3.1.1 函数的概念-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦函数的概念及其表示，从初中变量依赖关系过渡到高中用集合语言刻画函数，系统梳理函数三要素、定义域求解、区间表示、同一函数判断及值域求法，构建递进式学习支架。 以神舟发射、炮弹飞行为情境引入，通过问题链引导学生抽象函数概念，培养数学抽象与逻辑推理素养。例题与分层练习结合提升运算能力，课中助力情境教学，课后帮助学生巩固查漏。

3．1　函数的概念及其表示 3．1.1　函数的概念 第1课时　函数的概念(一)　　　　　► 对应学生用书P53 学习目标　1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，提升数学抽象素养．(重点、难点)　2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用，提升逻辑推理素养．(难点)　3.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域，提升数学抽象和数学运算素养．(重点) 北京时间2025年4月24日17时17分，搭载神舟二十号载人飞船的长征二号F遥二十运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，约10分钟后，神舟二十号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，发射取得圆满成功． 问题1　火箭发射过程中，火箭升空高度h随时间t变化而变化，它们之间是函数关系吗？ 提示：每一个时刻t，都有唯一确定的高度h与之对应，因此是函数关系． 【自主评测】 1．教材挖掘：(1)函数概念中强调的“三个特点”分别指的是什么？ 提示：①非空性：函数定义中的集合A，B必须是两个非空实数集． ②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值． ③唯一性：每一个自变量都有唯一的函数值与之对应． (2)对于函数f：A→B，值域一定是集合B吗？ 提示：不一定．值域是函数值的集合，是集合B的子集，即值域{f(x)|x∈A}⊆B. 2．判断是非：判断下面结论是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)根据函数的定义，定义域中的任何一个x可以对应着值域中不同的y.(　　 ) (2)根据函数的定义，定义域中可以有多个x对应着值域中同一个y.(　　 ) (3)根据函数的定义，集合A中可以存在x在集合B中没有对应的y.(　　 ) (4)函数的定义域和值域一定是无限集合．(　　 ) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 　函数的概念 　　　一枚炮弹发射后，经过26 s落在地面击中目标，炮弹的射高为845 m，且炮弹距地面的高度为h(单位：m)，随时间t(单位：s)变化的规律是h＝130t－5t2. 问题2　炮弹飞行时间t的变化范围的集合A是什么？ 提示：A＝{t|0≤t≤26}． 问题3　炮弹在飞行过程中距离地面高度h的变化范围的集合B是什么？ 提示：B＝{h|0≤h≤845}． 问题4　对任一时刻t，高度h是否唯一确定？集合A，B有什么特点？ 提示：唯一确定，集合A，B均为非空的实数集． 概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 三 要 素 对应关系 y＝f(x) 定义域 x的取值范围A 值域 与x的值相对应的y值的集合{f(x)|x∈A} 例1　(链接教材：人教A版P64练习3)(多选)下列从集合A到集合B的对应关系f是函数的是(　　) A．A＝{－1，0，1}，B＝{0，1}，f：A中的数平方 B．A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数开方 C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数 D．A＝R，B＝{x|x≥0}，f：A中的数取绝对值 解析：选AD.按照函数定义，选项B中，集合A中的元素1对应集合B中的元素±1，不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件；选项C中， 集合A中的元素0取倒数没有意义，也不符合函数定义中集合A中任意元素都对应着唯一的函数值的要求；选项A和D符合函数的定义． 类题通法 判断一个对应关系是否为函数的方法 （1）根据函数的概念判断 (2) 根据图形判断 ①任取一条垂直于x轴的直线l； ②在定义域内平行移动直线l； ③若直线l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数． 　　　　　　　　　　　　　　　 【迁移运用】 1.下列图形中不是函数图象的是(　　) 解析：选A.选项A中至少存在一处如x＝0，一个横坐标对应两个纵坐标，这相当于集合A中至少有一个元素在集合B中对应的元素不唯一，故选项A中的图形不是函数图象，其余B，C，D均符合函数定义． 　函数的三要素 　　　已知函数y＝f(x)的图象如图所示 问题5　f(x)的定义域是什么？ 提示：f(x)的定义域为{x|－2≤x≤4，或5≤x≤8}． 问题6　f(x)的值域是什么？ 提示：值域为{y|－4≤y≤3}． 问题7　这个函数对应关系是用什么表示？ 提示：图象． 函数y＝f(x)，x∈A的定义域A，值域与对应关系f称为函数的三要素，其中值域由定义域与对应关系确定，值域是集合{f(x)|x∈A}，是集合B的子集． 角度一　函数的定义域、值域 例2　求函数y＝＋的定义域． 解析：要使函数式有意义，必须即 因此函数y＝＋的定义域为{x|x<0，且x≠－3}． 类题通法 求函数的定义域应关注三点 （1）要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有： ①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0. (2)不对解析式化简变形，以免定义域变化． (3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【迁移运用】 2.(链接教材：人教A版P73习题3.1T11)下列可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数图象的是(　　) 解析：选C.根据题意，依次分析选项．对于A，其对应函数的值域不是N＝{y|0≤y≤1}，A错误；对于B，图象中存在一部分与x轴垂直，该图象不是函数的图象，B错误；对于C，其对应函数的定义域为M＝{x|0≤x≤1}，值域是N＝{y|0≤y≤1}，C正确；对于D，图象不满足一个x对应唯一的y，该图象不是函数的图象，D错误． 角度二　求函数值 例3　已知函数f(x)＝，则f[f(1)]＝________． 解析：∵f(1)＝＝， ∴f[f(1)]＝f()＝＝. 答案： 类题通法 　　 函数求值的方法 (1) 已知f(x)的解析式时，只需用a替换解析式中的x即得f(a)的值． (2) 求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则． 注意：用来替换解析式中x的数a必须是函数定义域内的值，否则函数无意义． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【迁移运用】 3.设函数f(x)＝，则当f(x)＝2时，x的取值为(　　) A．－4 B．4 C．－10 D．10 解析：选C.令＝2，则x＝－10. 1．已知集合A＝{x|0≤x≤4}，集合B＝{x|0≤x≤2}，下列图象能建立从集合A到集合B的函数关系的是(　　) 解析：选D.选项A，当0<x≤4时，每个x对应2个y，错误； 选项B，不满足定义域为A＝{x|0≤x≤4}，错误； 选项C，不满足值域为B＝{x|0≤x≤2}，错误； 选项D，每个x都满足从集合A到集合B的函数关系，正确． 2．某校有一班级，设变量x是该班同学的姓名，变量y是该班同学的学号，变量z是该班同学的身高，变量w是该班同学的数学考试成绩，则下列选项中正确的是(　　) A．y是x的函数 B．w是y的函数 C．w是z的函数 D．w是x的函数 解析：选B.因为姓名不是数集，所以A、D错误；因为同一个身高可能对应多名同学，多个成绩，所以C错误；根据函数定义知，只有考试成绩与学号之间存在函数关系． 3．函数f(x)＝－(x－4)0的定义域是(　　) A．{x|x≥2} B．{x|x>2} C．{x|x>2，且x≠4} D．{x|x≥2，且x≠4} 解析：选C.由解得x＞2且x≠4，∴定义域为{x|x>2，且x≠4}． 4．已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R). (1)求f(2)，g(2)的值； (2)求f [g(3)]的值． 解：(1)∵f(x)＝，∴f(2)＝＝. 又∵g(x)＝x2＋2，∴g(2)＝22＋2＝6. (2)∵g(3)＝32＋2＝11，∴f[g(3)]＝f(11)＝＝. [课后分层练(十八)]　函数的概念(一) (单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分) 【基础巩固】 1．下列对应是从集合A到集合B的函数的是(　　) A．A＝R，B＝{x∈R|x＞0}，f：x→ B．A＝N，B＝N*，f：x→|x－1| C．A＝{x∈R|x＞0}，B＝R，f：x→x2 D．A＝R，B＝{x∈R|x≥0}，f：x→ 解析：选C.A中，x＝0时，集合B中没有元素与之对应；B中，x＝1时，|x－1|＝0，集合B中没有元素与之对应；C正确；D中，当x为负数时，B中没有元素与之对应． 2．函数y＝的定义域是(　　) A．{x|x＜－，或x＞1} B． C． D． 解析：选B.由题意，可得2－≥0，即≥0，即2x2－x－1≥0，解得x≤－或x≥1. 3．已知函数f(x＋2)＝x2－3x＋4，则f(1)＝(　　) A．4 B．6 C．7 D．8 解析：选D.由x＋2＝1，得x＝－1.令x＝－1，得f(1)＝(－1)2－3×(－1)＋4＝1＋3＋4＝8. 4．函数f(x)＝x2＋1(0<x≤2且x∈N*)的值域是(　　) A．{x|x≥1} B．{x|x>1} C．{2，3} D．{2，5} 解析：选D.因为0<x≤2且x∈N*，所以x＝1或x＝2，所以f(1)＝2，f(2)＝5，故函数的值域为{2，5}． 5．若函数f(x)＝ax2－1，a为一个正数，且f(f(－1))＝－1，那么a的值是(　　) A．1 B．0 C．－1 D．2 解析：选A.因为f(x)＝ax2－1，所以f(－1)＝a－1，f(f(－1))＝f(a－1)＝a·(a－1)2－1＝－1，所以a(a－1)2＝0.又因为a为正数，所以a＝1. 6．(多选)托马斯说：“函数概念是近代数学思想之花．”根据函数的概念判断：下列对应关系是集合M＝{－1，2，4}到集合N＝{1，2，4，16}的函数的是(　　) A．y＝2x B．y＝x＋2 C．y＝x2 D．y＝ 解析：选CD.对于A，当x＝－1时，y＝－2，没有对应值，不满足条件；对于B，当x＝4时，y＝x＋2＝6，没有对应值，不满足条件；C，D满足条件． 7．(多选)下列函数中，定义域为{x}的是(　　) A．y＝ B．y＝ C．y＝＋(3x－3)0 D．y＝(2x－2)0 解析：选AC.对于A选项，依题可知x－1≠0，且2x－2≥0，所以x>1，故A符合题意； 对于B选项，依题可知x－1≥0，所以x≥1，故B不符合题意； 对于C选项，依题可知x－1≥0，且3x－3≠0，所以x>1，故C符合题意； 对于D选项，依题可知2x－2≠0，所以x≠1，故D不符合题意． 8．若函数y＝的定义域为R，则实数a的取值范围为________． 解析：由题意不等式ax2－4ax＋3＞0的解集为R，当a＝0时，不等式变为3＞0，解集为R，符合题意．当a≠0时，实数a应满足条件解得0＜a＜.综上，实数a的取值范围为{a|0≤a＜}． 答案： 9．已知函数f(x)＝x2－mx＋n且f(1)＝－1，f(n)＝m，则f(f(－1))＝________，f(f(x))＝________． 解析：由题意知解得 所以f(x)＝x2－x－1，故f(－1)＝1， f(f(－1))＝f(1)＝－1， f(f(x))＝f(x2－x－1)＝(x2－x－1)2－(x2－x－1)－1＝x4－2x3－2x2＋3x＋1. 答案：－1　x4－2x3－2x2＋3x＋1 10．已知f(x)＝， (1)求f(x)的定义域； (2)求证：f()＝－f(x)； (3)若f(a)＝2，求a. 解：(1)若使函数f(x)＝有意义，需满足1－x2≠0，即x≠±1. 所以函数f(x)＝的定义域为{x|x≠±1}． (2)证明：∵f()＝＝＝， －f(x)＝－＝， ∴f()＝－f(x). (3)∵f(a)＝2，∴＝2， ∴3a2＝1，解得a＝±. 【综合运用】 11．函数y＝f(x)的图象如图所示，那么f(x)的定义域是______，其中只与x的一个值对应的y值的范围是________． 解析：观察函数图象可知，f(x)的定义域是[－3，0]∪[2，3]；只与x的一个值对应的y值的范围是[1，2)∪(4，5]. 答案：[－3，0]∪[2，3]　[1，2)∪(4，5] 12．已知f(x)满足f(ab)＝f(a)＋f(b)且f(2)＝p，f(3)＝q，则f(72)＝________． 解析：因为f(ab)＝f(a)＋f(b)， 所以f(9)＝f(3)＋f(3)＝2q， f(8)＝f(4)＋f(2)＝f(2)＋f(2)＋f(2)＝3p， 所以f(72)＝f(8×9)＝f(8)＋f(9)＝3p＋2q. 答案：3p＋2q 13．一个小球被抛出后经过6 s落地，小球在空中运动时与地面的最大距离为9 m，且小球的高度h与运动时间t之间的关系为h＝－t2＋6t，求该关系所表示的函数的定义域和值域，并用函数的定义来描述这个函数． 解：定义域为A＝， 因为h＝－t2＋6t＝－2＋9，则值域为B＝， 对应关系h＝－t2＋6t把集合A中的任意一个数t，对应到集合B中唯一确定的数－t2＋6t. 14．(一题多解)已知f(x)＝，x∈R. (1)计算f(a)＋f()的值； (2)计算f(1)＋f(2)＋f()＋f(3)＋f()＋f(4)＋f()的值． 解：(1)由于f(a)＝，f()＝， 所以f(a)＋f()＝1. (2)法一　因为f(1)＝＝， f(2)＝＝， f()＝＝， f(3)＝＝，f()＝＝， f(4)＝＝，f()＝＝， 所以f(1)＋f(2)＋f()＋f(3)＋f()＋f(4)＋f()＝＋＋＋＋＋＋＝. 法二　由(1)知，f(a)＋f()＝1， 则f(2)＋f()＝f(3)＋f()＝f(4)＋f()＝1， 即[f(2)＋f()]＋[f(3)＋(f())]＋[f(4)＋f()]＝3， 而f(1)＝，所以f(1)＋f(2)＋f()＋f(3)＋f()＋f(4)＋f()＝. 【创新探索】 15．(多选)(数学文化)德国数学家狄利克雷(1805—1859)在1837年时提出：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，那么y是x的函数．”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个x，有一个确定的y和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示，如狄利克雷函数D(x)，即当自变量取有理数时，函数值为1；当自变量取无理数时，函数值为0.以下关于狄利克雷函数D(x)的性质正确的有(　　) A．D()＝1 B．D(x)的值域为[0，1] C．D(x)的定义域为R D．D(x－1)＝D(x) 解析：选CD.因为是无理数，所以D()＝0，故A错误；D(x)的值域为{0，1}，故B错误；D(x)的定义域为R，故C正确；当x为有理数时，x－1也为有理数，所以此时D(x－1)＝D(x)＝1，当x为无理数时，x－1也为无理数，所以此时D(x－1)＝D(x)＝0，所以对x∈R，都有D(x－1)＝D(x)，故D正确． 第2课时　函数的概念(二)　　　　　► 对应学生用书P56 学习目标　1.会判断两个函数是否为同一个函数，提升数学抽象素养．(重点)　2.能正确使用区间表示数集，提升数学运算素养．(重点) 3.会求一些简单函数的值域．提升数学运算素养．(重点、难点) 　区间的概念 设计运行时速达350 km的京津城际列车呈现出超越世界的“中国速度”，使得新时速旅客列车的运行速度值界定在200 km/h与350 km/h之间． 问题1　如何用不等式表示列车的运行速度的范围？ 提示：200≤v≤350. 问题2　如何用集合表示列车的运行速度的范围？ 提示：{v|200≤v≤350}． 1．一般区间的表示 设a，b是两个实数，且a<b，规定如下： 集合 名称 区间 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a，b] 2．特殊区间的表示 集合 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤b} {x|x<b} 区间 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，b] (－∞，b) 例1　(链接教材：人教A版P64)把下列数集用区间表示： (1){x|x≥－2}；(2){x|x<0}；(3){x|－1<x<1}；(4){x|0<x<1，或2≤x≤4}． 解：(1){x|x≥－2}＝[－2，＋∞). (2){x|x<0}＝(－∞，0). (3){x|－1<x<1}＝(－1，1). (4){x|0<x<1，或2≤x≤4}＝(0，1)∪[2，4]. 类题通法 　 用区间表示数集时的注意点 (1) 区间左端点值小于右端点值； (2) 区间两端点之间用“，”隔开； (3) 含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号； (4) 以“－∞”“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【迁移运用】 1.若[a，3a－1]为一确定区间，则a的取值范围是________． 解：因为[a，3a－1]为一确定区间，所以a<3a－1，解得a>，所以a的取值范围是. 答案： 　同一个函数　 问题3　构成函数的要素有哪些？ 提示：定义域、对应关系和值域． 问题4　结合函数的定义，如何才能确定同一个函数？ 提示：两个函数的定义域相同，且对应关系完全一致． 问题5　函数y＝x与g(x)＝|x|的对应关系与值域是否分别相同？ 提示：都不相同． 前提条件 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致 结论 这两个函数是同一个函数 例2　(链接教材：人教A版P66例3)(多选)给出下列各组函数： ①f(x)＝，g(x)＝x－1； ②f(x)＝·，g(x)＝； ③f(x)＝，g(x)＝x＋3； ④f(x)＝x＋1，g(x)＝x＋x0； ⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f(t)＝80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)＝80x(0≤x≤5). 其中表示同一函数的是________(填序号). 解析：①定义域不同，不是同一函数． ②f(x)与g(x)的定义域都是[－1，1]，且对应关系相同，是同一函数． ③f(x)＝＝|x＋3|与g(x)＝x＋3对应关系不同，不是同一函数． ④f(x)与g(x)的定义域不同，不是同一函数． ⑤f(t)与g(x)的定义域和对应关系分别对应相同，是同一函数． 答案：②⑤ 类题通法 判断两个函数是否为同一个函数的步骤 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【迁移运用】 2.(多选)下列各组函数为同一个函数的是(　　) A．f(x)＝x，g(x)＝ B．f(x)＝1，g(x)＝(x－1)0 C．f(x)＝，g(x)＝ D．f(t)＝，g(t)＝t＋4(t≠4) 解析：选CD.对于A，这两个函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一个函数； 对于B，这两个函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一个函数； 对于C，这两个函数的定义域与对应关系均相同，所以这两个函数为同一个函数； 对于D，这两个函数的定义域与对应关系均相同，所以这两个函数是同一个函数． 　求抽象函数的定义域　 例3　已知函数f(x)的定义域为[1，2]，求函数y＝f(2x＋1)的定义域． 解：因为f(x)的定义域为[1，2]，即1≤x≤2， 所以函数y＝f(2x＋1)满足1≤2x＋1≤2，所以0≤x≤， 所以函数y＝f(2x＋1)的定义域为[0，]. 变式探究　(1)已知函数y＝f(2x＋1)的定义域为[1，2]，求函数f(x)的定义域． 解：因为y＝f(2x＋1)的定义域为[1，2]，即1≤x≤2， 所以3≤2x＋1≤5，所以函数f(x)的定义域满足3≤x≤5， 即函数f(x)的定义域为[3，5]. (2)已知函数y＝f(2x＋1)的定义域为[1，2]，求函数y＝f(2x－1)的定义域． 解：因为y＝f(2x＋1)的定义域[1，2]，即1≤x≤2， 所以3≤2x＋1≤5，所以函数y＝f(2x－1)满足3≤2x－1≤5，即2≤x≤3， 所以函数f(2x－1)的定义域为[2，3]. 类题通法 已知f(x)的定义域求解f(g（x）)的定义域，或已知f(g（x）)的定义域求f(x) 定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则下，括号内式子的范围相同. 　求一些简单函数的值域 例4　求下列函数的值域： (1)y＝－1； (2)y＝； (3)y＝(x>1)； (4)y＝2x－. 解：(1)(直接法)因为≥0，所以－1≥－1， 所以y＝－1的值域为{y|y≥－1}． (2)(分离常数法)因为y＝＝1－，且定义域为{x|x≠－1}，所以≠0，即y≠1. 所以函数y＝的值域为{y|y∈R，且y≠1}． (3)(基本不等式法)由x>1，知x－1>0. 则y＝＝＝(x－1)＋＋2≥2＋2＝8. 当且仅当x－1＝，即x＝4时，取“＝”． 所以y＝(x>1)的最小值为8. 故函数y＝的值域为{y|y≥8}． (4)(换元法)设t＝，则t≥0，且x＝t2＋1， 所以y＝2(t2＋1)－t＝2(t－)2＋， 由t≥0，结合函数的图象可得原函数的值域为{y|y≥}． 类题通法 求函数值域的常用方法 (1) 对一些简单的函数，用观察法直接求解． (2) 对于二次函数，常用配方法求值域． (3) 对于分式类型的函数，采用分离常数法，转化为“反比例函数”的形式，便于求值域． (4)对于带根号的函数，常用换元法转化为有理函数，间接地求原函数的值域． 　　 　　　　　　　　　　　　　　　 【迁移运用】 3.求下列函数的值域： (1)y＝，x∈[1，2)；(2)y＝x＋(x>0)； (3)y＝. 解：(1)因为1≤x<2，所以1≤x2<4， 所以<≤1，所以2<≤8，所以函数的值域是(2，8]. (2)因为x>0，所以x＋≥2＝4(当且仅当x＝2时取等号)，可知y＝x＋(x>0)的值域为[4，＋∞). (3)因为y＝＝，所以0≤y≤， 所以原函数的值域为. 1．下列各组函数中是同一个函数的是(　　) A．y＝x＋1与y＝ B．y＝x2＋1与s＝t2＋1 C．y＝2x与y＝2x(x≥0) D．y＝(x＋1)2与y＝x2 解析：选B.A，C选项中两函数的定义域不同，D选项中两函数的对应关系不同，故A，C，D中不是同一个函数；B选项中两函数的定义域和对应关系均相同，是同一个函数． 2．已知函数f(x－1)的定义域为{x|－2≤x≤3}，则函数f(2x＋1)的定义域为(　　) A．{x|－1≤x≤9} B．{x|－3≤x≤7} C．{x|－2≤x≤1} D．{x|－2≤x≤} 解析：选D.∵函数y＝f(x－1)的定义域为{x|－2≤x≤3}， ∴－2≤x≤3，则－3≤x－1≤2，即函数f(x)的定义域为{x|－3≤x≤2}． ∴对函数f(2x＋1)，有－3≤2x＋1≤2，解得－2≤x≤. 即函数f(2x＋1)的定义域为{x|－2≤x≤}． 3．已知f(x)＝x－6，若f(a)＝1，则f(a2)＝________． 解析：若f(a)＝a－6＝1，则a＝7， ∴f(a2)＝f(49)＝49－6＝43. 答案：43 4．求下列函数的定义域，并用区间表示． (1)y＝； (2)y＝. 解：(1)由于0的零次幂无意义，故x＋1≠0，即x≠－1.又x＋2>0，即x>－2， 所以函数y＝的定义域为(－2，－1)∪(－1，＋∞). (2)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足解得x≤5，且x≠±3， 所以函数y＝的定义域为(－∞，－3)∪(－3，3)∪(3，5]. “双曲”函数 (链接教材：人教A版P73习题3.1T5) 感悟升华 形如y＝(c≠0，a≠0)的函数，通过分离常数可转化y＝m＋(t≠0)的形式，故它的图象可由反比例函数y＝(t≠0)的图象通过平移得到，其形状与反比例函数y＝(t≠0)的图象的形状一样，都是双曲线，故常称其为“双曲”函数．其对称中心是点(－n，m)，定义域为{x|x≠－n}，值域为{y|y≠m}． [课后分层练(十九)]　函数的概念(二) (单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分) 【基础巩固】 1．已知集合A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝x2＋1}，则A∩(∁RB)＝(　　 ) A．[0，1) B．(－∞，1) C．[－1，1) D．[－1，1] 解析：选C.因为A＝{x|y＝}＝{x|x≥－1}＝[－1，＋∞)，B＝{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}＝[1，＋∞)，所以∁RB＝(－∞，1)，所以A∩(∁RB)＝[－1，1). 2．已知函数f(x－3)＝x2－x＋1，则f(－1)＝(　　 ) A．－5 B．－1 C．2 D．3 解析：选D.取x＝2，有f(－1)＝22－2＋1＝3. 3．已知定义域为R的函数f(x)满足f(x)＋f(y)＝x＋y，则f(2)＝(　　 ) A．0 B． C．1 D．2 解析：选D.令x＝y＝2，则f(2)＋f(2)＝4，所以f(2)＝2. 4．已知函数f(x)＝，则函数g(x)＝f(2x)＋f(x2)的定义域为(　　 ) A．[－，] B．(－∞，] C．[1，] D．[－，1] 解析：选D.由题可知f(x)＝的定义域为(－∞，2]，则为使g(x)＝f(2x)＋f(x2)有意义必须且只需解得－≤x≤1，所以g(x)的定义域为[－，1]. 5．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝－x2＋4x(单位：m)的一部分，则水喷出的最大高度是(　　) A．4 m B．3 m C．2 m D．1 m 解析：选A.y＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4≤4，故水喷出的最大高度是4 m. 6．下列各组函数中，表示同一个函数的是(　　) A．y＝|x|，y＝ B．y＝x，y＝ C．y＝1，y＝x0 D．y＝|x|，y＝()2 解析：选A.选项A，解析式等价，定义域也相同，所以是同一个函数； 选项B，解析式化简后相同，但定义域不同，因为分母不能取0，所以不是同一个函数； 选项C，解析式化简后都是1，但定义域不同，因为0的0次幂没有意义，所以不是同一个函数； 选项D，解析式不同，定义域也不同，所以不是同一个函数． 7．若函数y＝f(x)的定义域是[0，2 023]，则函数g(x)＝的定义域是(　　 ) A．[－1，2 022] B．[－1，2)∪(2，2 022] C．[1，2)∪(2，2 024] D．(1，2 024] 解析：选B.由题意得0≤x＋1≤2 023且x－2≠0，解得－1≤x≤2 022且x≠2，故g(x)＝的定义域为[－1，2)∪(2，2 022]. 8．(多选)下列函数，值域为(0，＋∞)的是(　　) A．y＝x＋1(x>－1) B．y＝x2 C．y＝(x>0) D．y＝ 解析：选AC.A选项，函数y＝x＋1(x>－1)的值域为(0，＋∞)，正确； B选项，函数y＝x2的值域为[0，＋∞)，错误； C选项，函数y＝(x>0)的值域为(0，＋∞)，正确； D选项，函数y＝的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，错误． 9．记函数f(x)＝－的定义域为集合M，函数g(x)＝x2－4x＋3的值域为集合N，求： (1)M，N； (2)M∩N，M∪N. 解：(1)由题意得解得－3≤x≤－1， 即M＝[－3，－1]. 由题意得，g(x)＝(x－2)2－1≥－1， 即N＝[－1，＋∞). (2)由(1)可知，M＝[－3，－1]，N＝[－1，＋∞)， 所以M∩N＝{－1}，M∪N＝[－3，＋∞). 【综合运用】 10．(多选)下列命题正确的是(　　) A．命题“∀x，y∈R，x2＋y2≥0”的否定是“∃x，y∈R，x2＋y2<0” B．f(x)＝x－1与g(x)＝是同一个函数 C.函数y＝x＋的值域为[0，＋∞) D．若函数f(x＋1)的定义域为[1，4]，则函数f(x)的定义域为[2，5] 解析：选AD.对于A，命题“∀x，y∈R，x2＋y2≥0”的否定是“∃x，y∈R，x2＋y2<0”，故A正确； 对于B，函数f(x)＝x－1的定义域为x∈R，函数g(x)＝的定义域为{x|x≠－1}， 两个函数的定义域不一样，所以两个函数不是同一个函数，故B错误； 对于C，函数y＝x＋的定义域为[1，＋∞)， 函数y＝x＋＝()2＋＋1，令t＝，则t≥0， 所以y＝t2＋t＋1＝(t＋)2＋≥1，所以函数y＝x＋的值域为[1，＋∞)，故C错误； 对于D，若函数f(x＋1)的定义域为[1，4]，可得2≤x＋1≤5，则函数f(x)的定义域为[2，5]，故D正确． 11．函数f(x)＝x＋的值域是(　　) A．[，＋∞) B．[，＋∞) C．(－∞，] D．(－∞，] 解析：选D.由1－4x≥0得x≤，设t＝，则t≥0，且t2＝1－4x， 即x＝， 则f(x)等价为y＝＋t＝－(t－2)2＋，抛物线开口向下，对称轴为t＝2， ∵t≥0，∴当t＝2时函数取得最大值， 即f(x)≤，即函数的值域为(－∞，]. 12．已知函数f(x)的定义域为[0，1]，且满足下列条件： ①对于任意x∈[0，1]，总有f(x)≥2； ②若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，则有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)－2.则f(0)＝(　　 ) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选C.令x1＝x2＝0，由①对于任意x∈[0，1]，总有f(x)≥2， ∴f(0)≥2， 又由②得f(0)≥2f(0)－2，即f(0)≤2； ∴f(0)＝2. 13．如图所示，用长为1的铁丝做一个下面为矩形、上面为半圆的框架，若半圆的半径为x，求此框架围成的面积y与x的函数，并写出定义域． 解：由题意知，AB＝2x，的长为πx， 于是AD＝， ∴y＝2x·＋， 即y＝－x2＋x. 由解得0<x<， ∴所求函数的定义域为. 故所求的函数为y＝－x2＋x，定义域为. 14．设函数f(x)＝. (1)当m＝－1时，求函数f(x)的定义域； (2)若函数f(x)的定义域为R，求实数m的取值范围． 解：(1)依题意，满足函数f(x)有意义，则mx2＋mx＋2≥0， 当m＝－1时，则－x2－x＋2≥0， 解得－2≤x≤1， 故函数的定义域为. (2)若函数f(x)＝的定义域为R， 则对任意的x∈R，mx2＋mx＋2≥0恒成立， 当m＝0时，2≥0显然成立． 当m≠0时，由解得0<m≤8. 综上，实数m的取值范围为. 【创新探索】 15．我们规定：与函数f(x)的解析式相同，值域相同但定义域不同的函数叫f(x)的“孪生函数”，那么解析式为y＝2x2－1，值域为{1，－1}，定义域为{－1，0}的函数f(x)的“孪生函数”有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：选B.根据题意，令2x2－1＝1，解得x＝±1，令2x2－1＝－1，解得x＝0， 故解析式为y＝2x2－1，值域为{1，－1}，定义域为{－1，0}的函数f(x)的“孪生函数”定义域为{0，1}或{－1，0，1}，因此只有2个． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [备课札记] 学科网（北京）股份有限公司 $