2.3 二次函数与一元二次方程、不等式-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦二次函数与一元二次方程、不等式的联系，系统梳理一元二次不等式的概念、解法（借助二次函数图象），以及分式不等式、含参不等式的求解和实际应用，构建从实际情境抽象问题到综合应用的学习支架。 通过园艺师围矩形等情境引入培养数学眼光，以三个“二次”关系分析等问题链发展数学思维，结合节能灯销售、地块设计等实例提升数学语言表达能力。“类题通法”总结规律，“课后分层练”分层巩固，课中辅助教学，课后助力查漏补缺。

2．3　二次函数与一元二次方程、不等式 第1课时　二次函数与一元二次方程、不等式　► 对应学生用书P43 学习目标　1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义，提升数学建模素养．(重点)　2.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示解集，提升数学运算素养．(重点)　3.了解三个“二次”间的联系，提升数学抽象素养．(重点、难点) 　　　园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉．若栅栏的长度是24 m，围成的矩形区域的面积要大于20 m2. 问题1　这个矩形的边长为多少米？你认为该如何解决这个问题呢？ 提示：设矩形的一边长为x m，则另一相邻边长为(12－x) m，由题意，得(12－x)x>20, 0<x<12. 求得该不等式的解集，就得到了问题的答案． 【自主评测】 1．教材挖掘：(1)请认真阅读教材P50～51，分析思考：三个“二次”的关系. 提示：一元二次方程的实数根(即对应二次函数的零点)是对应二次函数图象与x轴交点的横坐标，是一元二次不等式解集的端点． (2)请认真阅读教材P50～51，分析思考：如何解一元二次不等式. 提示：首先将方程化成一般形式，然后解对应方程，再画出对应函数图象，最后借助图象写出不等式的解集． 2．判断是非：判断下面结论是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)不等式ax2＋x－1<0是一元二次不等式．(　　 ) (2)二次函数y＝x2－4的零点是(2，0)，(－2，0).(　　 ) (3)若y＝ax2＋bx＋c(a>0)的两个零点分别为1，2，则ax2＋bx＋c<0的解集为{x|1<x<2 }．(　　 ) (4)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 　一元二次不等式 　　　给出下面四个不等式： (1)x2－x－6>0，(2)x2－x－6≤0， (3)－x2＋2x≥0，(4)2x2＋x＋5<0. 问题2　以上四个不等式中，每个不等式含有几个未知数？未知数的最高次数是多少？ 提示：含有一个未知数，未知数的最高次数是2. 一元二次不等式 定义 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式 一般形式 ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0 例1　下列不等式中是一元二次不等式的为(　　) A．ax2＋2x＋1>0 B．x2－y>0 C．－x2－3x<0 D．>0 解析：选C.只有－x2－3x<0是一元二次不等式，其他都不是． 类题通法 对一元二次不等式的再理解:①一元，即只含一个未知数，其他元素均为常数(或参数);②二次，即未知数的最高次数必须为 2,且其系数不能为0;③整式不等式. 【迁移运用】 1.若把ab≠0，a2b＋2ab2＋9>0看成关于a的一元二次不等式，则二次项系数为______． 答案：b 　一元二次不等式的解法 问题3　二次函数y＝x2－12x＋20的图象与x轴有几个交点？其交点与方程x2－12x＋20＝0的根有什么关系？ 提示：两个交点，交点的横坐标正好是方程x2－12x＋20＝0的根． 问题4　能否从二次函数y＝x2－12x＋20的图象上找到x2－12x＋20<0的解集？ 提示：能． 1．二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 温馨提示 零点不是点，只是函数的图象与x轴交点的横坐标. 2．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系(a>0) 项目 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c的图象 ax2＋bx＋c＝0的根 有两个不等实根x1，x2(x1<x2) 有两个相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0的解集 {x|x<x1，或x>x2} {x|x≠－} R ax2＋bx＋c<0的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 角度一　解不含参数的一元二次不等式 例2　(链接教材：人教A版P52例2)解下列不等式： (1)－x2＋7x>6； (2)4(2x2－2x＋1)>x(4－x)； (3)(2－x)(x＋3)<0. 解：(1)原不等式可化为x2－7x＋6<0. 解方程x2－7x＋6＝0，得x1＝1，x2＝6. 结合二次函数y＝x2－7x＋6的图象知，原不等式的解集为{x|1<x<6}． (2)原不等式可化为9x2－12x＋4>0. 解方程9x2－12x＋4＝0，得x1＝x2＝. 结合二次函数y＝9x2－12x＋4的图象知，原不等式的解集为{x|x≠}． (3)原不等式可化为(x－2)(x＋3)>0. 方程(x－2)(x＋3)＝0的两根为2和－3. 结合二次函数y＝(x－2)(x＋3)的图象知，原不等式的解集为{x|x<－3，或x>2}． 类题通法 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)化标准：通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正； (2)判别式：对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式； (3)求实根：求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根； (4)画草图：根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图； (5)写解集：根据图象写出不等式的解集． 角度二　由一元二次不等式的解集求参数 例3　若关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为，求关于x的不等式cx2－bx＋a>0的解集． 解：由题意知 所以 代入不等式cx2－bx＋a>0中，得ax2＋ax＋a>0(a<0)，化简得x2＋5x＋6<0，解得－3<x<－2， 所以所求不等式的解集为{x|－3<x<－2}． 变式探究　(变条件)若将本例中“ {x|x<，或x>}”改为“ ”，其他条件不变，如何求解？ 解：由题意知所以 代入不等式cx2－bx＋a>0，得ax2＋ax＋a>0(a>0)，化简得x2＋5x＋6>0，解得x>－2或x<－3. 所以所求不等式的解集为{x|x>－2，或x<－3}． 类题通法 已知以a,b,c为参数的不等式(如ax²+bx+c>0)的解集,求解其他不等式的解集时,一般遵循: (1)根据解集来判断二次项系数的符号. (2)根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式. (3)约去 a,将不等式化为具体的一元二次不等式求解. 1．下面所给关于x的几个不等式：①3x＋4＜0；②x2＋mx－1＞0；③ax2＋4x－7＞0；④x2＜0.其中一定为一元二次不等式的有(　　 ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：选B.②④一定是一元二次不等式． 2．若不等式ax2＋5x＋c＞0的解集为{x|＜x＜}，则a，c的值为(　　 ) A．a＝6，c＝1 B．a＝－6，c＝－1 C．a＝1，c＝6 D．a＝－1，c＝－6 解析：选B.易知a＜0，且⇒ 3．(2023·新高考Ⅰ卷)已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，则M∩N＝(　　 ) A．{－2，－1，0，1} B．{0，1，2} C．{－2} D．{2} 解析：选C.方法一　因为N＝{x|x2－x－6≥0}＝{x|x≤－2，或x≥3}，而M＝{－2，－1，0，1，2}，所以M∩N＝{－2}． 方法二　因为M＝{－2，－1，0，1，2}，将－2，－1，0，1，2代入不等式x2－x－6≥0，只有－2使不等式成立，所以M∩N＝{－2}． 4．解不等式：0≤x2－x－2≤4. 解：原不等式等价于 解x2－x－2≥0，得x≤－1或x≥2； 解x2－x－2≤4，得－2≤x≤3. 所以原不等式的解集为{x|x≤－1，或x≥2}∩{x|－2≤x≤3}＝{x|－2≤x≤－1，或2≤x≤3}． 穿针引线法解一元高次不等式 例　不等式(x＋2)(x2－x－12)>0的解集为________． 名师点拨 穿针引线法解高次不等式的原理其实是画出高次函数的大致图象(体现在图象与x轴交点和上下位置关系)，再根据高次函数的图象求解相应的一元高次不等式的解集． 解析：高次方程(x＋2)(x2－x－12)＝0，即(x＋2)(x＋3)(x－4)＝0的根为x1＝－2，x2＝－3，x3＝4. 如图所示，将－3，－2，4标在数轴上，然后用一条光滑的曲线从数轴右端的上方起，依次穿过这些点，则不等式的解集即曲线在数轴上方的部分对应的x的取值范围． 故原不等式的解集为{x|x>4，或－3<x<－2}． 答案：{x|x>4，或－3<x<－2} [课后分层练(十五)]　二次函数与一元二次方程、不等式 (单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分) 【基础巩固】 1．不等式 x2－2x>0的解集是(　　 ) A．{x} B．{x} C．{x} D．{x} 解析：选B.由x2－2x>0，得x(x－2)>0，解得x>2或x<0. 2．下列四个不等式：①－x2＋x＋1≥0；②x2－2 x＋>0；③x2＋6x＋10>0；④2x2－3x＋4<1.其中解集为R的是(　　 ) A．① B．② C．③ D．④ 解析：选C.不等式①的解集显然不为R；不等式②对应方程的根的判别式Δ1＝(－2)2－4×>0，所以不等式②的解集不为R；不等式③对应方程的根的判别式Δ2＝62－4×10<0，且对应函数图象的开口向上，故不等式③的解集为R；不等式④可化为2x2－3x＋3<0，其所对应的二次函数图象开口向上，显然不等式④的解集不为R. 3．不等式x2＋ax＋4＜0的解集不是空集，则实数a的取值范围是(　　 ) A．{a|a＞4，或a＜－4} B．{a|－4＜a＜4} C．{a|a≥4，或a≤－4} D．{a|－4≤a≤4} 解析：选A.不等式x2＋ax＋4＜0的解集不是空集，即不等式x2＋ax＋4＜0有解，所以Δ＝a2－4×1×4＞0，解得a＞4或a＜－4. 4．(新定义)在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)＜0的实数x的取值范围为(　　 ) A．{x|0＜x＜2} B．{x|－2＜x＜1} C．{x|x＜－2或x＞1} D．{x|－1＜x＜2} 解析：选B.因为x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋x－2＝x2＋x－2＜0，所以(x＋2)(x－1)＜0，所以－2＜x＜1. 5．(多选)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为{x|x≤－3，或x≥4}，则下列说法正确的是(　　 ) A．a>0 B．不等式bx＋c>0的解集为{x|x<－12} C．a＋b＋c>0 D．不等式cx2－bx＋a<0的解集为{x|x<－，或x>} 解析：选ABD.由题意知，－3和4是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，且a>0，故选项A正确； 由上可知即所以不等式bx＋c>0可化为－ax－12a>0，即x＋12<0，解得x<－12，故选项B正确； 因为1∉{x|x≤－3，或x≥4}，所以当x＝1时，有a＋b＋c<0，故选项C错误； 不等式cx2－bx＋a<0可化为－12ax2＋ax＋a<0，即12x2－x－1>0，解得x<－或x>，故选项D正确． 6．(多选)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论中正确的是(　　) A．b＝－2a B．a＋b＋c<0 C．a＋c<b D．abc<0 解析：选ACD.由题意得a<0，对称轴x＝－＝1，则b＝－2a>0，故A正确； 当x＝1时，y＝a＋b＋c>0，故B错误； 当x＝－1时，y＝a－b＋c<0，则a＋c<b，故C正确； 当x＝0时，y＝c>0，则abc<0，故D正确． 7．已知集合M＝{x|－9x2＋6x－1＜0}，N＝{x|x2－3x－4＜0}，则M∩N＝____________． 解析：解不等式－9x2＋6x－1＜0得x≠，即M＝{x|x≠}． 解不等式x2－3x－4＜0得－1＜x＜4， 即N＝{x|－1＜x＜4}． ∴M∩N＝{x|－1＜x＜4，且x≠}． 答案：{x|－1<x<4，且x≠} 8．若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＜0)的图象与x轴的两个交点为(－1，0)和(3，0)，则不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是________________． 解析： 由已知画出二次函数y＝ax2＋bx＋c的大致图象，如图，所以不等式的解集为{x|x＜－1，或x＞3}． 答案：{x|x<－1，或x>3} 9．解下列不等式： (1)－2x2＋x－6<0； (2)－x2＋6x－9≥0； (3)x2－2x－3>0； (4)－4x2＋4x－1>0. 解：(1)原不等式可化为2x2－x＋6>0. 对于方程2x2－x＋6＝0，易知函数y＝2x2－x＋6的图象开口向上， 因为Δ＝(－1)2－4×2×6＝－47<0， 所以函数y＝2x2－x＋6的图象与x轴无交点，大致如图1所示， 由图1可知原不等式的解集为R. (2) 原不等式可化为x2－6x＋9≤0，即(x－3)2≤0，函数y＝(x－3)2的图象如图2所示， 由图2可知原不等式的解集为{x|x＝3}． (3)易知方程x2－2x－3＝0的两根分别是x1＝－1，x2＝3， 则函数y＝x2－2x－3的图象与x轴有两个交点，分别为点(－1，0)和点(3，0)， 又函数y＝x2－2x－3的图象开口向上，所以该函数的图象如图3所示， 由图3可得原不等式的解集为{x|x<－1，或x>3}． (4) 原不等式可化为4x2－4x＋1<0， 易知方程4x2－4x＋1＝0有两个相等实根x1＝x2＝， 画出函数y＝4x2－4x＋1的图象如图4所示， 由图4可知原不等式的解集为∅. 【综合运用】 10．某同学求解关于x的不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)时，因弄错常数b的符号，解得解集为{x|－6<x<1}．若该同学解不等式的过程正确，则不等式cx2＋bx＋a<0 的解集为(　　 ) A． B. C. D. 解析：选C.由题意知，a<0，且－6＋1＝，－6×1＝，所以b＝－5a，c＝－6a，所以cx2＋bx＋a<0 可化为6x2＋5x－1<0，解得－1＜x＜. 11．(多选)已知关于x的不等式x2－4ax＋3a2<0(a<0)的解集为{x|x1<x<x2}，则(　　 ) A．x1x2＋x1＋x2<0的解集为{a|－<a<0} B．x1x2＋x1＋x2的最小值为－ C．x1＋x2＋的最大值为－ D．x1＋x2＋的最小值为 解析：选ABC.不等式x2－4ax＋3a2<0(a<0)的解集为{x|x1<x<x2}，根据根与系数的关系，可得x1x2＝3a2，x1＋x2＝4a.x1x2＋x1＋x2<0可化为3a2＋4a<0，解得－<a<0，∴A正确； x1x2＋x1＋x2＝3a2＋4a＝3(a＋)2－≥－，∴B正确； x1＋x2＋＝4a＋，∵a<0， ∴－4a－≥2＝，当且仅当－4a＝－，即a＝－时取等号，∴4a＋≤－，∴x1＋x2＋的最大值为－，∴C正确，D错误． 12．已知集合A＝{x|x2－2x－3>0}，B＝{x|x2＋px＋q≤0}．若A∪B＝R，且A∩B＝{x|－2≤x<－1}，求实数p及q的值． 解：因为x2－2x－3>0，即(x－3)·(x＋1)>0，解得x>3或x<－1， 所以集合A＝{x|x>3，或x<－1}． 因为A∪B＝R，A∩B＝{x|－2≤x<－1}， 所以集合B＝{x|－2≤x≤3}，因为集合B＝{x|x2＋px＋q≤0}， 所以x＝－2和x＝3是方程x2＋px＋q＝0的解， 则解得p＝－1，q＝－6. 13．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴相交于(1，0)与(3，0)两点，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集是否确定？若确定，求出其解集；若不确定，请给出一个条件，使其解集确定． 解：不确定．由二次函数的图象及一元二次不等式的关系可知： 当a>0时，ax2＋bx＋c>0的解集为{x|x<1，或x>3}； 当a<0时，ax2＋bx＋c>0的解集为{x|1<x<3}． 故只需要给a一个具体值或给定a的符号，不等式ax2＋bx＋c>0的解集就是确定的，如给定a>0，则其解集为{x|x<1，或x>3}． 【创新探索】 14．设0＜b＜1＋a，若关于x的不等式(x－b)2＞(ax)2的整数解恰有3个，求a的取值范围． 解：原不等式转化为[(1－a)x－b][(1＋a)x－b]＞0. ①当－1＜a≤1时，结合不等式解集的形式知不符合题意； ②当a＞1时，解原不等式可得＜x＜，由题意知0＜＜1，所以要使原不等式的整数解恰有3个，则需－3≤＜－2，整理得2a－2＜b≤3a－3.结合题意b＜1＋a，有2a－2＜1＋a，所以a＜3，从而有1＜a＜3.综上，a的取值范围是1＜a＜3. 第2课时　一元二次不等式的应用　　　 ► 对应学生用书P46 学习目标　1.熟练掌握分式不等式的解法和含参不等式的解法，提升数学运算素养．(重点、难点)　2.理解一元二次方程、二次函数、一元二次不等式之间的关系，提升数学抽象素养．(重点)　3.构建一元二次函数模型，解决实际问题，提升数学建模素养．(重点) 　分式不等式的解法 问题　不等式≥0的解集与(x＋1)(x－2)≥0的解集相同吗？不等式<0与(x－3)(x＋2)<0等价吗？ 提示：不相同；等价． 简单分式不等式的解法 例1　求下列不等式的解集： (1)≤1； (2)<0. 解：(1)∵≤1，∴－1≤0，∴≤0，即≥0. 此不等式等价于(x－4)(x－)≥0且x－≠0，解得x<或x≥4. ∴原不等式的解集为{x|x<，或x≥4}． (2)由<0得>0，此不等式等价于(x＋)(x－1)>0， 解得x<－或x>1， ∴原不等式的解集为{x|x<－，或x>1}． 类题通法 分式不等式的解法 (1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零． (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零的形式，然后求解． 【迁移运用】 (多选)与不等式≥0不同解的不等式是(　　 ) A．(x－3)(2－x)≥0 B．0<x－2≤1 C．≥0 D．(x－3)(2－x)>0 解析：选ACD.由≥0得解得2<x≤3， 对于A，由(x－3)(2－x)≥0得2≤x≤3，不同； 对于B，由0<x－2≤1得2<x≤3，相同； 对于C，由≥0得(x－2)(x－3)≤0且x－3≠0，解得2≤x<3，不同； 对于D，由(x－3)(2－x)>0得2<x<3，不同． 　解含参的一元二次不等式 例2　解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(x∈R，a≥0). 解：原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0(x∈R，a≥0). ①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1； ②当a>0时，原不等式化为(x＋1)≥0，解得x≥或x≤－1. 综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}；当a>0时，不等式的解集为{x|x≥，或x≤－1}． 变式探究　(变条件)若把本例中的“a≥0”改为“a<0”，求该不等式的解集． 解：当a<0时，原不等式化为(x＋1)≤0. 当>－1，即a<－2时，解得－1≤x≤；当＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1； 当<－1，即－2<a<0，解得≤x≤－1. 综上所述，当－2<a<0时，不等式的解集为{x|≤x≤－1}；当a＝－2时，不等式的解集为{－1}；当a<－2时，不等式的解集为{x|－1≤x≤}． 类题通法 解含参数的一元二次不等式的一般步骤 　一元二次不等式的实际应用 例3　(链接教材：人教A版P54例5)为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策，由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．大学毕业生李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯，已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月的销售量y(单位：件)与销售单价x(单位：元)之间的关系近似满足一次函数：y＝－10x＋500. (1)设李明每月获得的利润为ω(单位：元)，写出每月获得的利润ω与销售单价x的函数关系； (2)物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李明想要每月获得的利润不小于3 000元，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少？ 解：(1)依题意可知每件的销售利润为(x－10)元，每月的销售量为(－10x＋500)件，所以每月获得的利润ω与销售单价x的函数关系为ω＝(x－10)(－10x＋500)(10≤x≤50). (2)由每月获得的利润不小于3 000元，得(x－10)(－10x＋500)≥3 000， 化简得x2－60x＋800≤0， 解得20≤x≤40. 又因为这种节能灯的销售单价不得高于25元，所以20≤x≤25. 设政府每个月为他承担的总差价为p元，则p＝(12－10)(－10x＋500)＝－20x＋1 000. 由20≤x≤25，得500≤－20x＋1 000≤600. 故政府每个月为他承担的总差价的取值范围为{p|500≤p≤600}． 类题通法 解不等式应用题的步骤 1．与不等式≥0同解的不等式是(　　 ) A．(x－3)(2－x)≥0 B．0<x－2≤1 C．≥0 D．(x－3)(2－x)>0 解析：选B.解不等式≥0，得2<x≤3. 解不等式(x－3)(2－x)≥0，得2≤x≤3，故A不正确； 解不等式0<x－2≤1，得2<x≤3，故B正确； 解不等式≥0，得2≤x<3，故C不正确； 解不等式(x－3)(2－x)>0，得2<x<3，故D不正确． 2．不等式＜的解集是(　　 ) A．{x|x＜2} B．{x|x＞2} C．{x|0＜x＜2} D．{x|x＜0，或x＞2} 解析：选D.原不等式可化为＞0，即2x(x－2)＞0，∴x＜0或x＞2. 3．某村办服装厂生产某种风衣，月销售量x(件)与售价p(元/件)的关系为p＝300－2x，生产x件的成本r＝500＋30x(元).为使月获利不少于8 600元，则月产量x满足(　　) A．55≤x≤60 B．60≤x≤65 C．65≤x≤70 D．70≤x≤75 解析：选C.由题意可得(300－2x)x－(500＋30x)≥8 600，即x2－135x＋4 550≤0，则(x－65)(x－70)≤0，故65≤x≤70. 4．解关于x的不等式：ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0). 解：原不等式变为(ax－1)(x－1)<0， 因为a>0，所以(x－1)<0.所以当a>1时，解得<x<1； 当a＝1时，解集为∅； 当0<a<1时，解得1<x<. 综上，当0<a<1时，不等式的解集为{x|1<x<}；当a＝1时，不等式的解集为∅；当a>1时，不等式的解集为. [课后分层练(十六)]　一元二次不等式的应用 (单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分) 【基础巩固】 1．不等式≥1的解集是(　　 ) A． B．{x|≤x<2} C． D．{x|x≥} 解析：选B.≥1⇔≥0， ∴(4x－3)(x－2)≤0且x≠2， 解得≤x<2， 则原不等式的解集为{x|≤x<2}． 2．若关于x的不等式ax－b>0的解集为{x|x>1}，则关于x的不等式>0的解集为(　　 ) A.{x|x>1，或x<－2} B．{x|1<x<2} C．{x|x>2，或x<－1} D．{x|－1<x<2} 解析：选C.因为ax－b>0的解集为{x|x>1}，所以a>0，且a＝b，故＝>0，等价为(x＋1)(x－2)>0，所以x>2或x<－1. 3．若集合A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝∅，则实数a的取值范围是(　　 ) A．{a|0<a<4} B．{a|0≤a<4} C．{a|0<a≤4} D．{a|0≤a≤4} 解析：选D.当a＝0时，满足条件； 当a≠0时，由 得0<a≤4，所以0≤a≤4. 4．设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)(n＋x)>0的解集是(　　) A．{x|x<－n，或x>m} B．{x|－n<x<m} C．{x|x<－m，或x>m} D．{x|－m<x<n} 解析：选B.方程(m－x)(n＋x)＝0的两根为m，－n，因为m＋n>0，所以m>－n. 结合函数y＝(m－x)(n＋x)的图象(图略)，得不等式的解集是{x|－n<x<m}． 5．(多选)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|x<－2，或x>4}，则(　　 ) A．a>0 B．不等式bx＋c>0的解集为{x|x<－4} C．a＋b＋c>0 D．不等式cx2－bx＋a<0的解集为{x|x<－，或x>} 解析：选ABD.依题意a>0，且ax2＋bx＋c＝0的根为－2和4， 则∴ 因此a＋b＋c＝－9a<0，所以A正确，C错误； 又bx＋c>0⇔－2ax－8a>0，∴x<－4，B正确； 不等式cx2－bx＋a<0⇔8x2－2x－1>0， 解得x>或x<－，D正确． 6．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，每涨价1元，其销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，售价b的取值范围应是________． 解析：设每个涨价a元，则涨价后的利润与原利润之差为(10＋a)(400－20a)－10×400＝－20a2＋200a. 要使商家利润有所增加，则必须使－20a2＋200a>0，即a2－10a<0，得0<a<10. 所以售价b的取值范围应为{b|90<b<100}． 答案：{b|90<b<100} 7．若关于x的不等式>0的解集为{x|<－1，或x>4}，则实数a＝________． 解析：由题意知，不等式的解集为{x|x<－1，或x>4}，则(x－a)(x＋1)>0⇔(x＋1)(x－4)>0，故a＝4. 答案：4 8．在一个限速40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m．又知甲、乙两种车型的刹车距离s m与车速x km/h之间分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2.则这次事故的主要责任方为________． 解析：由题意列出不等式 s甲＝0.1x＋0.01x2>12， s乙＝0.05x＋0.005x2>10. 分别求解，得x甲<－40或x甲>30， x乙<－50或x乙>40. 由于x>0，从而得x甲>30 km/h，x乙>40 km/h. 经比较知乙车超过限速，应负主要责任． 答案：乙车 9．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－2x－8<0}，B＝{x|<1}，C＝{x|1－a≤x<1＋a}． (1)求集合(∁UB)∩A； (2)若B∪C＝B，求实数a的取值范围． 解：(1)由x2－2x－8<0，得－2<x<4， 所以A＝{x|－2<x<4}． 由<1得<0，解得0<x<3， 所以B＝{x|0<x<3}， 所以∁UB＝{x|x≤0，或x≥3}． 所以(∁UB)∩A＝{x|－2<x≤0，或3≤x<4}． (2)因为B∪C＝B，所以C⊆B. 当1－a≥1＋a，即a≤0时，C＝∅，满足题意； 当C≠∅时，满足解得0<a<1. 综上，实数a的取值范围为{a|a<1}． 【综合运用】 10．某地每年销售木材约20万立方米，每立方米价格为2 400元，为了减少木材消耗，决定按销售收入的t%征收木材税，这样每年的木材销售量减少t万立方米．为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是(　　 ) A．{t|1≤t≤3} B．{t|3≤t≤5} C．{t|2≤t≤4} D．{t|4≤t≤6} 解析：选B.设按销售收入的t%征收木材税时，税金收入为y万元， 则y＝2 400×t%＝60(8t－t2). 令y≥900，即60(8t－t2)≥900.解得3≤t≤5. 11．(多选)下列关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a>0的解集讨论正确的是(　　) A．当a＝1时，解集为∅ B．当a>1时，解集为{x|x>a} C．当a<1时，解集为{x|x<a，或x>1} D．无论a取何值，解集均不为空集 解析：选CD.原不等式可化为(x－1)(x－a)>0. 对于A，当a＝1时，原不等式为(x－1)2>0，解得x≠1，故A错误； 对于B，当a>1时，不等式的解集为{x|x<1，或x>a}，故B错误； 对于C，当a<1时，不等式的解集为{x|x>1，或x<a}，故C正确； 对于D，对于一元二次方程x2－(a＋1)x＋a＝0，Δ＝(a＋1)2－4a＝(a－1)2≥0，所以无论a取何值，不等式的解集均不为空集，故D正确． 12．若不等式ax2＋5x＋1≤0的解集为{x|－≤x≤－}，则不等式<0的解集为________． 解析：依题意，方程ax2＋5x＋1＝0有两根－与－， ∴－＋＝－，且＝， 故a＝6， 则<0⇔<0， ∴(x－2)(x－3)<0，解之得2<x<3. 答案：{x|2<x<3} 13．已知关于x的不等式x2－mx＋m>0，其中m为参数． (1)若该不等式的解集为R，求m的取值范围； (2)当x>1时，该不等式恒成立，求m的取值范围． 解：(1)由题意得m2－4m<0，解得0<m<4， ∴m的取值范围为{m|0<m<4}． (2)当x>1时，x－1>0， ∴x2－mx＋m>0⇔m<. ∵＝＝(x－1)＋＋2≥2＋2＝4， 当且仅当x－1＝，即x＝2时取到等号，∴m<4， ∴m的取值范围是{m|m<4}． 【创新探索】 14．现有如图所示的矩形地块AMPN，其中AM＝60 m，AN＝40 m，现根据市政规划建设占地如图中矩形ABCD所示的幼儿园，要求顶点C在地块的对角线MN上，B，D分别在边AM，AN上． (1)要使幼儿园的占地面积不小于576 m2，AB的长度应该在什么范围内？ (2)如何设计才能使幼儿园的占地面积最大？最大面积是多少？ 解：(1)使AB＝x m，由题意得△NDC∽△NAM， ∴＝，即＝， 则AD＝ m. 设矩形ABCD的面积为S m2，则S＝40x－x2(0<x<60). 要使幼儿园的占地面积不小于576 m2， 则40x－x2≥576，化简得x2－60x＋864≤0，解得24≤x≤36. (2)S＝40x－x2＝x(60－x)≤＝600，当且仅当x＝60－x，即x＝30时等号成立，此时AD＝40－×30＝20(m)，故当AB＝30 m，AD＝20 m时，幼儿园的占地面积最大，最大面积是600 m2. 学科网（北京）股份有限公司 $