1.1 集合的概念（八大题型）训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

1.1 集合的概念 题型一 判断元素能否构成集合 1．下列集合表示正确的是（    ） A． B． C． D．是高个子的男生 【答案】A 【分析】根据集合的定义，以及集合中元素的互异性，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】根据集合的定义，以及集合中元素的互异性，可得： 对于A，可以表示为一个集合； 对于B，不能表示为一个集合； 对于C，不能表示为一个集合； 对于D，是高个子的男生中的元素不确定，所以不能表示为一个集合. 故选：A. 2．集合：把一些元素组成的 叫做集合(简称为 )．集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． 【答案】 总体 集 【分析】略. 【详解】略 . 3．已知集合中有三个元素，分别为2，，； (1)求实数应该满足哪些条件？ (2)若，求的取值． 【答案】(1)且且且 (2) 【分析】（1）根据集合元素的互异性列不等式来求得正确答案. （2）结合（1）求得正确答案. 【详解】（1）根据集合元素的互异性可知， 解得且且且. （2）由于，结合（1）的结论可知， 所以，解得（舍去）. 题型二 判断是否为同一集合 4．下列各项中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合的概念及分类对选项一一判断，得到答案. 【详解】A选项，是坐标系内不同的两个点，故不表示同一集合，A错误； B选项，是同一个集合，B正确； C选项，是点集，是数集，不是同一集合，C错误； D选项，为点集，为数集，D错误. 故选：B 5．有两组集合（1），；（2），其中集合相等的是第 组． 【答案】（1） 【分析】根据集合相等的概念判断即可. 【详解】两个集合的元素完全相同就是相等集合. 对于（1），集合与集合中均为数集，且它们的元素完全相同，是相等的集合，体现了集合的无序性； 对于（2），集合与集合中均为点集，点和点是不同的点， 所以集合与集合的元素不同，不是相等的集合. 故答案为：（1）. 6．判断下列命题是否正确，若不正确，请说明理由． （1）集合与集合表示同一集合； （2）集合与集合表示同一集合； （3）集合与集合表示同一集合； （4）集合与集合表示同一集合； 【答案】（1）正确；（2）错误；（3）正确；（4）错误 【分析】（1）根据元素的无序性可知两集合为同一集合；（2）集合为点集，元素不同，不是同一集合；（3）两集合均表示大于的所有实数的集合，为同一集合；（4）两集合分别为数集和点集，不是同一集合. 【详解】（1）集合元素具有无序性，与元素完全相同，故为同一集合，正确 （2）两集合为点集，与表示的点不同     两集合表示的不是同一集合，命题错误 （3）与均表示大于的所有实数的集合     即两集合表示的是同一集合，命题正确 （4）为数集；为点集 两集合表示的不是同一集合，命题错误 【点睛】本题考查同一集合的判定，关键是明确只有元素完全相同时，两集合为同一集合；易错点是忽略点集和数集的区别. 题型三 判断元素与集合的关系 7．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合中表示元素的范围直接判断即可. 【详解】因为，所以，，，， 故选：A. 8．非空数集满足：，都有.若集合中含有4个元素，则这四个元素之积为 . 【答案】1 【分析】根据题意，利用数量关系研究数集的元素，可得答案. 【详解】因为非空数集满足：，都有， 又集合T中含有4个元素， 则，，，， 可得，所以. 故答案为：1. 9．已知集合具有性质：对任意与至少一个属于. (1)分别判断集合与是否具有性质，并说明理由. (2)具有性质，当时，求集合. (3)记，求. 【答案】(1)具有性质，不具有性质，理由见解析； (2) (3) 【分析】（1）根据定义，验证集合中的元素是否符合定义即可求解； （2）根据可判断，根据得，而可得，即可求解； （3）根据以及，可得，，，，，即可利用累加法得，进而可求解. 【详解】（1）对于集合中， 由， 所以集合具有性质； 对于集合中，因为，， 所以集合不具有性质. （2）因为且集合具备性质， 又由，所以，，所以， 又因为，所以，则， 根据集合元素的互异性知，， 因为，所以， 所以集合. （3）因为集合具有性质： 由，则，所以， 又因为，所以， 当时，且中元素不超过，所以； 当时”， 所以， 可得， 即， 所以， 当时，可得. 【点睛】方法点睛：求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解. 对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解. 题型四 根据元素与集合的关系求参数 10．已知集合，且，则（    ） A． B．或 C．3 D． 【答案】D 【分析】根据元素与集合的关系及元素的互异性求解即可. 【详解】由题意， 是集合 的元素，则 或 ，解得 或 . 根据集合元素的互异性检验：当 时， 且 ，集合 中出现重复元素，故舍去； 当 时，，，集合 ，符合题意. 综上，. 故选：. 11．若，则的值为 . 【答案】 【分析】通过分情况讨论集合中元素与的相等关系，结合集合元素的互异性求解的值. 【详解】因为，所以分两种情况讨论： 若，解得，此时集合为，不满足元素的互异性，舍去. 若，解得，此时集合为，满足元素的互异性，符合条件. 故答案为： 12．已知集合，集合． (1)求满足的条件； (2)若，求的值； (3)是否存在和的值，使得？若存在，求出和的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据集合元素的三要素即可求解； （2）由得或，分类讨论，验证是否满足集合即可； （3）由得或，分类讨论，最后验证是否满足题意即可. 【详解】（1）由题意有：，即，解得， 所以； （2）由，所以或， 当时，，又因为，不满足元素的互异性， 当时，即，解得或（舍去）， 所以； （3）由有或， 当时，化简有，又，所以该方程无解； 当时，化简有，解得或， 当时，，所以满足题意， 当时，，所以满足题意， 所以存在或，使得. 题型五 利用集合元素的互异性求参数 13．已知集合，若，则（    ） A． B．-1 C．-1或 D．1 【答案】B 【分析】集合，，则或，结合集合中元素的互异性分情况讨论即可求解. 【详解】由题知集合，， 当时，得，此时，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，得或（舍去）， 即时，，故B正确. 故选：B. 14．已知，，若集合，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据集合相等的定义判断的取值进行计算. 【详解】因为，所以，， 此时两个集合即，所以，解得或， 若，则两个集合都是不满足互异性， 所以此时两个集合都是，满足条件. 所以， 故答案为：. 15．已知集合，集合. (1)若，求的值； (2)是否存在a和x的值使得，若存在，求出a和x的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）转化条件或，验证元素的互异性即可求解； （2）按照，讨论，验证即可求解. 【详解】（1）∵， 当，即时，此时，不成立， 当，即，此时，成立， ∴； （2）由题意可得，， 若，则，不符合题意， 若，则，不符合题意， 故不存在实数a和x的值，使得. 题型六 自然语言表示集合 16．下列字母中表示有理数集合的是（    ） A．N B．R C．Q D．Z 【答案】C 【分析】根据常用数集的字母表示即可选出答案. 【详解】表示：自然数集，表示：全体实数集，表示：有理数集，表示整数集. 故选：C 【点睛】本题主要考查常用数集的字母表示，属于简单题. 17．甲､乙两人同时参加一次数学测试,共有20道选择题,每题均有4个选项,答对得3分,答错或不答得0分,甲和乙都解答了所有的试题,经比较,他们只有2道题的选项不同,如果甲最终的得分为54分,那么乙的所有可能的得分值组成的集合为 . 【答案】 【分析】甲最终的得分为54分，可得：甲答对了20道题目中的18道，由于甲和乙都解答了所有的试题，甲必然有2道题目答错了，又甲和乙有2道题的选项不同，则乙可能这两道题答对，答错，乙也可能这2道题与甲一样，在甲正确的题目中乙可能有两道答错了，即可得到结论. 【详解】因为20道选择题每题3分,甲最终的得分为54分,所以甲答错了2道题,又因为甲和乙有两道题的选项不同,则他们最少有16道题的答案相同,设剩下的4道题正确答案为,甲的答案为,因为甲和乙有两道题的选项不同,所以乙可能的答案为,,,,等,所以乙的所有可能的得分值组成的集合为,故答案为. 【点睛】本题考查了集合的性质、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题. 18．已知三个集合 （1）它们是不是相同的集合？ （2）它们各自的含义是什么？ 【答案】（1）它们是互不相同的集合 ；（2）答案见解析． 【分析】（1）根据三个集合的代表元素的性质进行判断即可； （2）根据三个集合的代表元素的运算性质、属性特征进行判断即可. 【详解】解：（1）因为三个集合的代表元素互不相同，所以它们是互不相同的集合． （2）它们各自的含义列表如下： 集合 代表 元素 集合含义 函数的自变量的取值组成集合，该集合为 函数的函数值的取值组成的集合，该集合为 函数的图像上所有点组成的集合，该集合为点集 题型七 描述法表示集合 19．以下集合表示“函数的图象”，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知集合的元素为点的坐标，结合选项分析判断. 【详解】因为函数的图象可以看成函数的图象上的点的集合， 即集合的元素为点的坐标，所以“函数的图象”的集合表示. 故选：C. 20．设，方程的解集是 ． 【答案】 【分析】根据给定的方程，分段去绝对值符号求解即得. 【详解】当时，，， 则方程恒成立，因此； 当时，，， 原方程为，解得，显然无解； 当时，，， 原方程为，解得，显然无解； 当时，，， 则方程恒成立，因此， 所以方程的解集是. 故答案为： 21．对于集合，集合. (1)若把集合，且称为集合与的差集，记作，求和； (2)若把集合称为集合与的积，记作. （i）求； （ii）若集合，集合，问中有多少个元素？请写出这些元素. 【答案】(1)； (2)（i）答案见解析；（ii）答案见解析. 【分析】（1）根据差集的定义求解； （2）（i）（ii）根据的定义求解. 【详解】（1）因为，，，所以； 因为，，，所以. （2）（i）已知， 当时，，构成有序对； 当时，，构成有序对； 当时，，构成有序对； 所以. （ii）若集合有个元素，集合有个元素， 则中的每一个元素是由中的一个元素和中的一个元素组成的有序数对， （其中，）. 因此，中元素的个数为，所有元素为. 题型八 列举法表示集合 22．方程的解集为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的解法求方程的解，再利用列举法写出解集. 【详解】方程可化为， 所以或， 所以方程的解集为， 故选：B. 23．已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，由的符号，分类讨论，结合集合元素的互异性，即可求解 【详解】当都为正数时，可得； 当都为负数时，可得； 当一正一负时，可得； 综上所述：所以集合. 故答案为：. 24．设为实数，集合． (1)若，求； (2)若，求满足的条件； (3)设，当时，如果，且集合均恰有两个元素，求三元数对． 【答案】(1)； (2)或； (3). 【分析】（1）将代入方程，求解即可； （2）由为方程的根可求出a的值，再讨论是否为的根即可. （3）分类讨论，是的根时，确定a的值，再考虑另一个方程的判别式情况，验证是否符合题意，同理讨论-2是的根，综合即可求得答案. 【详解】（1）若，则方程为， 即，解得或，故； （2）由题意知； 又，即集合S中有且仅有一个元素， 若，即，即是的根； 若不是的根，则需满足； 若是的根，则需满足，且，则； 综合上述，满足的条件为或； （3）由题意知，则， 且方程与的判别式相同，， 故两方程的根的个数相同，由于集合均恰有两个元素，故， ，，即是或的根， ，，即是或的根， ①当，即时，是的根，，则，则， 此时，则是的根，即， 若，则可得， 此时， ，符合题意； 若，则有两个不相等的实数根， 结合，即得的两根必为和2，则，即， 此时， ，符合题意； ②当时，，即是的根，则，则， 结合，知是的根，即，即， 若，则解得， 此时， ，符合题意； 若，则有两个不相等的实数根， 结合，即得的两根必为，则，即， 此时， ，符合题意； ③当且时，即不是的根，也不是的根， 由，知是的根，是的根， 故，解得，此时且， ，S中有3个元素，不符合题意； 综合上述，三元数对为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1 集合的概念 题型一 判断元素能否构成集合 1．下列集合表示正确的是（    ） A． B． C． D．是高个子的男生 2．集合：把一些元素组成的 叫做集合(简称为 )．集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． 3．已知集合中有三个元素，分别为2，，； (1)求实数应该满足哪些条件？ (2)若，求的取值． 题型二 判断是否为同一集合 4．下列各项中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 5．有两组集合（1），；（2），其中集合相等的是第 组． 6．判断下列命题是否正确，若不正确，请说明理由． （1）集合与集合表示同一集合； （2）集合与集合表示同一集合； （3）集合与集合表示同一集合； （4）集合与集合表示同一集合； 题型三 判断元素与集合的关系 7．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 8．非空数集满足：，都有.若集合中含有4个元素，则这四个元素之积为 . 9．已知集合具有性质：对任意与至少一个属于. (1)分别判断集合与是否具有性质，并说明理由. (2)具有性质，当时，求集合. (3)记，求. 题型四 根据元素与集合的关系求参数 10．已知集合，且，则（    ） A． B．或 C．3 D． 11．若，则的值为 . 12．已知集合，集合． (1)求满足的条件； (2)若，求的值； (3)是否存在和的值，使得？若存在，求出和的值；若不存在，说明理由． 题型五 利用集合元素的互异性求参数 13．已知集合，若，则（    ） A． B．-1 C．-1或 D．1 14．已知，，若集合，则的值为 ． 15．已知集合，集合. (1)若，求的值； (2)是否存在a和x的值使得，若存在，求出a和x的值；若不存在，请说明理由. 题型六 自然语言表示集合 16．下列字母中表示有理数集合的是（    ） A．N B．R C．Q D．Z 17．甲､乙两人同时参加一次数学测试,共有20道选择题,每题均有4个选项,答对得3分,答错或不答得0分,甲和乙都解答了所有的试题,经比较,他们只有2道题的选项不同,如果甲最终的得分为54分,那么乙的所有可能的得分值组成的集合为 . 18．已知三个集合 （1）它们是不是相同的集合？ （2）它们各自的含义是什么？ 题型七 描述法表示集合 19．以下集合表示“函数的图象”，正确的是（    ） A． B． C． D． 20．设，方程的解集是 ． 21．对于集合，集合. (1)若把集合，且称为集合与的差集，记作，求和； (2)若把集合称为集合与的积，记作. （i）求； （ii）若集合，集合，问中有多少个元素？请写出这些元素. 题型八 列举法表示集合 22．方程的解集为（    ） A．或 B． C． D． 23．已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则 ． 24．设为实数，集合． (1)若，求； (2)若，求满足的条件； (3)设，当时，如果，且集合均恰有两个元素，求三元数对． 1 学科网（北京）股份有限公司 $