤2. 因为f(0)＝0，f(2)＝f(－2)＝4，所以f(x)的定义域可能是[－1，2]，[－2，1].因为f(－3)＝9，f(x)在[－1，1]上的最大值为1，所以[－3，2]和[－1，1]不可能是f(x)的定义域． 7．(多选)若函数y＝ax＋1在[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值可以是(　　) A．2 B．－2 C．1 D．0 解析：选AB.当a>0时，y＝ax＋1在x＝2处取得最大值，在x＝1处取得最小值，所以2a＋1－(a＋1)＝2，解得a＝2；当a<0时，y＝ax＋1在x＝1处取得最大值，在x＝2处取得最小值，所以a＋1－(2a＋1)＝2，解得a＝－2. 8．对任意的实数x，记f(x)＝min{2－x2，x}，则f(x)的最大值是________． 解析：当2－x2≤x，即x≥1或x≤－2时，f(x)＝2－x2. 此时f(x)在(－∞，－2]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减，f(x)max＝f(1)＝1. 当2－x2>x，即－2<x<1时，f(x)＝x.此时f(x)在(－2，1)上单调递增，无最大值． 综上，f(x)＝min{2－x2，x}的最大值为1. 答案：1 9．已知函数f(x)＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝______． 解析：f(x)＝4x＋(x>0，a>0)在(0，]上单调递减，在上单调递增，故f(x)在x＝处取得最小值．由题意知＝3，解得a＝36. 答案：36 10．已知函数f(x)＝，且f(1)＝2. (1)证明函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数； (2)求函数f(x)在[2，5]上的最大值和最小值． 解：(1)证明：∵f(1)＝＝2，∴a＝1， ∴f(x)＝. 设1<x1<x2，f(x1)－f(x2)＝－＝， ∵x1<x2，x1x2>1， ∴x1－x2<0，x1x2－1>0， ∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， 则函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数． (2)由(1)可知，函数f(x)在[2，5]上单调递增， ∴f(x)min＝f(2)＝＝，f(x)max＝f(5)＝＝， 则函数f(x)在[2，5]上的最大值为，最小值为. 【综合运用】 11．(数学文化)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，也称取整函数，例如：[－3.7]＝－4，[2.3]＝2.已知f(x)＝－，则函数y＝[f(x)]的最小值为(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．1 解析：选B.因为f(x)＝－＝－＝－， 又因为x2＋1≥1，0<≤1，－1≤－<0， 所以－≤f(x)<， 所以当－≤f(x)<0时，y＝[f(x)]＝－1； 当0≤f(x)<时，y＝[f(x)]＝0. 所以函数y＝[f(x)]的最小值为－1. 12．设函数f(x)＝若f(0)是f(x)的最小值，则实数t的取值范围是(　　 ) A．[－1，2] B．[－1，0] C．[1.2] D．[0，2] 解析：选B.f(x)＝ 当x>0时，f(x)＝x＋＋t≥2＋t＝2＋t， 当且仅当x＝即x＝1时，等号成立； 当x≤0时，f(x)＝x2＋2tx＋t2＝(x＋t)2，要使f(0)是f(x)的最小值， 只需f(x)＝x2＋2tx＋t2在(－∞，0]上递减，且2＋t≥f(0)＝t2， 即解得－1≤t≤0. 13．已知函数f(x)＝x2－2ax＋2，x∈[－1，1]. (1)求f(x)的最小值g(a)； (2)求g(a)的最大值． 解：(1)由题意可得：f(x)＝x2－2ax＋2＝(x－a)2＋2－a2，x∈[－1，1]， 当a≥1时，f(x)在区间[－1，1]上单调递减，最小值g(a)＝f(1)＝3－2a； 当－1<a<1时，f(x)在区间[－1，a]上单调递减，在区间(a，1]上单调递增，最小值g(a)＝f(a)＝2－a2； 当a≤－1时，f(x)在区间[－1，1]上单调递增，最小值g(a)＝f(－1)＝3＋2a； 综上所述：g(a)＝ (2)由 (1) 可知：当a≥1时，g(a)＝3－2a在[1，＋∞)单调递减，所以g(a)的最大值为g(1)＝1； 当－1<a<1时，g(a)＝2－a2在区间(－1，0)上单调递增，在区间[0，1)上单调递减，所以g(a)的最大值为g(0)＝2； 当a≤－1时，g(a)＝3＋2a在(－∞，－1]单调递增，所以g(a)的最大值为g(－1)＝1； 综上所述：g(a)的最大值为g(0)＝2. 【创新探索】 14．已知函数f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)，若对任意的x1∈[－1，2]，都存在x0∈[－1，2]，使得g(x1)＝f(x0)，则实数a的取值范围是________. 解析：∵函数f(x)＝x2－2x的图象开口向上，对称轴方程为x＝1，∴当x∈[－1，2]时，f(x)的最小值为f(1)＝－1，最大值为f(－1)＝3，则此时f(x)的取值范围为[－1，3].∵g(x)＝ax＋2(a>0)在[－1，2]上单调递增，∴当x∈[－1，2]时，g(x)的最小值为g(－1)＝－a＋2，最大值为g(2)＝2a＋2，此时g(x)的取值范围为[－a＋2，2a＋2].∵对任意的x1∈[－1，2]，都存在x0∈[－1，2]，使得g(x1)＝f(x0)， ∴解得0<a≤. 答案：(0，] 15．已知函数f(x)＝ax2＋2bx＋1，x∈[1，3]，且a，b为常数． (1)若a＝1，求f(x)的最大值； (2)若a>0，b＝－1，且f(x)的最小值为－4，求a的值． 解：(1)当a＝1时，f(x)＝x2＋2bx＋1，x∈[1，3]， 易知f(x)的图象关于x＝－b对称． 当－b>2，即b<－2时，f(x)max＝f(1)＝2b＋2， 当－b≤2，即b≥－2时， f(x)max＝f(3)＝6b＋10， 综上，f(x)max＝ (2)当b＝－1时，f(x)＝ax2－2x＋1，x∈[1，3]，又a>0， ∴f(x)的对称轴x＝>0. 当≤1，即a≥1时，f(x)min＝f(1)＝a－1， ∴a－1＝－4，解得a＝－3，不合题意，舍去． 当≥3，即0<a≤时， f(x)min＝f(3)＝9a－5＝－4， 解得a＝满足题意． 当1<<3，即<a<1时， f(x)min＝f＝1－＝－4， 解得a＝，不合题意，舍去． 故a的值为. 学科网（北京）股份有限公司 $