3.4 一次方程（组） 第3课时　工程问题 课件 2025-2026学年湘教版七年级上册数学

该初中数学课件聚焦一元一次方程的工程问题，核心讲解工作量、工作效率、工作时间的关系及方程模型建立。通过回顾三量关系、明确总工作量设为“1”的方法导入，结合刺绣、图书整理等例题搭建学习支架，衔接前后知识。 其亮点是用生活情境（刺绣、口罩生产）培养数学眼光，列表分析法提升推理意识，分具体数量与整体“1”问题及素养拓展题（工程合同）发展应用意识。学生能提升实际问题解决能力，教师可获得分层教学素材和清晰教学路径。

3.4第 2 课时 工程问题 第3章 一元一次方程 ÷ 七年级上册数学（湘教版） 1. 经历建立一元一次方程模型解决实际问题的过程，培养学生解决实际问题的基本技能. 2. 能通过工作量、工作效率、工作时间的关系列方程解决实际问题. 重点：读懂题意，分析数量关系. 难点：间接设未知数法. 教学目标 1.工程问题中涉及到的三个量之间有什么关系？ 工作效率×工作时间= 工作量 工作量÷工作效率=工作时间 工作量÷工作时间=工作效率 2.在工程问题中通常把哪个量看作整体“1”？ 在未知总工作量具体数据时，通常把总工作量看作整体“1”. 例1 刺绣是我国民间传统手工艺之一. 我国刺绣主要有湘绣、苏绣、蜀绣、粤绣四大类.若刺绣一件作品，甲单独绣需要 15 天才能完成，乙单独绣需要 12 天才能完成. 现在甲先单独绣 1 天，接着乙又单独绣 4 天，剩下的工作由甲、乙两人合绣. 试问：再合绣多少天可以完成这件作品? 工作时间 工作效率 工作总量 甲 乙 设再合绣 x 天 x + 1 x + 4 本题中等量关系为： 甲完成的工作量＋乙完成的工作量＝总工作量. 解得 x＝4. 解：设剩下的工作由甲、乙两人合绣 x 天可以完成，则根据题意，得 答：甲、乙两人再合绣 4 天就可以完成这件作品. 练1 整理一批图书，由一个人做要 40 h 完成. 现计划由一部分人先做 4 h，然后增加 2 人与他们一起做 8 h，完成这项工作. 假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？ 工程问题：整理完成这批图书. 分析： 总工作量＝人均效率×人数×时间 列表分析： 人均效率 人数 时间 工作量 前一部分工作 x 4 后一部分工作 x＋2 8 × × ＝ × ＝ × 解：先安排 x 人先做 4 h. 根据先后两个时间段的工作量之和等于工作总量，列出方程 解方程，得 4x＋8(x＋2)＝40. 4x＋8x＋16＝40. 12x＝24. x＝2. 答：应安排 2 人先做 4 h. 　工作总量是具体数量的问题 1. 某车间原计划15小时生产一批零件，后来每小时多生产10个，用了12小时不但完 成任务，而且还多生产60个，设原计划每小时生产 x 个零件，所列方程为（　B　） A. 15 x ＝12（ x ＋10）＋60 B. 12（ x ＋10）＝15 x ＋60 C. － ＝10 D. － ＝10 B 2. 甲、乙两个工程队共同承担1000m的排污管道建设任务，已知甲工程队每天可以 完成100m，乙工程队每天可以完成80m，开始工作后， 甲先工作一天，乙才开始工 作，则乙加入后，还需 天才能完成这项工程. 3. 入冬以后，一些传染病开始流行，口罩的需求量剧增，某口罩厂原计划每天生产 60箱口罩，更新设备后，工作效率提高20％，这样不仅提前5天完成了生产任务， 并且比原计划多生产了48箱口罩，求原计划要生产多少箱口罩？ 解：设原计划要生产 x 箱口罩，根据题意， 得 － ＝5， 解得 x ＝2040. 答：原计划要生产2040箱口罩. 5　 解：设原计划要生产 x 箱口罩，根据题意， 得 － ＝5， 解得 x ＝2040. 答：原计划要生产2040箱口罩. 　用整体“1”作为工作总量的问题 4. 某项工作甲单独做4天完成，乙单独做6天完成，若甲先做1天，然后甲、乙合作 完成此项工作，若设甲一共做了 x 天，则所列方程为（　C　） A. ＋ ＝1 B. ＋ ＝1 C. ＋ ＝1 D. ＋ ＋ ＝1 5. 一个水池有甲、乙两个水龙头，单独开甲水龙头，4h可把空水池灌满；单独开乙 水龙头，6h可把满池水放完.如果要灌满水池的 ，则需同时开甲、乙水龙头的时间 是（　C　） A. 4h B. h C. 8h D. h C C 6. 一个工人加工一批零件，限期完成，若他每小时加工10个，到期可超额完成3 个；若他每小时加工11个，则可提前1h完成任务，他一共要加工多少个零件？限期 多少小时完成？设限期xh完成，则根据题意，可列方程为 ⁠. 7. 收割一块小麦，甲组需要4小时收割完，乙组需要6小时收割完.现在两组合作， 中间乙组因其他事情离开一段时间，从开工后3小时完成任务，则乙组离开了 ⁠ 小时. ​　10x－3＝11（x－1）　 　 8. 若9人合作14天完成一件工作的 ，而余下的工作要在4天内完成，假设每个人的 工作效率相同，则需增加（　B　） A. 11人 B. 12人 C. 13人 D. 14人 9. 某项工程，甲单独做需12天完成，乙单独做需8天完成，现由甲先做3天，乙再加 入合作，直到完成这项工程，求甲完成这项工程所用的时间.若设甲完成此项工程 一共用 x 天，可列方程为 ⁠. B ＋ ＝1　 做一做 10. 一辆拖拉机耕一片地，第一天耕了这片地的 ， 第二天耕了剩余部分的 ，还剩下 42 公顷，则 这片地共有 公顷. 解析：设这片地共有 x 公顷. 由题意，得 解得 x = 189. 189 11. 某工作甲单独做需15h完成，乙单独做需12h完成，若甲先单独做1h，之后乙再 单独做4h，剩下的工作由甲、乙两人一起做.问再做多久可以完成全部工作？ 解：设再做x可完成全部工作. ＋ ＋（ ＋ ）x＝1， 解得x＝4. 答：再做4h可以完成全部工作. 解：设再做xh可完成全部工作. ＋ ＋（ ＋ ）x＝1， 解得x＝4. 答：再做4h可以完成全部工作. 12. （答题模板）限期完成一项工程，甲队单独做4天可完成，乙队则需10天完成， 现甲队工作2天后，余下的由乙队去做，正好按期完成，问原计划需多少天完成？ 解：设原计划需 x 天完成，则甲队完成了 　 　，乙队完成了 　 　， 由题意列方程为 ⁠， 解得 x ＝ ⁠. 答：原计划需 天完成. 　 　 ＋ ＝1　 7　 7　 13. 七年级（1）班小芳和小华在做室内值日时，小芳单独做需15min完成，小华单独 做需9min完成.若小芳先单独做3min后，小华才到，剩下的由两人共同完成，则还 需要几分钟才能做完？若5min后要上课了，则她们能在上课前做完吗？ 解：设还需要 x min完成. 根据题意，得 ＋（ ＋ ） x ＝1，解得 x ＝4.5. 答：还需要4.5min才能做完.若5min后要上课了，则她们能在上课前做完. 解：设还需要 x min完成. 根据题意，得 ＋（ ＋ ） x ＝1，解得 x ＝4.5. 答：还需要4.5min才能做完.若5min后要上课了，则她们能在上课前做完. 解：设这批加工任务共有 x 件，由题意，得 － ＝4. 解得 x ＝3360. 答：这批加工任务共有3360件. 解：设这批加工任务共有 x 件，由题意，得 － ＝4. 解得 x ＝3360. 答：这批加工任务共有3360件. 14. 某车间接到一批加工任务，计划每天加工120件，可以如期完成，实际加工时每 天多加工20件，结果提前4天完成任务，则这批加工任务共有多少件？ 15. 甲班有45人，乙班有39人，现在需要从甲、乙两班各抽调一些同学去参加歌咏 比赛.如果从甲班抽调的人数比从乙班抽调的人数多1人，那么甲班剩余人数恰好是 乙班剩余人数的2倍.请问从甲、乙两班各抽调了多少人参加歌咏比赛？ 解：设从甲班抽调了 x 人，那么从乙班抽调了（ x －1）人. 由题意，得45－ x ＝2[39－（ x －1）]，解得 x ＝35. 则 x －1＝35－1＝34. 答：从甲班抽调了35人参加歌咏比赛，从乙班抽调了34人参加歌咏比赛. 解：设从甲班抽调了 x 人，那么从乙班抽调了（ x －1）人. 由题意，得45－ x ＝2[39－（ x －1）]，解得 x ＝35. 则 x －1＝35－1＝34. 答：从甲班抽调了35人参加歌咏比赛，从乙班抽调了34人参加歌咏比赛. 16. 某报社需要在40min内将一篇紧急宣传文稿输入电脑.已知独立完成此项任务， 小王需要50min，小李需要30min.小王独自输入了30min后，因为急于完成任务，请 求小李帮助他（求助时间忽略不计），他们能在要求的时间内完成任务吗？请说明 理由. 解：能.理由：设小李加入后， x min完成任务，根据题意，得 ＋ ＝1， 解得 x ＝7.5， 则他们完成共用时37.5min. 因为37.5＜40， 所以他们能在要求的时间内完成任务. 解：能.理由：设小李加入后， x min完成任务，根据题意，得 ＋ ＝1， 解得 x ＝7.5， 则他们完成共用时37.5min. 因为37.5＜40， 所以他们能在要求的时间内完成任务. 17.一件工作，甲单独做 15 天完成，乙单独做 12 天完成．甲先单独做 6 天，然后乙加入合作，那么两人合作还要多少天才能完成这件工作？ 解：设两人合作还要 x 天才能完成这件工作. 依题意，得 答：两人合作还要 8 天才能完成这件工作. 解得 x = 8. 或者 ÷ 七年级上册数学（湘教版） 18. (姜堰区校级月考) 为打造绿色生态环境，一段长 为 2 400 米的河道整治任务交给甲、乙两个工程队接力完成，共耗时 80 天. 已知甲队每天整治 32 米，乙队每天整治 24 米. 求甲、乙两队分别整治河道多少米? (写出完整的解答过程). 解：设甲队工作时间 x 天，乙队工作时间是 (80－x ). 根据河道总长是 2 400 米，列出方程 32x ＋24(80－x)＝2 400. x＝60. 甲：32×60＝1920 米； 乙：24×20＝480 米. 答：甲、乙两队分别整治河道 1 920 米、480 米. 方法二： 解：设甲队整治河道 x 米，乙队两整治河道 (2 400－x) 米. 根据工作总时间是 80 天，列出方程 x＝1920. 乙：2400－1920＝480 (米). 答：甲、乙两队分别整治河道 1 920 米、480米. 19. （核心素养·应用意识）甲、乙两人共同承包一项工程，甲单独做30天完成，乙 单独做20天完成，合同规定15天完成，否则每超过1天罚款1000元，甲、乙两人经 商量后签订了该合同. （1）正常情况下，甲、乙两人能否履行该合同？为什么？ 解：（1）设甲、乙两人合作完成此项工程需 x 天， 则 ＋ ＝1，解得 x ＝12. 因为12＜15， 所以正常情况下，甲、乙两人能履行该合同. 解：（1）设甲、乙两人合作完成此项工程需 x 天， 则 ＋ ＝1，解得 x ＝12. 因为12＜15， 所以正常情况下，甲、乙两人能履行该合同. （2）现两人合作了这项工程的75％，因别处有急事，必须调走1人，问调走谁更合 适？为什么？ 解：（2）设两人合作 a 天完成工作的75％. 则 ＋ ＝ ，解得 a ＝9. 若调走甲，则乙还需 ÷ ＝5（天）； 若调走乙，则甲还需 ÷ ＝7.5（天）. 因为9＋5＝14（天）＜15天， 9＋7.5＝16.5（天）＞15天， 所以调走甲更合适. 解：（2）设两人合作 a 天完成工作的75％. 则 ＋ ＝ ，解得 a ＝9. 若调走甲，则乙还需 ÷ ＝5（天）； 若调走乙，则甲还需 ÷ ＝7.5（天）. 因为9＋5＝14（天）＜15天， 9＋7.5＝16.5（天）＞15天， 所以调走甲更合适. eq \f(4x,40) ＋ eq \f(8(x＋2),40) ＝1. eq \f(x,32) ＋ eq \f(2400－x,24) ＝80. $