2.2 基本不等式-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦基本不等式核心知识点，从金店天平情境引入，通过圆的几何模型证明≤（a,b>0），延伸到比较大小、最值问题，设置情境问题、自主评测、例题变式等学习支架，帮助学生构建知识脉络。 资料特色在于情境化与直观化结合，金店问题激发兴趣，几何证明培养数学眼光，一题多解和变式探究发展数学思维，实际应用题（仓库选址）提升数学语言表达能力，分层练习满足不同需求，课中辅助教学，课后助力查漏补缺。

2.2　基本不等式 第1课时　基本不等式 ► 对应学生用书P37 学习目标　1.了解基本不等式的证明过程，掌握基本不等式≤(a>0，b>0)，提升数学抽象、逻辑推理素养．(重点)　2.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小，提升数学运算、逻辑推理素养．(难点)3．结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大(小)值问题，提升数学运算、逻辑推理素养．(重点、难点) 从前有个金店的天平坏了，天平的两臂长短不相等，店主不想购置新的天平，又怕别人说他缺斤少两，于是他想出一个办法：先把顾客要购买的黄金放入左边的托盘中，右边托盘中加砝码得到一个读数，再把黄金放入右边的托盘中，在左边托盘加砝码得到第二个读数，然后把两个读数相加除以2作为黄金的最终质量出售． 问题1　依据上述情景，你能找到哪些相等或不等关系？ 提示：设天平左臂长为a，右臂长为b (a≠b)，设黄金的实际质量为m，第一次称得的砝码质量为m1，第二次称得的砝码质量为m2. 能找到的相等关系有m×a＝m1×b，m×b＝m2×a；不等关系为：店主按售卖的质量大于黄金实际质量m ＝. 问题2　你觉得店主这个买卖做到诚信无欺了吗？ 提示：不诚信，天平的两臂长短不相等，所以砝码与黄金实际质量不相等． 【自主评测】 1．教材挖掘：请认真阅读教材P44，分析思考：“当且仅当”的含义． 提示：“当且仅当”表示一种等价关系．“当”意味着满足某个条件时，相应的结论成立，这体现了充分性；“仅当”表明只有在特定条件下，结论才成立，强调了必要性．也就是说，当且仅当A成立时B成立，意味着A与B成立是等价的． 2．判断是非：判断下面结论是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)基本不等式≤中的a，b只能是具体的数．(　　 ) (2)重要不等式a2＋b2≥2ab与基本不等式≤成立的条件是相同的．(　　 ) (3)不等式m2＋1≥2m中等号成立的条件是m＝1.(　　 ) (4)若a＋b＝2，则≤1.(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 　基本不等式 如图所示，AB是圆O的直径，Q是AB上任意一点，AQ＝a，BQ＝b.过点Q作PQ 垂直于AB 且交圆O于点P，连接 AP，PB. 问题3　如何用a，b 表示 PO，PQ 的长度？ 提示：PO＝＝，易证Rt△APQ∽Rt△PBQ，则PQ2＝AQ·QB，即PQ＝. 问题4　比较 PO，PQ 的长度，能得出什么结论？ 提示：PO的长度大于或等于PQ的长度，通过两者的关系可以得出≤. 基本不等式 ≤(a>0，b>0)，当且仅当a＝b时，等号成立． 其中，叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数 大小关系 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 变式 a＋b≥2，ab≤()2 几个重要不等式 已知a，b∈R，则有： (1)a2＋b2≥2ab；(2)(a＋b)2≥4ab；(3)2(a2＋b2)≥(a＋b)2， 当且仅当a＝b时，等号成立 温馨提示 (1)基本不等式中要求a>0,b>0,勿忘等号成立条件. (2)基本不等式也称为均值不等式. 例1　(一题多解)设0<a<b，则下列不等式中正确的是(　　 ) A．a<b<< B．a<<<b C．a<<b< D．<a<<b 解析：选B.法一(通法)　因为b>a>0，所以> ，2b>b＋a，所以b>， < ，所以a< ，所以a< <<b. 法二(妙法)　取a＝2，b＝8，则 ＝4，＝5，所以a< <<b. 类题通法 (1)利用基本不等式比较两个数(式)的大小,就是把数(式)适当地放大或缩小,达到比较的目的. (2)在放缩的过程中,要结合不等式的传递性，即要保证不等号同方向. 【迁移运用】 1.(多选)下面四个推导过程正确的有(　　 ) A．若a，b为正实数，则＋≥2＝2 B．若a∈R，a≠0，则＋a≥2＝4 C．若x，y∈R，xy<0，则＋＝－[(－)＋(－)]≤－2＝－2 D．若a<0，b<0，则<ab 解析：选AC.A中，∵a，b为正实数，∴，为正实数，符合基本不等式的条件，故A正确； B中，a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件，故B错误； C中，由xy<0，得，均为负数，但在推导过程中将整体＋提出负号后，－，－均变为正数，符合基本不等式的条件，故C正确； D中，对任意的a，b∈R，都有a2＋b2≥2ab，即≥ab，故D错误． 　基本不等式的简单应用 已知x，y都为正数，则： (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2，简记为：积定和最小，和定积最大． 角度一　利用基本不等式求简单最值问题 例2　(链接教材：人教A版P45例1改编)已知x>0，求x＋的最小值． 解：因为x>0，所以x＋≥2＝4， 当且仅当x＝，即x＝2时等号成立，因此所求的最小值为4. 变式探究　(变考点)将条件“x>0”改成“x<0”，求x＋的最大值． 解：原多项式可变为x＋＝－(－x＋)， 因为x<0，则－x>0， 故有－x＋≥2＝4， 所以－(－x+)≤－4，当且仅当－x＝－，即x＝－2时等号成立． 故原式的最大值为－4. 类题通法 利用不等式求最值的注意点 一正：各项必须为正； 二定：各项之和或各项之积为定值； 三相等：必须验证取等号时的条件是否具备． 角度二　利用基本不等式证明不等式 例3　(链接教材：人教A版P49习题2.2T4改编)已知a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1，求证：＋＋≥9. 证明：因为a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1， 所以＋＋＝＋＋＝3＋＋＋＋＋＋＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9. 当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立， 所以＋＋≥9. 类题通法 利用基本不等式证明不等式的关注点 (1)关键点：所证不等式中必须有和式或积式．通过将和式转化为积式或将积式转化为和式，达到放缩的效果． (2)注意点：多次运用基本不等式时等号能否取到． 【迁移运用】 2.已知a，b，c为不全相等的正实数．求证：a＋b＋c> ＋＋. 证明：因为a>0，b>0，c>0， 所以a＋b≥2，b＋c≥2，c＋a≥2. 所以2(a＋b＋c)≥2(＋＋)， 即a＋b＋c≥ ＋＋. 由于a，b，c为不全相等的正实数， 故等号不成立． 所以a＋b＋c> ＋＋. 1．下列不等式中，正确的是(　　 ) A．a＋≥4 B．a2＋b2≥4ab C. ≥ D．x2＋≥2 解析：选D.若a＜0，则a＋≥4不成立，故A错；若a＝1，b＝1，则a2＋b2＜4ab，故B错；若a＝4，b＝16，则 ＜，故C错；由基本不等式可知D项正确． 2．(2025·广西贵港期中)已知正数a，b满足＋b＝2，则的最大值为(　　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选A.因为2＝＋b≥2，所以≤1，所以≤1，当且仅当a＝b＝1时，取得最大值1. 3．当x>1时，x＋的最小值为________． 解析：因为x>1，故有x－1>0，所以x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝5，当且仅当x－1＝，即x＝3时等号成立． 因此所求的最小值为5. 答案：5 4．已知a，b，c均为正数，a，b，c不全相等．求证：＋＋>a＋b＋c. 证明：因为a>0，b>0，c>0， 所以＋≥2＝2c，＋≥2＝2a，＋≥2＝2b， 又a，b，c不全相等，所以上述不等式中至少有一个等号不成立． 所以＋＋>a＋b＋c. [课后分层练(十二)]　基本不等式 (单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分) 【基础巩固】 1．给出条件①ab>0；②ab<0；③a>0，b>0；④a<0，b<0，其中能使ab＋≥2成立的条件有(　　 ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 解析：选C.由基本不等式可知，要使ab＋≥2成立，则ab＞0，所以a，b同号，所以①③④均可以． 2．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则t与s的大小关系是(　　 ) A．s≥t B．s＞t C．s≤t D．s＜t 解析：选A.因为b2＋1≥2b，所以a＋b2＋1≥a＋2b，即s≥t. 3．若0<a<b，则下列不等式成立的是(　　 ) A. ＜＜a＜b B．a＜ ＜＜b C. ＜a＜＜b D．a＜＜ ＜b 解析：选B.因为0<a<b，所以a＜ ，＜b.当0<a<b时，由基本不等式得 ＜，所以a＜ ＜＜b. 4．(数学文化)《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”．如图所示，AB是半圆O的直径，点C是AB上一点(不同于A，B，O)，点D在半圆O上，且CD⊥AB，CE⊥OD于E，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的“无字证明”为(　　 ) A. ≤(a＞0，b＞0) B．＜(a＞0，b＞0，a≠b) C.≤ (a＞0，b＞0) D．＜ ＜(a＞0，b＞0，a≠b) 解析：选D.由AC＝a，BC＝b，可得半圆O的半径DO＝，易得DC＝＝，DE＝＝.因为DE＜DC＜DO，所以＜ ＜(a＞0，b＞0，a≠b). 5．(多选)下列说法正确的是(　　 ) A．若0<x<，则x(1－2x)的最大值为 B．函数y＝(x>－1)的最小值为2 C．已知x>0，y>0，且x＋2y＝2，则3x＋9y的最小值为6 D．若正数x，y满足x2＋xy－2＝0，则3x＋y的最小值是4 解析：选ACD.对于A，因为0<x<，所以1－2x>0，所以x(1－2x)＝×2x(1－2x)≤×()2＝，当且仅当2x＝1－2x，即x＝时，等号成立，所以x(1－2x)的最大值为，故A正确； 对于B，因为x>－1，所以x＋1>0，所以y＝＝＝x＋1＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x＋1＝，即x＝0时等号成立，所以函数y＝的最小值为3，故B错误； 对于C，因为x>0，y>0，x＋2y＝2，则3x＋9y≥2＝2＝6，当且仅当即时，等号成立，所以3x＋9y的最小值为6，故C正确； 对于D，因为x2＋xy－2＝0，x>0，y>0，所以y＝－x，则3x＋y＝3x－x＋＝2x＋≥2＝4，当且仅当2x＝即x＝1时等号成立，此时y＝1，所以3x＋y的最小值为4，故D正确． 6．若a＞b＞c，则与 的大小关系是____________________． 解析：因为a＞b＞c，所以＝≥ ，当且仅当a－b＝b－c，即2b＝a＋c时，等号成立． 答案：≥ 7．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率x与增长率的平均值的大小关系为________． 解析：用两种方法求出第三年的产量分别为A(1＋a)(1＋b)，A(1＋x)2，则有(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b). ∴1＋x＝ ≤＝1＋， ∴x≤，当且仅当a＝b时，等号成立． 答案：x≤ 8．已知0<x<，求y＝x(1－3x)的最大值． 解：因为0<x<，所以1－3x>0， 则y＝x(1－3x)＝≤＝， 当且仅当3x＝1－3x，即x＝时，取等号， 所以y＝x(1－3x)的最大值为. 9．已知x，y都是正数，求证：(x＋y)(x2＋y2)·(x3＋y3)≥8x3y3. 证明：∵x，y都是正数， ∴x2＞0，y2＞0，x3＞0，y3＞0，x＋y≥2＞0， ∴x2＋y2≥2＞0，x3＋y3≥2＞0(当且仅当x＝y时等号成立). ∴(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥2·2·2， 即(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3，当且仅当x＝y时，等号成立． 【综合运用】 10．(2025·安徽江淮质检)已知正数a，b满足(a－1)(b－2)＝4，则a＋4b的最小值为(　　 ) A．16 B．17 C．18 D．19 解析：选B.由(a－1)(b－2)＝4，得或 当时，又a>0，b>0， 所以 此时(a－1)(b－2)＝4不可能成立，故a＋4b＝(a－1)＋4(b－2)＋9≥2＋9＝17， 当且仅当即时取等号． 11．(多选)设a＞0，b＞0，则下列不等式恒成立的是(　　 ) A．a2＋1＞a B．a2＋9＞6a C．(a＋b) ≥4 D. ≥4 解析：选ACD.设a＞0，b＞0，a2＋1－a＝＋＞0，A成立；a2＋9－6a＝(a－3)2≥0，B不成立；(a＋b)＝1＋＋＋1≥2＋2＝4，当且仅当＝，即a＝b时取等号，故C成立；a＋≥2，b＋≥2，所以≥4，当且仅当a＝，b＝，即a＝b＝1时取等号，故D成立． 12．已知a，b是不相等的正数，x＝，y＝，则x，y的大小关系是________． 解析：由题意得x2＝，y2＝a＋b＝. ∵a＋b＞2(a≠b)，∴x2＜y2. 又∵x＞0，y＞0，∴x＜y. 答案：x＜y 13．根据要求完成下列问题： (1)已知x>0，y>0，2x＋3y＝1，求出＋的最小值，以及取最小值时x，y的值； (2)已知a，b，c，d∈R，比较(a2＋b2)(c2＋d2)与(ac＋bd)2的大小并说明理由． 解：(1)因为x>0，y>0，2x＋3y＝1， 所以＋＝(＋)(2x＋3y)＝12＋＋≥12＋2＝24，当且仅当＝即2x＝3y＝时等号成立， 所以＋的最小值为24，此时x＝，y＝. (2)(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，理由如下： 因为(a2＋b2)(c2＋d2)－(ac＋bd)2＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2－a2c2－b2d2－2acbd＝a2d2＋b2c2－2acbd＝(ad－bc)2≥0， 所以(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2. 【创新探索】 14．(2025·福建期末)设a＞0，b＞0，c＞0，证明： (1)＋≥； (2)＋＋≥＋＋. 证明：(1)∵a＞0，b＞0， ∴(a＋b)≥2·2 ＝4，当且仅当a＝b时，等号成立， ∴＋≥. (2)由(1)可得＋≥， 同理可得＋≥，＋≥， 三式相加，得2≥＋＋， ∴＋＋≥＋＋. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [备课札记] 第2课时　基本不等式的应用 ► 对应学生用书P40 学习目标　1.进一步熟练掌握基本不等式及其变形的应用，提升逻辑推理、数学运算能力．(重点)　2.会用基本不等式解决生活中简单的最大(小)值问题，强化数学建模素养．(难点) 角度一　常量代换法求最值(乘“1”法) 例1　若x>0，y>0，且＋＝1，求x＋y的最小值． 解：∵＋＝1，x>0，y>0， ∴x＋y＝(x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝16，当且仅当＝，即x＝4，y＝12时，等号成立． 即x＋y的最小值为16. 变式探究　(1)(变设问)若x>0，y>0，x＋y＝1，求＋的最小值． 解：∵x＋y＝1，x>0，y>0， ∴＋＝(x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝16， 当且仅当＝，即x＝，y＝时，等号成立， 即＋的最小值为16. (2)(变条件)若x>0，y>0，xy＝9x＋y，求x＋y的最小值． 解：∵x>0，y>0，xy＝9x＋y，∴＋＝1， 由例1可知，x＋y的最小值为16. 类题通法 常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子,然后利用基本不等式求解最值.应用此种方法求解最值时,应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商 角度二　分离消元法求最值 例2　(链接教材：人教A版P58复习参考题2T5改编)已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，求x＋2y的最小值． 解：由x＋2y＋2xy＝8，可知y＝， 因为x>0，y>0，所以0<x<8. 所以x＋2y＝x＋＝x＋＝x＋－1＝x＋1＋－2≥2－2＝4， 当且仅当x＋1＝，即x＝2时等号成立． 所以x＋2y的最小值为4. 变式探究　(变条件、变设问)已知x>0，y>0，xy＝x＋y＋3，求xy的最小值． 解：由题意可知y＝， 所以xy＝x·＝＝＝x－1＋＋5≥2＋5＝9， 当且仅当x－1＝，即x＝3时等号成立． 所以xy的最小值为9. 类题通法 对含有多个变量的条件最值问题，若无法直接利用基本不等式求解，可尝试减少变量的个数，即用其中一个变量表示另一个，再代入代数式中转化为只含有一个变量的最值问题。 角度三　多次放缩求最值 例3　(2025·潍坊二模改编)若a，b∈R，ab>0，则的最小值为________． 解析：因为＝＋＋，所以由基本不等式得＋＋≥2＋＝4ab＋≥2＝4，当且仅当＝，4ab＝同时成立时等号成立． 答案：4 名师点睛 多次缩放要注意等号成立的条件. 角度四　利用基本不等式解实际应用题 例4　(链接教材：人教A版P49T6)一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费y1(单位：万元)与仓库到车站的距离x(单位：km)成反比，每月库存货物费y2(单位：万元)与x成正比；若在距离车站10 km处建仓库，则y1和y2分别为2万元和8万元，这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？ 解：设y1＝，y2＝tx，当x＝10时，y1＝＝2，y2＝10t＝8，∴k＝20，t＝0.8， ∴y1＝，y2＝0.8x，∴两项费用之和为z＝y1＋y2＝＋0.8x≥2＝8， 当且仅当＝0.8x时，即当x＝5时等号成立． 即这家公司应该把仓库建在距离车站5 km处，才能使两项费用之和最小，且最小费用为8万元． 类题通法 利用基本不等式解决实际问题的步骤 1．不等式(x－2y)＋≥2成立的前提条件为(　　 ) A．x≥2y B．x>2y C．x≤2y D．x<2y 解析：选B.因为不等式成立的前提条件是各项均为正，所以x－2y>0，即x>2y. 2．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品的件数为(　　 ) A．60 B．80 C．100 D．120 解析：选B.设每件产品的平均费用为y元，由题意得y＝＋≥2＝20，当且仅当＝(x∈N*)，即x＝80时，等号成立． 3．(多选)(2025·浙江模拟)已知两个正实数a，b满足ab＝2a＋b，则下列结论正确的有(　　 ) A．ab的最小值是8 B．ab的最大值是8 C．a＋b的最小值是3＋2 D．a＋b的最大值是3＋2 解析：选AC.由ab＝2a＋b≥2，所以≥8ab，所以ab≥8，当且仅当2a＝b＝4时等号成立，故A正确，B错误； 又ab＝2a＋b⇒＋＝1， ∴a＋b＝＝3＋＋≥3＋2＝3＋2， 当且仅当＝，即b＝a时等号成立， 即解得a＝＋1，b＝2＋，故C正确，D错误． 4．(2025·上海期中)已知实数x，y满足x2＋y2＝1，则x＋y的最大值为________． 解析：由()2≤＝， 得≤，即－≤x＋y≤，当x＝y＝时，等号成立，所以x＋y的最大值为. 答案： [课后分层练(十三)]　基本不等式的应用 (单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分) 【基础巩固】 1．已知正数a，b满足a＋4b＝12，则ab的最大值为(　　 ) A．3 B．6 C．9 D．12 解析：选C.因为a，b为正数，a＋4b＝12，所以ab＝a·4b≤()2＝×62＝9， 当且仅当a＝4b＝6时，等号成立， 所以当a＝6，b＝时，ab取得最大值9. 2．已知x＞，则y＝4x＋的最小值为(　　 ) A．－3 B．2 C．5 D．7 解析：选D.∵x＞，∴4x－5＞0，∴y＝4x＋＝4x－5＋＋5≥2＋5＝7，等号成立的条件是x＝. 3．(－6≤a≤3)的最大值为(　　 ) A．9 B． C．3 D． 解析：选B.因为－6≤a≤3，所以3－a≥0，a＋6≥0，所以 ≤＝，当且仅当3－a＝a＋6，即a＝－时，等号成立． 即 (－6≤a≤3)的最大值为. 4．设x＞0，则函数y＝x＋－的最小值为(　　 ) A．0 B． C．1 D． 解析：选A.因为x＞0，所以x＋＞0，所以y＝x＋－＝(x＋)＋－2≥2－2＝0，当且仅当x＋＝，即x＝时，等号成立，所以函数的最小值为0. 5．(多选)小王从甲地到乙地往返的速度分别为a和b(a<b)，其全程的平均速度为v，则(　　) A．a<v< B．v＝ C．<v< D．v＝ 解析：选AD.设甲、乙两地之间的距离为s，因为a<b，所以v＝＝<＝，又v－a＝－a＝＝>0，所以v>a，所以a<v<. 6．已知直角三角形的斜边长为20 cm，则该直角三角形面积的最大值是________． 解析：设直角三角形的两直角边长分别为a cm，b cm， 由题意得a2＋b2＝400≥2ab，当且仅当a＝b＝10 时，等号成立，∴ab≤200，∴ab≤100. 故该直角三角形面积的最大值为100 cm2. 答案：100 cm2 7．设0＜m＜，若＋≥k恒成立，则k的最大值为________． 解析：由题意可知1－2m＞0，k≤()min. 又＋＝[2m＋(1－2m)]＝4＋2(＋)≥8，当且仅当＝，即m＝时，等号成立．故k≤8，所以k的最大值为8. 答案：8 8．某地在改造体育中心时需更新所有座椅，要求座椅的使用年限为15 年，已知每千套座椅建造成本是8 万元，设每年的管理费用为y 万元，总座椅数为x 千套，两者满足关系式：y＝(0≤x≤8).15 年的总维修费用为80 万元，记w(单位：万元)为15 年的总费用．请问当设置多少套座椅时，15 年的总费用w最小？求出最小值．(总费用＝建造成本费用 ＋使用管理费用＋总维修费用) 解：由题意得，建造成本费用为8x(0≤x≤8) 万元， 使用管理费用为(0≤x≤8) 万元， 所以w＝8x＋＋80(0≤x≤8)， 则w＝4(2x＋5)＋＋60≥180， 当且仅当4(2x＋5)＝，即x＝5时，w取得最小值，即当设置5千套座椅时，15 年的总费用w最小，最小值为180 万元． 【综合运用】 9．(2025·黑龙江哈尔滨期中)已知a>0，b>0，3a＋b＝3ab，则a＋b的最小值为(　　 ) A．2 ＋3 B．4 ＋3 C．2 ＋4 D．＋ 解析：选D.因为3a＋b＝3ab，所以＋＝1， 则a＋b＝(a＋b)＝1＋＋＋≥＋2＝＋，当且仅当＝，即a＝，b＝时等号成立， 所以a＋b的最小值为＋. 10．已知a＞0，b＞0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值等于(　　 ) A．10 B．9 C．8 D．7 解析：选B.因为a＞0，b＞0， 所以＋≥⇔＋＝5＋＋≥m.由a＞0，b＞0得5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当a＝b时，等号成立．所以m≤9. 11．(数学文化)十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若不相等的两个正实数a，b满足a＋b＝4，且＋＞t恒成立，则实数t的取值范围是________． 解析：因为a>0，b>0，且a＋b＝4，所以＋＝(a＋b)(＋)＝≥(2＋2)＝1，当且仅当即a＝b＝2时等号成立．因为＋>t恒成立，所以t<1. 答案：{t|t<1} 12．已知x＞0，y＞0，xy＝x＋2y，若xy≥m－2恒成立，则实数m的最大值是________． 解析：要使xy≥m－2恒成立，即使m≤xy＋2恒成立， ∴只要m≤(xy＋2)min即可． ∵x＞0，y＞0，xy＝x＋2y， ∴xy＝x＋2y≥2，当且仅当x＝2y，即x＝4，y＝2时取等号． 令t＝(t>0)，则t2≥2t， ∴t≥2，即xy≥8，∴xy＋2的最小值为10， ∴m≤10，即m的最大值为10. 答案：10 13．某品牌电脑体验店预计全年购入360台电脑，已知该品牌电脑的进价为3 000元/台，为节约资金决定分批购入，若每批都购入x(x∈N*)台，且每批需付运费300元，储存购入的电脑全年所付保管费与每批购入电脑的总价值(不含运费)成正比(比例系数为k)，若每批购入20台，则全年需付运费和保管费7 800元． (1)记全年所付运费和保管费之和为y元，求y关于x的函数关系式； (2)若要使全年用于支付运费和保管费的资金最少，则每批应购入电脑多少台？ 解：(1)由题意，得y＝×300＋k×3 000x. 当x＝20时，y＝7 800，解得k＝0.04，所以y＝×300＋0.04×3 000x＝＋120x(x∈N*). (2)由(1)得y＝＋120x≥2＝2×3 600＝7 200，当且仅当＝120x，即x＝30时，等号成立，所以要使全年用于支付运费和保管费的资金最少，每批应购入电脑30台． 【创新探索】 14．(1)已知a，b都是正数，求证：(a＋)(b＋)≥4； (2)已知a，b，c均为正数，求证：＋＋≥3. 证明：(1)∵a>0，b>0， ∴a＋≥2＝2，b＋≥2 ＝2. 由不等式的性质，得(a＋)≥4， 当且仅当a＝b＝1时，等号成立． (2)∵a，b，c为正数，∴左边＝＋－1＋＋－1＋＋－1＝＋＋(＋)－3≥6－3＝3. 即＋＋≥3(当且仅当a＝b＝c时，等号成立). 学科网（北京）股份有限公司 $