1.1 集合的概念-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦高中数学“集合的概念”核心知识点，从军训集合生活实例引入，系统梳理元素确定性、互异性、无序性三大性质，元素与集合的从属关系，常用数集符号及列举法、描述法两种表示方法，构建从具体到抽象的完整学习支架。 资料以生活实例培养数学眼光，通过自主评测、变式训练发展逻辑推理（数学思维），规范集合语言表达（数学语言）。课中例题解析与类题通法助教师高效授课，课后分层练习及迁移运用帮学生巩固知识、查漏补缺。

1．1　集合的概念 ► 对应学生用书P1 学习目标　1.了解集合的含义，体会元素与集合的关系，能选择自然语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用，提升数学抽象素养．(重点)　2.了解集合中元素的确定性、互异性、无序性，掌握常用数集及其符号，并能够用其解决有关问题，提高学生分析问题和解决问题的能力，提升逻辑推理素养．(难点)　3.掌握集合的两种常用表示方法(列举法和描述法)，提升数学抽象素养．(重点、难点) 我校2025级高一新生入学军训的时候，随着教官一声口令“高一(1)班集合”，高一(1)班的同学从四面八方聚集到教官附近，不是高一(1)班的同学会自动走开，这里的“集合”是一个动词，但教官的“集合口令”却把“一些确定的对象(高一(1)班各位同学)聚集在一起了”，这就是本节课研究的数学重要概念——集合． 问题1　现代数学中，用集合来描述研究的对象，既简单又清晰，举例说明，你学习过的哪些数学内容可以称之为是一个集合？ 提示：自然数的集合、平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合(即圆)等． 【自主评测】 1．教材挖掘：请认真阅读教材P2，分析思考：“集合中的元素”满足哪些性质． 提示：每个元素是确定的，互不相同的，并且相同集合的元素是一样，并不要求顺序． 2．判断是非：判断下面结论是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)某校所有性格开朗的女生能构成一个集合．(　　 ) (2)分别由元素0，1，2和2，0，1组成的两个集合是相等的．(　　 ) (3)a∈A与a∉A这两种情况有且只有一种成立．(　　 ) (4)如果坐标平面内所有的点组成的集合为B，那么1∈B.(　　 ) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 　集合的概念 阅读下面的例子，并回答提出的问题： ①在平面直角坐标系中，第四象限的点的全体； ②方程x2－2 025＝0的所有实数根； ③某校高一(1)班所有性格开朗的女生； ④不等式组的所有整数解． 问题2　以上各例子中要研究的对象分别是什么？ 提示：分别为点、实数根、女生、整数解． 问题3　哪个语句中的对象不确定？为什么？ 提示：③中的对象不确定，因为“性格开朗”没有明确的划分标准，①②④中的对象均是确定的． 问题4　①②④有什么共同的特点？ 提示：均指“所有的”，即某种研究对象的全体． 1．元素与集合的概念 项目 定义 表示 元素 一般地，我们把研究对象统称为元素 通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示 集合 把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集) 通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示 2.集合中元素的特征 确定性、互异性与无序性． 3．集合相等 只要构成两个集合的元素是一样的，则称两个集合相等． 例1　(链接教材：人教A版P2思考)下列各组对象中能构成集合的是(　　 ) A．充分接近的实数的全体 B．数学成绩比较好的同学 C．小于20的所有自然数 D．未来世界的高科技产品 解析：选C.集合中元素的特性：确定性、无序性、互异性，选项A，B，D中集合的元素均不满足确定性，只有C项中的元素是确定的，满足集合的定义． 类题通法 （1）判断是否能够构成集合，关注能否满足确定性、互异性、无序性； （2）若两个集合相等，则这两个集合的元素相同. 【迁移运用】 集合P中含有两个元素1和4，集合Q中含有两个元素1和a2，若集合P与Q相等，则 a＝________． 解析：∵P＝Q，∴a2＝4，∴a＝±2. 答案：±2 　元素与集合之间的关系 1．元素与集合的关系 关系 语言描述 记法 读法 属于 a是集合A的元素 a∈A a属于集合A 不属于 a不是集合A中的元素 a∉A a不属于集合A 2.常用的数集及其记法 常用数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或N＋ Z Q R 温馨提示 符号“∈”“∉”只能用在元素与集合之间，表示元素与集合之间的从属关系，且二者必居其一，注意开口方向. 角度一　判断元素与集合间的关系 例2　下列关系表示正确的是(　　 ) A. ∉R B．0∈N* C. ∈Q D．∈Z 解析：选C. 是实数，故A错误；由N*是正整数集，可知0∉N*，故B错误； 是有理数，故C正确；是无理数，Z是整数集，故D错误． 类题通法 判断元素和集合关系的方法 (1)直接法：判断该元素在已知集合中是否出现即可． (2)推理法：判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可． 角度二　集合元素特征的应用 例3　已知集合A中含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a的值为________． 解析：若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1. 当a＝1时，集合A中有重复元素，所以a≠1； 当a＝－1时，集合A中含有两个元素1，－1，符合元素的互异性，所以a＝－1. 答案：－1 变式探究　(1)(变条件)已知集合A含有两个元素1和a2，若“a∈A”，求实数a的值． 解：由a∈A可知，当a＝1时，此时a2＝1，与集合中元素的互异性矛盾，所以a≠1；当a＝a2时，a＝0或a＝1(舍去).综上可知，a＝0. (2)(变条件)若把本例题干改为“集合A中含有两个元素a和a2”，求实数a的取值范围． 解：因为集合A中有两个元素a和a2，所以a≠a2，解得a≠0且a≠1. 类题通法 根据集合中元素的特征求参数值的三个步骤, 　集合的表示 表示方法 定义 形式 列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法 {a1，a2，a3，…，an} 描述法 一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法 角度一　用列举法表示集合 例4　(链接教材：人教A版P3例1)用列举法表示下列给定的集合： (1)小于8的质数组成的集合B； (2)方程x2＝x的实数根组成的集合C； (3)一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合D. 解：(1)小于8的质数有2，3，5，7， 所以B＝{2，3，5，7}． (2)由x2＝x，得x＝0或x＝1， 所以方程x2＝x的实根组成的集合C＝{0，1}． (3)由得 所以一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的交点为(1，4)，所以D＝{(1，4)}． 类题通法 列举法表示集合的三个步骤 (1)求出集合的元素；(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；(3)用花括号括起来． 角度二　用描述法表示集合 例5　(链接教材：人教A版P4例2)用描述法表示下列集合： (1)满足不等式3x＋2>2x＋1的实数x组成的集合； (2)平面直角坐标系中，第一象限内的点的集合； (3)所有正奇数组成的集合． 解：(1)解不等式3x＋2>2x＋1，可得x>－1，所以满足不等式的实数x组成的集合为{x|x>－1}；或直接写成{x|3x＋2>2x＋1}． (2)因为第一象限内的点的横坐标大于零，纵坐标大于零，所以该集合为{(x，y)|x>0，y>0，且x，y∈R}． (3)可知正奇数表示为x＝2k－1(k∈N＋)，故集合为{x|x＝2k－1，k∈N＋}． 类题通法 利用描述法表示集合的注意点 (1)写清楚该集合代表元素的符号．例如，集合{x|x<1}不能写成{x<1}． (2)所有描述的内容都要写在大括号内．例如，{x|x＝2k}，k∈Z，这种表示方式就不符合要求，需将k∈Z也写进大括号，即{x|x＝2k，k∈Z}． (3)不能出现未被说明的字母． 角度三　集合表示方法的综合应用 例6　 已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}，若A中只有一个元素，求a的值． 解：当a＝0时，原方程变为2x＋1＝0， 此时x＝－，符合题意； 当a≠0时，原方程ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程， 故Δ＝4－4a＝0，即a＝1时，原方程的解为x＝－1，符合题意． 故当a＝0或a＝1时，原方程只有一个解， 此时A中只有一个元素． 变式探究　(1)在本例条件下，若A中至多有一个元素，求a的取值范围． 解：A中至多有一个元素，即A中有一个元素或没有元素． 当A中只有一个元素时，由例题可知，a＝0或a＝1. 当A中没有元素时，Δ＝4－4a<0，且a≠0， 即a>1. 故当A中至多有一个元素时，a的取值范围为{a|a＝0，或a≥1}． (2)在本例条件下，集合A中有两个元素，求实数a的取值范围的集合． 解：依题意，a≠0，且Δ＝4－4a>0， ∴a<1且a≠0， 故实数a取值范围的集合是{a|a<1，且a≠0}． 类题通法 求解集合与方程问题的注意点 (1)当方程中含有参数时，一般要根据方程实数根的情况来确定参数的值或取值范围，必要时要分类讨论． (2)求出参数的值或取值范围后还要检验是否满足集合中元素的互异性． 1．下列各组对象：①接近于0的数的全体；②比较小的正整数全体；③平面上到点O的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体；⑤的近似值的全体．其中能构成集合的有(　　 ) A．2组 B．3 组 C．4 组 D．5 组 解析：选A.①“接近于0的数的全体”的对象不确定，不能构成集合；②“比较小的正整数全体”的对象不确定，不能构成集合；③“平面上到点O的距离等于1的点的全体”的对象是确定的，能构成集合；④“正三角形的全体”的对象是确定的，能构成集合；⑤“的近似值的全体”的对象不确定，不能构成集合，故③④能构成集合． 2．(2025·陕西安康期末)有4根火柴棒的长度可以构成一个四元数集，将这4根火柴棒首尾相接连成一个平面四边形，则这个平面四边形可能是(　　 ) A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形 解析：选A.可得四个元素互不相等，则四条边互不相同，所以不可能围成矩形、菱形和等腰梯形，有可能连成梯形． 3．已知集合A是由a－2，2a2＋5a，12三个元素组成的，且－3∈A，则a＝________． 解析：由－3∈A，可得－3＝a－2或－3＝2a2＋5a.由－3＝a－2，解得a＝－1，经过验证，a＝－1不满足条件，舍去．由－3＝2a2＋5a，解得a＝－1或a＝－，经过验证，a＝－1不满足条件，舍去．所以a＝－. 答案：－ 4．用列举法表示集合D＝{(x，y)，x∈N，y∈N|y＝－x2＋8}为________． 解析：由已知得集合D为点集，x∈N，y∈N， 当x＝0时，y＝8；当x＝1时，y＝7； 当x＝2时，y＝4. 若x≥3，则y＝8－x2<0，不合题意． 所以集合D＝{(0，8)，(1，7)，(2，4)}． 答案：{(0，8)，(1，7)，(2，4)} [课后分层练(一)]　集合的概念 (单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分) 【基础巩固】 1．下列元素与集合的关系中，正确的是(　　) A．－1∈N B．0∉N* C．∉Q D．π2∈Z 解析：选B.－1∉N，0∉N*，∈Q，π2∉Z. 2．下列说法正确的是(　　 ) A．某班中年龄较小的同学能够组成一个集合 B．由1，2，3和 ，1，分别组成的两个集合不相等 C．不超过20的非负数能组成一个集合 D．方程(x－1)(x＋1)2＝0的所有解组成的集合中有3个元素 解析：选C.A项中元素不确定；B项中两个集合元素相同，因为集合中的元素具有无序性，所以两个集合相等；D项中方程的解分别是x1＝1，x2＝x3＝－1，由互异性知，构成的集合含2个元素． 3．若集合M中的元素a，b，c是△ABC的三边长，则△ABC一定不是(　　 ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 解析：选D.由题可知，集合M中的元素是△ABC的三边长，则a≠b≠c，所以△ABC一定不是等腰三角形． 4．已知集合A＝{x|x(x－1)＝0}，那么下列结论正确的是(　　 ) A．0∈A B．1∉A C．－1∈A D．0∉A 解析：选A. 集合A＝{x|x(x－1)＝0}中代表元素x是方程x(x－1)＝0的解，解x(x－1)＝0得x＝0或x＝1，所以A＝{0，1}． 5．下列集合不是由所有奇数构成的集合的为(　　 ) A．{x|x＝4k－1，k∈Z} B．{x|x＝2k－1，k∈Z} C．{x|x＝2k＋1，k∈Z} D．{x|x＝2k＋3，k∈Z} 解析：选A.A中的集合表示4的整数倍减去1的数构成的集合． 6．已知x∈{1，2，x2}，则x的取值为(　　 ) A．1 B．1或2 C．0或2 D．0或1或2 解析：选C.由元素和集合的关系可知x＝1或x＝2或x＝x2，解得x＝0或x＝1或x＝2.由集合中元素的性质知当x＝1时，所给集合为{1，2，1}，不满足互异性，当x＝0或x＝2时，满足互异性，所以x的取值为0或2. 7．(多选)下列说法正确的是(　　 ) A．N*中最小的数是1 B．若－a∉N*，则a∈N* C．若a∈N*，b∈N*，则a＋b最小值是2 D．x2＋4＝4x的实数解组成的集合中含有2个元素 解析：选AC.因为N*表示正整数集，容易判断AC正确； 对B，若a＝，则满足－a∉N*，但a∉N*，B错误； 对D，x2＋4＝4x的解集为{2}，D错误． 8．(版本融合：人教B必修一P9练习BT4改编)已知集合A＝{x－2，x＋5，12}且－3∈A，那么x＝________． 解析：因为－3∈A，所以x－2＝－3或x＋5＝－3，解得x＝－1或x＝－8. 当x＝－1时，x＋5＝4，A＝{－3，4，12}，满足集合中元素的互异性； 当x＝－8时，x－2＝－10，A＝{－10，－3，12}，满足集合中元素的互异性， 所以x＝－1或x＝－8. 答案：－1或－8 9．设a，b是两个实数，集合A中含有 0，b，三个元素，集合B中含有1，a，a＋b三个元素，且集合A与集合B相等，则a＋2b＝________． 解析：由A＝B及a≠0，得a＋b＝0，则＝－1，因此b＝1，所以a＝－1，故a＋2b＝1. 答案：1 10．设集合B＝{x∈N|∈N}． (1)试判断元素1和2与集合B的关系； (2)用列举法表示集合B. 解： (1)当x＝1时，＝＝2∈N；当x＝2时，＝＝∉N，所以1∈B，2∉B. (2)因为∈N，(即分母只能是6的正因数)x∈N，所以2＋x只能取 2，3，6，所以x只能取0，1，4，所以 B＝{0，1，4}． 【综合运用】 11．(多选)由实数－a，a，|a|，所组成的集合含有的元素个数可能为(　　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选AB.当a＝0时，这四个数都是0，所组成的集合中只有1个元素； 当a≠0时，＝|a|＝ 所以与|a|相等且一定与a或－a中的一个元素一致，故组成的集合含有2个元素． 12．(2025·湖南怀化检测)设集合A含有－2，1两个元素，B含有－1，2两个元素，定义集合A☉B，满足x1∈A，x2∈B，且x1x2∈A☉B，则A☉B中所有元素之积为________． 解析：由题意，集合A☉B中有2，－4，－1三个元素，故所有元素之积为8. 答案：8 13．已知集合A只含有两个元素a－3和2a－1，a∈R. (1)若－3∈A，试求实数a的值； (2)若a∈A，试求实数a的值． 解：(1)因为－3∈A， 所以－3＝a－3或－3＝2a－1. 若－3＝a－3，则a＝0，此时集合A含有两个元素－3，－1，符合题意； 若－3＝2a－1，则a＝－1，此时集合A含有两个元素－4，－3，符合题意． 综上所述，实数a的值为0或－1. (2)因为a∈A，所以a＝a－3或a＝2a－1. 当a＝a－3时，有0＝－3，不成立； 当a＝2a－1时，有a＝1，此时A中有两个元素－2，1，符合题意． 综上，实数a的值为1. 【创新探索】 14．(新定义)若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为可倒数集，则集合A＝{－1，1，2}________(填“是”或“不是”)可倒数集．试写出一个含三个元素的可倒数集：__________． 解析：由于2的倒数不在集合A中，故集合A不是可倒数集． 若一个元素a∈A，则∈A. 若集合中有三个元素，故必有一个元素a＝，即a＝±1， 故可取的集合为{1，2，}，{－1，3，}等． 答案：不是　{1，2，}(答案不唯一) 学科网（北京）股份有限公司 $