17.2用公式法分解因式 同步练习2025-2026学年人教版数学八年级上册

17.2用公式法分解因式同步练习 一、单选题 1．分解因式：（　　） A． B． C． D． 2．下列选项中的式子能用完全平方公式进行因式分解的是（　　） A． B． C． D． 3．分解因式：（   ） A． B． C． D． 4．已知，求的值为（   ） A．3 B．6 C．9 D．27 5．设为整数．则能被下列哪个数整除．（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．多项式与多项式的公因式是（　　） A． B． C． D． 7．若实数是的三边长，则的结果（    ） A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．无法确定 8．下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是（ ） A． B． C． D． 9．如图，有型，型，型三种不同的纸板．其中型是边长为的正方形，共有1块；型为边长为2的正方形，共有2块；型是长为，宽为2的长方形，共有4块．现用这7块纸板去拼出一个大的长方形（不重叠，不留空隙），则下列操作可行的是（   ） A．用全部7块纸板 B．加上3块型纸板 C．拿掉2块型纸板 D．加上1块型纸板 10．计算：（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．因式分解： ． 12．分解因式： ． 13．若可直接用完全平方公式分解因式，则m的值等于 ． 14．某密码翻译爱好者的书记录着2，，，，分别对应：“2”“4”“6”“5”“3”的数字．则多项式因式分解后呈现的密码信息可以是 ． 15．若，则代数式的值为 ． 16．把一段长的铁丝分成两段，将每一段都围成一个最大的正方形，如果这两个正方形的面积之差是，则这两个正方形的边长相差 ． 17．在对多项式进行因式分解时，我们可以把它先分组再分解：原式，这种方法叫做分组分解法．请你用以上方法，写出多项式因式分解的结果为 ． 三、解答题 18．将下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 19．【阅读材料】 因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式． 再将“”还原，原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 【问题解决】 (1)因式分解：． (2)因式分解：． (3)证明：若为正整数，则式子的值一定是某个整数的平方． 20．阅读理解：求代数式的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下“配方法”： 因为， 所以．所以当时，的值最小，最小值是1． 所以的最小值是1． 依据上述方法，解决下列问题 (1)当______时，有最小值是______． (2)多项式有最______(填“大”或“小”)值，该值为______． (3)已知，求的最值． 21．定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“登高数”，例如：，，，因此，，都是“登高数”． (1)特例感知：判断是否为“登高数”，说明理由． (2)规律探究：根据“登高数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，那么“登高数”都能被整除吗?如果能，说明理由；如果不能，举例说明． (3)拓展应用：求不超过的所有“登高数”的和． 22．学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1：A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长和宽分别为a，b的长方形． (1)选取1张A型卡片，2张C型卡片，1张B型卡片，在纸上按照图2的方式拼成一个边长为的大正方形，通过不同方式表示大正方形的面积，可得到等式：______； (2)请用这3种卡片拼出一个面积为的长方形（数量不限），在图3的虚线框中画出示意图，并在示意图上按照图2的方式标注好长方形的长与宽； (3)选取1张A型卡片，4张C型卡片按图4的方式不重叠地放在长方形框架内，图中两阴影部分（长方形）为没有放置卡片的部分．已知的长度固定不变，的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为．若，当a与b满足什么关系，S为定值，且定值S为多少？（用含b的代数式表示S）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《17.2用公式法分解因式同步练习2025-2026学年人教版数学八年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D A D A A C A D D 1．A 【分析】此题考查了运用公式法分解因式，原式利用平方差公式分解即可． 【详解】解：． 故选：A． 2．D 【分析】本题主要考查了用完全平方公式分解因式，，据此判断求解即可． 【详解】解：A、不能用完全平方公式进行因式分解，不符合题意； B、不能用完全平方公式进行因式分解，不符合题意； C、不能用完全平方公式进行因式分解，不符合题意； D、能用完全平方公式进行因式分解，符合题意； 故选：D． 3．A 【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，熟练掌握运算方法是解题的关键． 先提取公因式x，再利用完全平方公式继续进行因式分解． 【详解】解：． 故选：A． 4．D 【分析】本题考查了配方法以及偶次方的非负性，熟练掌握配方法是解题的关键，侧重考查知识点的记忆、理解能力．观察题目，对已知条件根据完全平方公式进行整理得，结合非负数的性质可得， 从而求出x和y的值，接下来将其代入即可解答． 【详解】解：， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 5．A 【分析】本题考查了因式分解的应用，掌握提公因式法和公式法进行因式分解是解本题的关键． 根据平方差公式，将分解成，即可解得． 【详解】解： 为整数， 的值一定能被4整除． 故选：A． 6．A 【分析】本题考查平方差公式，完全平方公式，公因式，掌握知识是解题的关键． 先利用平方差公式，完全平方公式进行因式分解，再确定两个多项式的公因式即可． 【详解】解：∵，， ∴多项式与多项式的公因式是． 故选A． 7．C 【分析】本题考查了三角形三边关系定理、因式分解的应用等知识点，熟练掌握因式分解以及三角形三边关系是解题的关键． 先因式分解，然后后利用三角形三边关系进行分析即可解答． 【详解】解：∵实数是的三边长， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 8．A 【分析】本题考查了利用完全平方公式进行因式分解．熟练掌握完全平方公式的特点是进行因式分解的关键．根据利用完全平方公式进行因式分解对各选项进行判断即可． 【详解】解：由题意知，，不能用完全平方公式分解因式，故A符合要求； ，能用完全平方公式分解因式，故B不符合要求； ，能用完全平方公式分解因式，故C不符合要求； ，能用完全平方公式分解因式，故D不符合要求； 故选：A． 9．D 【分析】本题考查因式分解的应用，根据各选项，列出代数式，进行因式分解即可． 【详解】解：A、用全部7块纸板，总面积为：不能拼出一个大的长方形； B、加上3块型纸板，总面积为：不能拼出一个大的长方形； C、拿掉2块型纸板，总面积为：不能拼出一个大的长方形； D、加上1块型纸板，总面积为：，即可以拼出一个长为，宽为的大长方形； 故选D． 10．D 【分析】本题主要考查了因式分解的应用、平方差公式等知识点，灵活运用平方差公式进行简便运算成为解题的关键． 先利用平方差公式将原式分解，然后再计算即可． 【详解】解： ． 故选 D． 11． 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 直接利用平方差公式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12． 【详解】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，先提取公因式，然后利用平方差公式进行因式分解． 【解答】解：原式 ． 故答案为：． 13．11或/或11 【分析】本题考查完全平方公式分解因式，由题意得，根据对应系数相等即可求解． 【详解】解：可直接用完全平方公式分解因式， ， ， 或， 故答案为：11或． 14．2453（答案不唯一） 【分析】本题考查了因式分解，其中灵活应用平方差公式是解题的关键．将进行因式分解即可得出结论． 【详解】解：， ， ， 2，，，，分别对应：“2”“4”“6”“5”“3”的数字． 多项式因式分解后呈现的密码信息可以是：2453． 故答案为：2453（答案不唯一）． 15．0 【分析】此题考查的是因式分解，掌握完全平方公式和平方差公式因式分解是解决此题的关键． 将因式分解变形为，然后代入求值即可． 【详解】解： ∵， 将代入，得 原式 故答案为：0． 16．3 【分析】本题考查平方差公式的实际应用，设两段铁丝的长分别为，，，根据题意得，即，再根据这两个正方形的面积之差是得，利用平方差公式求解即可． 【详解】解：设两段铁丝的长分别为，，， 根据题意，得， ∴， ∵这两个正方形的面积之差是， ∴， ∴， ∴， ∴， 即这两个正方形的边长相差， 故答案为：3． 17． 【分析】本题考查因式分解，利用分组分解法进行因式分解即可． 【详解】解：原式 ； 故答案为：． 18．(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解，即可解答； （2）利用提公因式法解题即可； （3）先提公因式，再用完全平方公式因式分解即可； （4）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式． 本题考查了提公因式法因式分解，公式法因式分解，熟练掌握其运算规则是解题的关键． 【详解】（1）原式 （2）原式 （3）原式 （4）原式 19．(1) (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查因式分解的应用，解题的关键是熟练运用整体思想和十字相乘法与完全平方公式因式分解的能力． （1）将看作整体，利用完全平方公式因式分解即可得； （2）将看作整体，先整理整理成一般式，再利用完全平方公式因式分解可得； （3）先计算得，再将看作整体因式分解得原式，继而由为正整数可得结论． 【详解】（1）解：将“”看成整体，令， 则原式， 再将“”还原，原式； （2）解：将“”看成整体，令， 则原式， 再将“”还原，原式； （3）解：证明：原式 ， 为正整数， 为正整数， 式子的值一定是某个整数的平方． 20．(1)； (2)大； (3) 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键； （1）化成完全平方公式和的形式计算即可； （2）化成完全平方公式和的形式计算即可； （3）把原式化成再利用完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解：， ， 当时，的值最小，最小值是， ， 当时，的值最小，最小值是， 的最小值是； 故答案为：，； （2）， ， 当时，的值最大，最大值是， ， 当时，的值最大，最大值是； 故答案为：大，； （3）， ， ， ， 当时，的值最小，最小值是， ， 当时，的值最小，最小值是； 的最小值是； 21．(1)是“登高数”，详见解析； (2)“登高数”能被整除，详见解析； (3)． 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是是熟练掌握平方差公式的结构特征，灵活运用平方差公式进行计算，难点是理解“登高数”都是的倍数，即如果一个数是的倍数，那么这个数一定是“登高数”． （1）设求出方程的解，然后由计算结果可得出答案； （2）利用平方差公式计算，然后由计算结果可得出答案； （3），通过计算即可得出不超过的所有“登高数”的和． 【详解】（1）解：（1）是“登高数”， 理由：设， 解得：， ， 是 “登高数”； （2）解：“登高数”能被整除， 理由：， ， ， 是正整数， 能被整除， 能被整除， “登高数”都能被整除； （3）解：由（2），可知“登高数”能被整除， ， 不超过的所有“登高数”有，，，，，， ， ， ， ， ． 22．(1) (2)见解析 (3)当时，为定值 【分析】本题主要考查完全平方公式的几何背景、多项式乘多项式与图形面积、因式分解的应用、整式的无关性问题等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）从个体和从整体两个方面计算大正方形的面积即可解答； （2）利用因式分解将化为，结合长方形面积公式画图即可；（3）设，结合图形，计算的值得到S的表达式，根据S为定值，与x的值无关，据此求解即可． 【详解】（1）解：方法1：大正方形的面积为：， 方法2：图2中四部分的面积和为：， ∴． 故答案为：． （2）解：由，故如图所示： ； （3）解：设，设右上角阴影为，左下角阴影为， ∵， ∴ ＝， 若S为定值，则S将不随x的变化而变化， ∴时，即时，为定值． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $