2.1 等式性质与不等式性质-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦“等式性质与不等式性质”，先通过交通标志等现实情境引入不等关系，引导学生用不等式表示实际问题，再借助作差法比较大小及重要不等式深化理解，最后类比等式性质学习不等式性质及应用，构建从具体到抽象的完整学习支架。 资料以情境化问题（如糖水变甜、赵爽弦图）驱动探究，培养数学建模（用不等式表不等关系）、数学运算（作差法）、逻辑推理（性质证明）素养。课中例题与变式助学生掌握方法，课后分层练习供巩固提升，兼顾课堂教学与课后查漏，提升学习效果。

2．1　等式性质与不等式性质 第1课时　不等关系与不等式 ► 对应学生用书P31 学习目标　1.通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，提升数学建模素养．(重点)　2.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系，提升数学建模素养．(重点)　3.初步会用作差法比较两个数或代数式值的大小，提升数学运算素养．(重点、难点) 　　　在生活中，我们常在路上或在桥上看到下列交通标志． 问题1　你知道它们的含义吗？你能用一个数学式子表示吗？ 提示：其含义分别为 ①最低限速：限制行驶速度v不得低于50 km/h，v≥50； ②限制质量：装载总质量m不得超过10 t，0<m≤10； ③限制高度：装载高度h不得超过3.5 m，0<h≤3.5； ④限制宽度：装载宽度a不得超过3 m，0<a≤3； ⑤限制时间：通行时间7：30－10：00，7.5<t<10. 【自主评测】 1．教材挖掘：请认真阅读教材P38，分析思考：5≥3，2≥2，2≤2这三个命题都是真命题吗？为什么？ 提示：都是真命题．不等式a≥b的含义是指“a>b或者a＝b”，即若a>b或a＝b之中有一个正确，则a≥b正确．a≤b也类似． 2．判断是非：判断下面结论是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)a不小于b应表示为a>b.(　　 ) (2)任意两个实数a，b之间的大小关系，有且只有a>b，a<b两种关系中的一种．(　　 ) (3)若x－y<0，我们就说x大于y.(　　 ) (4)∀a，b∈R，且a≠b有a2＋b2>2ab.(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 　不等关系与不等式 1．不等关系 用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系．含有这些不等号的式子叫做不等式． 2．常见的文字语言与符号语言之间的转换 文字语言 大于，高 于，超过 小于，低 于，少于 大于或等于， 至少，不低于 小于或等于， 至多，不超过 符号语言 > < ≥ ≤ 例1　(链接教材：人教A版P42习题2.1T2)某公司准备对一项目进行投资，提出两个投资方案：方案A为一次性投资300万；方案B为第一年投资80万，以后每年投资20万．下列不等式表示“经过n年之后，方案B的投入不少于方案A的投入”的是(　　 ) A．80＋20n≥300 B．80＋20n≤300 C．80＋20(n－1)≤300 D．80＋20(n－1)≥300 解析：选D.经过n年后，方案B的投入为80＋20(n－1)，则“经过n年之后，方案B的投入不少于方案A的投入”用不等式表示为80＋20(n－1)≥300. 类题通法 用不等式(组)表示不等关系的步骤 (1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、大于等． (2)适当地设未知数表示变量． (3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式．注意隐性不等关系，如由变量的实际意义限制的范围. 【迁移运用】 1.如图两种广告牌，其中图①是由两个等腰直角三角形构成的，图②是一个矩形，从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种关系用含字母a，b(a≠b)的不等式表示出来(　　 ) A．(a2＋b2)>ab B．(a2＋b2)<ab C．(a2＋b2)≥ab D．(a2＋b2)≤ab 解析：选A.题图①是由两个等腰直角三角形构成的，面积为(a2＋b2)，题图②是一个矩形，面积为ab.由题中图形知，题图①的面积大于题图②的面积，故(a2＋b2)>ab. 　实数(式)比较大小 　　　在日常生活中，我们知道向糖水不断加糖，糖水会变得越来越甜．假设已知a克糖水中含有b克糖，再添加m克糖(假设全部溶解). 问题2　你能将糖水变甜的这一事实用一个不等式表示吗？ 提示：<. 问题3　如何从理论上比较与的大小？ 提示：－＝＝<0. 两个实数比较大小的基本事实 依据 a>b⇔a－b>0； a＝b⇔a－b＝0； a<b⇔a－b<0 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小 温馨提示 (1)以上基本事实可用来比较两个数(代数式)的大小关系. (2)对于某些大小比较问题也可能采用取中间值的方法比较大小. 例2　(链接教材：人教A版P38例1)(1)比较x2＋2x＋6与(x＋3)(x－1)的大小； (2)已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小． 解：(1)因为x2＋2x＋6－(x＋3)(x－1)＝x2＋2x＋6－(x2＋2x－3)＝9>0， 所以x2＋2x＋6>(x＋3)(x－1). (2)3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1). 由x≤1得x－1≤0，而3x2＋1>0， ∴(3x2＋1)(x－1)≤0，∴3x3≤3x2－x＋1. 变式探究　(改变范围)把本例(2)中“x≤1”改为“x∈R”，再比较3x3与3x2－x＋1的大小． 解：3x3－(3x2－x＋1)＝(3x2＋1)(x－1). ∵3x2＋1>0， 当x>1时，x－1>0，∴3x3>3x2－x＋1； 当x＝1时，x－1＝0，∴3x3＝3x2－x＋1； 当x<1时，x－1<0，∴3x3<3x2－x＋1. 类题通法 作差法比较两个实数大小的基本步骤 　重要不等式 如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客． 问题4　你能比较大正方形ABCD与四个相同的直角三角形的面积之和的大小吗？ 提示：能．设直角三角形的两条直角边的长分别为a，b(a≠b)，则正方形的边长为 .这4个直角三角形的面积和为2ab，正方形的面积为a2＋b2，则由图可知a2＋b2>2ab. 问题5　它们之间有可能相等吗？如果相等，则应该满足什么条件呢？ 提示：当直角三角形变为等腰直角三角形，即a＝b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有a2＋b2＝2ab，于是就有a2＋b2≥2ab. 一般地，∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． 例3　(链接教材：人教A版P39探究)已知a>0，求证：a＋≥2. 证明：法一(利用a2＋b2≥2ab)　∵a>0， ∴a＋＝()2＋()2≥2·＝2， 当且仅当a＝1时，等号成立． ∴a＋≥2. 法二　∵a＋－2＝()2＋()2－2＝(－)2≥0，∴a＋≥2. 类题通法 用重要不等式证明不等式时，应先根据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备重要不等式的结构和条件，然后合理地选择重要不等式进行证明. 【迁移运用】 2.已知a>0，b>0，证明a3＋b3≥ab2＋a2b. 证明：a3＋b3－(ab2＋a2b)＝(a＋b)(a2－ab＋b2)－ab(a＋b)＝(a＋b)(a2－2ab＋b2). ∵a>0，b>0，且a2＋b2≥2ab， ∴a＋b>0，a2＋b2－2ab≥0， ∴a3＋b3－(ab2＋a2b)≥0， 故a3＋b3≥ab2＋a2b. 1．设a，b是实数，则“a＋b>0”是“ab>0”的(　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选D.本题采用特殊值法：当a＝3，b＝－1时，a＋b>0，但ab<0；当a＝－3，b＝－1时，ab>0，但a＋b<0.所以“a＋b>0”是“ab>0”的既不充分也不必要条件． 2．(多选)下列说法正确的是(　　 ) A．某人月收入x不高于2 000元可表示为“x<2 000” B．小明的身高x cm，小华的身高y cm，则小明比小华矮表示为“x>y” C．某变量x至少为a可表示为“x≥a” D．某变量y不超过a可表示为“y≤a” 解析：选CD.对于A，x应满足x≤2 000，故A错；对于B，x，y应满足x<y，故B不正确；CD正确． 3．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是(　　 ) A．M>N B．M＝N C．M<N D．与x有关 解析：选A.M－N＝x2＋x＋1＝＋>0.∴M>N. 4．武广铁路上，高速列车跑出了350 km/h的高速度，这个速度的2倍再加上100 km/h，还超不过波音飞机的最低时速，可这个速度已经超过了普通客车的3倍．设高速列车速度为v1，波音飞机速度为v2，普通客车速度为v3，则三种交通工具速度的不等关系分别为________． 答案：2v1＋100≤v2，v1>3v3 利用作商法比较两个实数的大小 (1)a＞0，b＞0，若＞1，则有a＞b；若＜1，则有a＜b. (2)a＜0，b＜0，若＞1，则有a＜b；若＜1，则有a＞b. [课后分层练(十)]　不等关系与不等式 (单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分) 【基础巩固】 1．在开山工程爆破时，已知导火线燃烧的速度是0.5 cm/s，人跑开的速度为4 m/s，为了使点燃导火线的人能够在爆破时跑到100 m以外的安全区，导火线的长度x(cm)应满足的不等式为(　　 ) A．4×≥100 B．4×≤100 C．4×＞100 D．4×＜100 解析：选C.导火线燃烧的时间为 s，人在这段时间跑的路程为4× m．由题意可得4×＞100. 2．若a≠2，且b≠－1，则M＝a2＋b2－4a＋2b的值与－5的大小关系是(　　 ) A．M＞－5 B．M＜－5 C．M＝－5 D．不能确定 解析：选A.M＝(a－2)2＋(b＋1)2－5＞－5. 3．下列不等式，正确的个数为(　　 ) ①x2＋3＞2x(x∈R)；②a3＋b3≥a2b＋ab2；③a2＋b2≥2(a－b－1). A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选C.①x2＋3－2x＝(x－1)2＋2＞0，所以x2＋3＞2x；②a3＋b3－a2b－ab2＝(a＋b)(a2－ab＋b2)－ab(a＋b)＝(a＋b)(a2－2ab＋b2)＝(a＋b)(a－b)2，(a－b)2≥0，但a＋b的符号不能确定，所以②不一定正确；③a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，所以a2＋b2≥2(a－b－1).故①③正确． 4．(新背景)四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示．盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为h1，h2，h3，h4，则它们的大小关系正确的是(　　 ) A．h2＞h1＞h4 B．h1＞h2＞h3 C．h3＞h2＞h4 D．h2＞h4＞h1 解析：选A.根据四个杯的形状分析易知h2＞h1＞h4，或h2＞h3＞h4. 5．(多选)下面列出的几种不等关系中，正确的为(　　 ) A．x与2的和是非负数，可表示为x＋2＞0 B．小明的身高为x，小华的身高为y，则小明比小华矮，可表示为x＞y C．△ABC的两边之和大于第三边，记三边分别为a，b，c，则可表示为a＋b＞c，且b＋c＞a，且a＋c＞b D．若某天的温度为t ℃，最低温度为7 ℃，最高温度为13 ℃，则这一天的温度范围可表示为7 ℃≤t ℃≤13 ℃ 解析：选CD.对于A中，x与2的和是非负数，应表示为x＋2≥0，故A错误；对于B中，小明比小华矮，应表示为x＜y，故B错误；对于C中，根据三角形的性质，两边之和大于第三边，所以C正确；对于D中，最低温度为7 ℃，最高温度为13 ℃，则这天的温度范围可表示为7 ℃≤t ℃≤13 ℃，所以D正确． 6．某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1 000 万元的资金购买单价分别为40 万元、90 万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5 辆，B型汽车至少买6 辆，设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆，y辆，写出满足上述所有不等关系的不等式组________________． 解析：由题意得即 答案： 7．已知x＜1，则x2＋2与3x的大小关系为_________________． 解析：x2＋2－3x＝(x－1)(x－2).当x＜1时，x－1＜0，x－2＜0，所以(x－1)(x－2)＞0，即x2＋2－3x＞0，所以x2＋2＞3x. 答案：x2＋2＞3x 8．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则先到达教室的是________． 解析：设寝室到教室的路程为s，步行速度为v1，跑步速度为v2，则甲用时t1＝＋，乙用时t2＝，t1－t2＝＋－＝s(－)＝s·＝＞0， ∴t1>t2，∴乙先到达教室． 答案：乙 9．甲、乙两辆车从A地沿同一路线到达B地，甲车一半时间的速度为a，另一半时间的速度为b；乙车用速度a行走一半路程，用速度b行走另一半路程．若a≠b，试判断哪辆车先到达B地． 解：设从A地到B地的路程为S，甲车用的时间为t1，乙车用的时间为t2，则a＋b＝S， 所以t1＝，t2＝＋＝(＋)， 因为－(＋)＝－＝＝－＜0，即t1＜t2， 所以甲车先到达B地． 【综合运用】 10．若p＝－，q＝－，其中a≥0，则p，q的大小关系是(　　 ) A．p＜q B．p＝q C．p＞q D．不确定 解析：选A.由题意知p－q＝＋－(＋). ∵(＋)2－(＋)2＝2－2， 且(a＋3)(a＋6)－(a＋4)(a＋5)＝－2＜0，a≥0， ∴2－2＜0， 即(＋)2－(＋)2＜0， ∴p－q＝＋－(＋)＜0，故p＜q. 11．(新定义)若规定 ＝ad－bc(a，b∈R，且a≠b)，则E＝与F＝的大小关系为(　　 ) A．E＜F B．E＞F C．E≤F D．E≥F 解析：选B.－＝[a·a－(－b)·b]－[a·b－(－a)·b]＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2，∵a≠b，∴(a－b)2＞0，∴＞，即E＞F. 12．比较大小：a2＋b2＋c2________2(a＋b＋c)－4. 解析：a2＋b2＋c2－[2(a＋b＋c)－4]＝a2＋b2＋c2－2a－2b－2c＋4＝(a－1)2＋(b－1)2＋(c－1)2＋1≥1＞0， 故a2＋b2＋c2＞2(a＋b＋c)－4. 答案：＞ 13．(1)设m≠n，x＝m4－m3n，y＝n3m－n4，比较x与y的大小； (2)已知m∈R，a＞b＞1，函数y＝，当x＝a时，y＝y1，当x＝b时，y＝y2，试比较y1与y2的大小． 解：(1)x－y＝(m4－m3n)－(n3m－n4)＝(m－n)m3－n3(m－n)＝(m－n)(m3－n3)＝(m－n)2(m2＋mn＋n2)， ∵m≠n，∴(m－n)2＞0， 又∵m2＋mn＋n2＝(m + )2＋＞0， ∴(m－n)2(m2＋mn＋n2)＞0，∴x－y＞0，∴x＞y. (2)y1－y2＝－＝. ∵a＞b＞1，∴(a－1)(b－1)＞0，b－a＜0. ∴当m＞0时，y1－y2＜0，即y1＜y2； 当m＝0时，y1＝y2； 当m＜0时，y1－y2＞0，即y1＞y2. 【创新探索】 14．某种商品计划提价，现有四种方案：方案(Ⅰ)先提价m%，再提价n%；方案(Ⅱ)先提价n%，再提价m%；方案(Ⅲ)分两次提价，每次提价 ()%；方案(Ⅳ)一次性提价(m＋n)%.已知m＞n＞0，那么四种提价方案中，提价最多的是哪种方案？ 解：依题意，设单价为1，那么方案(Ⅰ)提价后的价格是1×(1＋m%)(1＋n%)＝1＋(m＋n)%＋m%·n%； 方案(Ⅱ)提价后的价格是1×(1＋n%)(1＋m%)＝1＋(m＋n)%＋m%·n%； 方案(Ⅲ)提价后的价格是1×[1+()%]2＝1＋(m＋n)%＋[()%]2； 方案(Ⅳ)提价后的价格是1＋(m＋n)%. 所以只要比较m%·n%与[()%]2的大小即可． 因为[()%]2－m%·n%＝[()%]2≥0， 又因为m＞n＞0， 所以[()%]2＞m%·n%. 即[1+()%]2＞(1＋m%)·(1＋n%). 因此，方案(Ⅲ)提价最多． 第2课时　等式性质与不等式性质 ► 对应学生用书P34 学习目标　1.掌握等式性质与不等式性质以及推论，培养学生数学抽象的核心素养．(重点)　2.进一步掌握作差比较法比较实数的大小，提升数学运算的核心素养．(难点)　3.能利用不等式的性质证明简单的不等式、求代数式的取值范围，强化逻辑推理的核心素养．(重点、难点) 　等式的基本性质 性质 名称 内容 性质1 对称性 如果a＝b，那么b＝a 性质2 传递性 如果a＝b，b＝c，那么a＝c 性质3 同加(减)性 如果a＝b，那么a±c＝b±c 性质4 同乘性 如果a＝b，那么ac＝bc 性质5 同除性 如果a＝b，c≠0，那么＝ 例1　下列运用等式的性质进行的变形中，正确的是(　　 ) A．如果a＝b，那么a＋c＝b－c B．如果a2＝6a，那么a＝6 C．如果a＝b，那么＝ D．如果＝，那么a＝b 解析：选D.选项A，当c≠0时，显然不成立； 选项B，如果a2＝6a，那么a＝6或a＝0，显然不成立； 选项C，当c＝0时，＝无意义，不成立； 选项D，如果＝，则c≠0，故×c＝×c，即a＝b，成立． 类题通法 等式基本性质中性质 1,2反映了相等关系自身的特性:对称性和传递性;性质3,4,5反映了等式在运算中保持的不变性. 　不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 性质1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 性质2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 性质3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 性质4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ ac<bc c的符号 性质5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 性质6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ ac>bd 同向正项 性质7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 温馨提示 应用不等式应注意: (1)一定要搞清不等式成立的前提条件; (2)要注意每条性质是否具有可逆性. 例2　(多选)下列四个命题中正确的是(　　 ) A．若a>b，c>d，则a－d>b－c B．若<<0，则b2<ab C．若a>b，则> D．若a2m>a2n，则m>n 解析：选AD.对于A，因为a>b，c>d，所以－d>－c，则a－d>b－c，故A正确； 对于B，取a＝－1，b＝－2，则满足<<0，但b2＝4>2＝ab，故B错误； 对于C，取a＝1，b＝－1，则满足a>b，但＝<1＝，故C错误； 对于D，因为a2m>a2n，所以a2≠0，则a2>0，所以m>n，故D正确． 类题通法 利用不等式的性质判断命题真假的注意点 (1)要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能想当然随意构造性质． (2)采用特殊值法进行排除，注意取值一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算． 【迁移运用】 (多选)若a，b，c∈R且a<b<0，则下列不等式一定正确的是(　　 ) A．< B．ab>b2 C．a|c|<b|c| D．a(c2＋1)<b(c2＋1) 解析：选BD.对于A，a＝－2，b＝－1，则＝－>＝－1，故A错误； 对于B，由a<b<0，两边同时乘以b，ab>b2，故B正确． 对于C，若c＝0，则a|c|＝b|c|，故C错误； 对于D，因为a<b<0，c2＋1>0，则a(c2＋1)<b(c2＋1)，故D正确． 　不等式的性质的应用 角度一　利用不等式的性质证明不等式 例3　(链接教材：人教A版P42例2)已知c>a>b>0，求证：>. 证明：方法一(作差法)　－＝ ＝ ＝ ， 因为c>a>b>0，所以a－b>0，c－a>0，c－b>0，所以>. 方法二(性质法)　因为c>a>b>0，所以0<c－a<c－b，所以>>0， 又因为a>b>0，所以>. 方法三(转化法)　因为a>b>0，所以<， 因为c>0，所以<， 所以－1<－1，即<， 因为c>a>b>0，所以c－a>0，c－b>0. 所以>. 类题通法 (1)利用不等式的性质对不等式的证明其实质就是利用性质对不等式进行变形，变形要等价，同时要注意性质适用的前提条件. (2)用作差法证明不等式和用作差法比较大小的方法原理一样，变形后判断符号时要注意充分利用题目中的条件. 角度二　利用不等式的性质求范围 例4　(1)(链接教材：人教A版P43 习题2.1T5改编)已知30＜x＜42，16＜y＜24，分别求下列范围． ①x＋y；②x－3y. 解：①因为30＜x＜42，16＜y＜24， 所以30＋16＜x＋y＜42＋24，故46＜x＋y＜66. ②因为30＜x＜42，－72＜－3y＜－48， 所以30－72＜x－3y＜42－48，故－42＜x－3y＜－6. (2)已知1≤a＋b≤5，－1≤a－b≤3，求3a－2b的范围． 解：设x＝a＋b，y＝a－b，则a＝，b＝，∴3a－2b＝x＋y， ∵1≤x≤5，－1≤y≤3， 又≤x≤，－≤y≤， ∴－2≤x＋y≤10，即－2≤3a－2b≤10. 变式探究　(变结论)在本例(1)条件下，求的范围． 解：因为30＜x＜42，－42＜x－3y＜－6， 所以－＜＜－， 所以0＜＜－＜， 所以＜－＜，故－＜＜－，得 －7＜＜－. 类题通法 利用不等式求指定代数式的关注点 (1)要充分利用性质进行适当变形求范围，注意变形的等价性． (2)要注意整体使用所给条件，切不可随意拆分所给条件． 1．(多选)若<<0，则下面四个不等式成立的有(　　 ) A．|a|>|b| B．a<b C．a＋b<ab D．a3>b3 解析：选CD.由<<0可得b<a<0，从而|a|<|b|，A，B均不正确； a＋b<0，ab>0，则a＋b<ab成立，C正确；a3>b3，D正确． 2．已知0<a－b<2，2<a＋b<4，则3a＋b的范围是(　　 ) A．4<3a＋b<8 B．6<3a＋b<10 C．4<3a＋b<10 D．6<3a＋b<12 解析：选C.设3a＋b＝x(a－b)＋y(a＋b)＝(x＋y)a＋(y－x)b，得解得所以3a＋b＝(a－b)＋2(a＋b)， 因为0<a－b<2，4<2(a＋b)<8，所以4<3a＋b<10. 3．若8<x<10，2<y<4，则的取值范围为________． 解析：∵2<y<4，∴<<，又∵8<x<10，∴2<<5. 答案：(2，5) 4．已知1<a<6，3<b<4，求a－b，的取值范围． 解：∵3<b<4，∴－4<－b<－3. ∴1－4<a－b<6－3，即－3<a－b<3. 又<<， ∴<<，即<<2. [课后分层练(十一)]　等式性质与不等式性质 (单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分) 【基础巩固】 1．已知a>b>c>d>0，则下列结论不正确的是(　　 ) A．a＋c>b＋d B．ac>bd C．> D．> 解析：选C.∵a＞b，c＞d，∴a＋c＞b＋d，故A正确； ∵a＞b＞0，c＞d＞0，∴ac＞bd，故B正确； 取a＝4，b＝3，c＝2，d＝0.1，则＝2，＝30，此时<，故C错误； ∵c＞d＞0，则>>0，又a＞b＞0，则>，故D正确． 2．若a，b∈R，则“(a－b)a2<0”是“a<b”的(　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A.由不等式(a－b)a2<0，可得a－b<0，可得a<b，即充分性成立； 反之，由a<b，可得a－b<0，又因为a2≥0，所以(a－b)a2≤0，所以必要性不成立，所以(a－b)a2<0是a<b的充分不必要条件． 3．已知a>b，c>d，且cd≠0，则(　　 ) A．ad>bc B．ac>bc C．a－c>b－d D．a＋c>b＋d 解析：选D.a，b，c，d的符号未确定，排除A、B两项； 同向不等式相减，结果未必是同向不等式，排除C项； 由同向不等式的可加性，D选项正确． 4．下列各式中，不能判断其符号的是(　　 ) A．a2＋a＋1 B．a2－a＋1 C．|a|＋a＋1 D．a2＋|a|－1 解析：选D.a2＋a＋1＝(a＋)2＋>0，故A不符合题意； a2－a＋1＝(a－)2＋>0，故B不符合题意； 当a≥0时，|a|＋a＋1＝2a＋1>0；当a<0时，|a|＋a＋1＝1>0，故C不符合题意； 当a＝0时，a2＋|a|－1＝－1; 当a＝1时，a2＋|a|－1＝1; 当a＝时，a2＋|a|－1＝0，则a2＋|a|－1的值可正，可负，也可能为0，故D符合题意． 5．(多选)已知a>－b>0，c<0，则下列不等式不恒成立的是(　　 ) A．> B．< C．a(1－c)>b(c－1) D．b(1＋c)<b(1－c) 解析：选ABD.依题意a>0，b<0，c<0， ∴<0<，故A不成立． 当a＝2，b＝－1，c＝－1时，＝，b(1＋c)>b(1－c)，故B，D不恒成立． 对于C，a(1－c)－b(c－1)＝(a＋b)(1－c)， ∵a>－b>0，c<0， ∴a＋b>0，1－c>0，则(a＋b)(1－c)>0， 故a(1－c)>b(c－1)，故C恒成立． 6．(多选)若m＋n<0且m>0，则(　　) A．n<0 B．－mn>n2 C．－mn>m2 D．|m|>|n| 解析：选AC.因为m＋n<0，且m>0，所以n<0，且|m|<|n|，A正确，D错误； 因为m＋n<0，所以n<－m，不等式两边同乘以n(n<0)得－mn>m2，B错误； 因为m＋n<0，所以n<－m，不等式两边同乘以－m(m>0)得－mn>m2，C正确． 7．已知：a，b，c，d∈R，则下列命题中必成立的有_____________． ①若a>b，c>b，则a>c； ②若a>－b，则c－a<c＋b； ③若a>b，c<d，则>： ④若a2>b2，则－a<－b. 解析：对于①，若a＝4，b＝2，c＝5，则满足a>b，c>b，而此时a<c，所以①错误， 对于②，因为a>－b，所以－a<b，所以c－a<c＋b，所以②正确， 对于③，若a＝2，b＝1，c＝－1，d＝1，则满足a>b，c<d，而此时<，所以③错误， 对于④，若a＝－1，b＝0，则满足a2>b2，而此时－a>－b，所以④错误， 答案：② 8．若α，β满足－<α<β<，则2α－β的取值范围是________． 解析：因为－<α<β<，则－<a<，－<－β<，且α－β<0，所以－π<α－β<0，所以－<(α－β)＋α<. 故2α－β的取值范围是{2α－β|－<2α－β<}． 答案：{2α－β|－<2α－β<} 9．a<b<0，求证：<. 证明：由于－＝＝. ∵a<b<0， ∴b＋a<0，b－a>0，ab>0， ∴<0，故<. 10．已知a>b>0，c<d<0，|b|>|c|，求证： (1)b＋c>0； (2)<. 证明：(1)因为|b|>|c|且b>0，c<0， 所以b>－c，即b＋c>0. (2)因为c<d<0，所以－c>－d>0. 又a>b>0，所以a－c>b－d>0， 所以>>0， 所以<<，即<. 【综合运用】 11．手机屏幕面积与整机面积的比值叫手机的“屏占比”，它是手机外观设计中一个重要参数，其值通常在0～1之间．设计师将某手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量，升级为一款新手机的外观，则该手机“屏占比”和升级前比有什么变化(　　) A．“屏占比”不变 B．“屏占比”变小 C．“屏占比”变大 D．变化不确定 解析：选C.设升级前“屏占比”为，升级后“屏占比”为(a>b>0，m>0)，因为－＝>0，所以该手机“屏占比”和升级前比变大． 12．(多选)已知实数x，y满足－1≤x＋y≤3，4≤2x－y≤9，则4x＋y可能取的值为(　　) A．1 B．2 C．15 D．16 解析：选BC.由题意，实数x，y满足－1≤x＋y≤3，4≤2x－y≤9， 令4x＋y＝m(x＋y)＋n(2x－y)，即4x＋y＝(m＋2n)x＋(m－n)y， 可得解得所以4x＋y＝2(x＋y)＋(2x－y)， 因为－2≤2(x＋y)≤6，4≤2x－y≤9，所以2≤4x＋y≤15. 13．已知12<a<60，15<b<36，求a－2b，的取值范围． 解：因为15<b<36，所以－72<－2b<－30. 又12<a<60， 所以12－72<a－2b<60－30， 即－60<a－2b<30. 因为12<a<60，所以24<2a<120， 因为15<b<36，所以<<， 所以<<， 即<<8. 所以a－2b的取值范围是{a－2b|－60<a－2b<30}，的取值范围是{|<<8}． 14．(2025·河南驻马店模拟)一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好． (1)若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为210 m2，其中窗户面积为20 m2，该公寓采光效果是否合格？ (2)若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光是变好了还是变坏了？请说明理由． 解：(1)这所公寓的窗户面积为20 m2，则地板面积为190 m2， 由题意可得＝>＝10%， 所以这所公寓的采光效果合格． (2)设窗户面积为x m2，地板面积为y m2，窗户和地板同时增加m m2， 则－＝＝， 由题意可知0<x<y，m>0， 所以>0，即>. 所以公寓的采光效果变好了． 【创新探索】 15. 阅读材料： (1)若x>y>0，且m>0，则有<. (2)若a<b，c<d，则有a＋c<b＋d. 请依据以上材料解答问题： 已知a，b，c是三角形的三边，求证：＋＋<2. 解：因为a，b，c是三角形的三边，则b＋c>a>0，由材料(1)知，<＝，同理可得<，<， 由材料(2)得＋＋<＋＋＝＝2， 所以原不等式成立． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [备课札记] 学科网（北京）股份有限公司 $