第三次月考模拟卷(九上第21章一元二次方程-25章概率初步)2025-2026学年人教版九年级数学上册

九年级数学上学期第三次月考模拟卷 【人教版2025】 试卷共120分 考试时间120分钟 测试范围:第21章一元二次方程～第25章概率初步 姓名:＿＿＿＿班级:＿＿＿＿学号:＿＿＿＿ 考卷信息: 本卷试题共24题,单选题10题,填空题6题,解答题8题,满分120分,限时120分钟,试卷题型针对性强、知识覆盖率全面、选题难度适配精准，能科学量化学生对相关知识点的掌握程度。 一、单选题(每题3分,共计30分) 1．下列方程中是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．将平面直角坐标系内的某图形A上各点的横坐标都乘得到图形B，将图形B上的各点的横、纵坐标都乘得到图形C，则图形A与图形C的关系是（    ） A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．位置不变 3．用配方法将方程转化为的形式，则的值为（   ） A．2027 B． C．2023 D． 4．一个不透明袋子中装有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，现从袋子中先后摸出两个球（不放回），则两个球颜色不同的概率为（   ） A． B． C． D． 5．根据下列表格的对应值，判定方程（a，b，c是常数，且）的一个解x的范围是（   ） x A． B． C． D． 6．如图，若正方形EFGH由正方形ABCD绕某点旋转得到，则可以作为旋转中心的是（　　） A．M或O或N B．E或O或C C．E或O或N D．M或O或C 7．如图，为弦，直径，垂足为点，则下列结论中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 8．已知二次函数可化为的形式，则的值是(    ) A． B．3 C． D．5 9．如图，半径为5和的两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于，两点，若，则的大小为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 10．如图，将一枚飞镖任意投掷到边长为的正方形镖盘内，若飞镖落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（    ） A． B． C． D． 二、填空题(每题3分,共计18分) 11．在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共30个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中红球大约有 个． 12．如图，是一个正六边形果盘的简单示意图，将它绕中心点O旋转，当该正六边形果盘第一次与自身重合时，其旋转角的大小为 ． 13．如果一个三角形两边的长分别等于一元二次方程的两个实数根，这个三角形的第三边可以是 ．（写出一个即可） 14．现定义表示不超过实数x的最大整数，如，，，则方程的解为 ． 15．如图，用6个小正方形构造如图所示的网格图（每个小正方形的边长均为4），设经过图中、、三点的圆弧与交于，则图中阴影部分面积 ． 16．一次函数和二次函数．一次函数的图象与坐标轴分别交于点B，点C．若P为二次函数图象上的一个动点，过点P作直线的垂线，垂足为点A，求最小值为： ． 三、解答题(每题9分,共计72分) 17．在一个不透明的袋子中装有1个红球和2个黄球，这些球除颜色外都相同，将袋中的球充分摇匀． (1)从袋子中摸出白球是______事件（填“必然”“随机”“不可能”）； (2)若从袋子中随机摸出1球，则摸到黄球的概率是______； (3)若从袋中随机摸出2球，用画树状图法求摸出两球是同一颜色的概率． 18．在平面直角坐标系中，，，． (1)写出A，B两点分别关于y轴的对称点，的坐标． (2)画出以O为顶点并过A和B两点的抛物线图象． 19．（1）解方程①    ② （2）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少小分支． 20．（1）解方程： （2）如图，正五边形内接于，点F在上，求的度数． 21．关于x的一元二次方程有实数根． (1)求实数k的取值范围． (2)设方程的两个实数根分别为，，若，求k的值． 22．草帽：是用水草、席草、麦秸、竹篾等物进行编织缠绕的中国特有的传统草编工艺品，如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、底面半径为的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠． (1)这顶锥形草帽的高为______，侧面积为______．（结果保留） (2)计算所需扇形卡纸的圆心角的度数． 23．2025年7月26日至8月10日，霍邱县马店镇隆重举行了首届龙虾音乐节，某龙虾养殖大户为了发挥技术优势，一次性收购小龙虾，计划养殖一段时间后再出售．已知每天养殖龙虾的养殖成本相同，放养10天的总成本为83000元，放养30天的总成本为89000元．设这批小龙虾放养t天后的质量为，销售单价为y元/，根据往年的行情预测，a与t的函数关系为，y与t的函数关系如图所示． （总成本养殖成本收购成本；利润销售总额总成本） (1)求这批小龙虾的收购成本和每天养殖成本； (2)求y与之间的函数表达式； (3)如果将这批小龙虾放养t天后一次性出售所得利润为W元．问该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养多少天后一次性出售所得利润最大？最大利润是多少？ 24．如图，是等腰直角三角形，，是直线上一动点，连接，以为腰作等腰直角． 【初步尝试】（1）如图①，点在线段上，当时，若，则___________； 【探究发现】（2）如图②，若点在线段的延长线上，试判断，和之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】（3）如图③，当点在线段上时，连接，若，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学上学期第三次月考模拟卷 【人教版2025】 试卷共120分 考试时间120分钟 测试范围:第21章一元二次方程～第25章概率初步 姓名:＿＿＿＿班级:＿＿＿＿学号:＿＿＿＿ 考卷信息: 本卷试题共24题,单选题10题,填空题6题,解答题8题,满分120分,限时120分钟,试卷题型针对性强、知识覆盖率全面、选题难度适配精准，能科学量化学生对相关知识点的掌握程度。 一、单选题(每题3分,共计30分) 1．下列方程中是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查“一元二次方程的定义”，掌握一元二次方程的特征是解题关键． 根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）进行判断即可． 【详解】选项A： 只含未知数x，最高次项为（次数为2），且是整式方程，∴ 是一元二次方程； 选项B： 含有两个未知数x和y，∴ 不是一元方程； 选项C： 含有分式，∴ 不是整式方程，不是一元方程； 选项D： 含有两个未知数，且次数为1，∴ 不是一元二次方程． 故选：A． 2．将平面直角坐标系内的某图形A上各点的横坐标都乘得到图形B，将图形B上的各点的横、纵坐标都乘得到图形C，则图形A与图形C的关系是（    ） A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．位置不变 【答案】A 【分析】此题主要考查了对称点的坐标特点，关键是熟记变化规律．关于x轴对称的点坐标特点：横坐标相等，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点坐标特点：纵坐标相等，横坐标互为相反数；关于原点对称的点坐标特点：横坐标和纵坐标皆互为相反数． 【详解】解：设图形A上任意一点为， ∵ 横坐标乘得图形B， ∴ B上点为． ∵ 将B的点横、纵坐标都乘得图形C， ∴ C上点为． ∴ A的点与C的点对应， ∵ 横坐标相同，纵坐标互为相反数， ∴ 图形A与图形C关于x轴对称． 故选：A． 3．用配方法将方程转化为的形式，则的值为（   ） A．2027 B． C．2023 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是关键． 先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，据此求出、的值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 与 比较，得，， ∴ ． 故选：B． 4．一个不透明袋子中装有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，现从袋子中先后摸出两个球（不放回），则两个球颜色不同的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是利用画树状图与列表的方法求解随机事件的概率，根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数，二者的比值就是其发生的概率的大小． 【详解】解：画树状图如图： 共有20种等可能的结果，而摸到的2个球颜色不相同的情况有12种，所以其概率为． 故选：C 5．根据下列表格的对应值，判定方程（a，b，c是常数，且）的一个解x的范围是（   ） x A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，通过观察二次函数值的变化，当函数值由负变正时，方程在该区间内有一个解，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解此题的关键． 【详解】解：令， 由表格可得：当时，，当时，， 即在范围内，的值由负变正， ∴方程的一个解的范围是． 故选：C． 6．如图，若正方形EFGH由正方形ABCD绕某点旋转得到，则可以作为旋转中心的是（　　） A．M或O或N B．E或O或C C．E或O或N D．M或O或C 【答案】A 【详解】试题分析：若以M为旋转中心，把正方形ABCD顺时针旋转90°，A点对应点为H，B点对应点为E，C点对应点为F，D点对应点为G，则可得到正方形EFGH； 若以O为旋转中心，把正方形ABCD旋转180°，A点对应点为G，B点对应点为H，C点对应点为E，D点对应点为F，则可得到正方形EFGH； 若以N为旋转中心，把正方形ABCD逆时针旋转90°，A点对应点为F，B点对应点为G，C点对应点为H，D点对应点为E，则可得到正方形EFGH． 故选A． 7．如图，为弦，直径，垂足为点，则下列结论中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理，弧、弦、圆心角的关系，根据垂径定理，圆心角、弧、弦的关系逐一判断即可，熟知垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键． 【详解】A、 与不一定相等，符合题意；     B、 ∵直径， ∴，故不符合题意； C、∵直径， ∴，故不符合题意； ∴，故D不符合题意， 故选：A． 8．已知二次函数可化为的形式，则的值是(    ) A． B．3 C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的一般式与顶点式的相互转化、待定系数法等知识，将顶点式化成一般式确定对应系数，然后配方即可求解，熟练能将一般式与顶点式相互转化是解题的关键． 【详解】解： ∴，， ∴． 故选：A． 9．如图，半径为5和的两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于，两点，若，则的大小为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，解题的关键是正确作出垂线．连接，过点作于点，由垂径定理可得，再由勾股定理可得，求出，即可求解． 【详解】解：连接，过点作于点， ∵，经过圆心， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴（舍去负值）， ∴ 故选：C． 10．如图，将一枚飞镖任意投掷到边长为的正方形镖盘内，若飞镖落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了几何概率计算，正确理解概率的几何意义是解题的关键．连接，，圆的直径为正方形的边长即直径为，，用小正方形的面积除以大正方形的面积即可． 【详解】解：正方形镖盘的边长为， 圆的直径为正方形的边长，即直径为， 如图， 连接，， ， 阴影部分的面积为：， 故飞镖落在阴影区域的概率为：． 故选：C． 二、填空题(每题3分,共计18分) 11．在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共30个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中红球大约有 个． 【答案】12 【分析】本题考查频率估计概率， 已知概率求数量，掌握知识点是解题的关键． 根据频率估计概率，红球的概率稳定在，利用概率公式计算红球个数． 【详解】解：∵摸出红球的频率稳定在左右， ∴摸出红球的概率约为． ∴袋子中红球大约有（个）． 故答案为：12． 12．如图，是一个正六边形果盘的简单示意图，将它绕中心点O旋转，当该正六边形果盘第一次与自身重合时，其旋转角的大小为 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查了正多边形的性质，结合旋转的性质来求解正六边形果盘第一次与自身重合时的旋转角大小即可． 【详解】解：该图形被平分成六部分，旋转的整数倍，就可以与自身重合， 故当此图案第一次与自身重合时，其旋转角的大小为． 故答案为：． 13．如果一个三角形两边的长分别等于一元二次方程的两个实数根，这个三角形的第三边可以是 ．（写出一个即可） 【答案】6（答案不唯一，大于且小于9的数都可以） 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，三角形三边关系． 利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，进而得到两根之差的绝对值，再根据三角形三边关系确定第三边的取值范围． 【详解】解：设方程的两根为和， 根据根与系数的关系，有，， 则， 所以， 根据三角形三边关系，第三边必须满足， 即， 且， 因此可以是6． 故答案为：6（答案不唯一，大于且小于9的数都可以）． 14．现定义表示不超过实数x的最大整数，如，，，则方程的解为 ． 【答案】或 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，理解取整的定义是解题的关键． 先根据，可得，分情况进行讨论：（1）时；（2）时；（3）；（4）时；（5）同理可知4 时，方程无解；即可解答． 【详解】解：∵， ， ， ， ， （1）时，，解得：； （2）时，，解得：或（舍）； （3）时，，解得：（舍）或（舍）； （4）时，，解得：（舍）； （5）同理可知时，方程无解； 综上所述：方程的解为或， 故答案为：或． 15．如图，用6个小正方形构造如图所示的网格图（每个小正方形的边长均为4），设经过图中、、三点的圆弧与交于，则图中阴影部分面积 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查的是扇形面积的计算、等腰直角三角形的判定，锐角三角函数的性质，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．连接，，，首先证明是等腰直角三角形，利用扇形公式计算即可解决问题． 【详解】解：如图所示，连接，，， ∵每个小正方形的边长均为4 ∵由勾股定理得，，， ∵ ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴是圆的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴弧所对的圆心角为，半径， ∴图中阴影部分的面积 ， 故答案为：． 16．一次函数和二次函数．一次函数的图象与坐标轴分别交于点B，点C．若P为二次函数图象上的一个动点，过点P作直线的垂线，垂足为点A，求最小值为： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数与坐标轴的交点问题，解题的关键是构造等腰直角三角形将最值问题转化为二次函数求解． 通过作辅助线构造等腰直角三角形，将的长度与建立联系，利用二次函数的性质求最小值，进而得到最小值 【详解】解：过点作轴，交直线于点， 对于，当； 当，，解得 ∴点， ∴， ∴三角形为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴三角形为等腰直角三角形， 设的横坐标为，则，则， ∴， ∴当时，取最小值为， ∵， ∴， 此时，取最小值，值为． 故答案为：． 三、解答题(每题9分,共计72分) 17．在一个不透明的袋子中装有1个红球和2个黄球，这些球除颜色外都相同，将袋中的球充分摇匀． (1)从袋子中摸出白球是______事件（填“必然”“随机”“不可能”）； (2)若从袋子中随机摸出1球，则摸到黄球的概率是______； (3)若从袋中随机摸出2球，用画树状图法求摸出两球是同一颜色的概率． 【答案】(1)不可能 (2) (3) 【分析】本题考查了树状图法、随机事件与必然事件、不可能事件等知识，正确画出树状图是解题的关键． （1）由随机事件、必然事件以及不可能事件的定义即可得出结论； （2）共有3种等可能的结果，摸到黄球的结果有2种，再由概率公式求解即可； （3）画树状图，共有6种等可能的结果，摸出两球是同一颜色的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：∵袋子里面没有白球， ∴从袋子中摸出白球是不可能事件． 故答案为：不可能． （2）∵袋子中装有1个红球和2个黄球， ∴共有3种等可能的结果，摸到黄球的结果有2种． ∴摸到黄球的概率是． 故答案为：． （3）画树状图如下： 共有6种等可能的结果，摸出两球是同一颜色的结果有2种， ∴摸出两球是同一颜色的概率为：． 18．在平面直角坐标系中，，，． (1)写出A，B两点分别关于y轴的对称点，的坐标． (2)画出以O为顶点并过A和B两点的抛物线图象． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题考查坐标与图形变换-轴对称，二次函数的性质、画二次函数的图象，掌握二次函数的性质是解答的关键． （1）根据点关于y轴对称的点的坐标特征“纵坐标相同，横坐标互为相反数”求解即可； （2）根据二次函数的对称性描点画图即可． 【详解】（1）解：∵A，B两点分别关于y轴的对称点为，，，， ∴，； （2）解：∵抛物线以O为顶点并过A和B两点， ∴该抛物线关于y轴对称，并经过，两点， 在平面直角坐标系中描点、连线可得抛物线，如图所示： 19．（1）解方程①    ② （2）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少小分支． 【答案】（1）① ；②，；（2）每个支干长出9个小分支 【分析】此题考查了一元二次方程的解法与实际应用； （1）①用因式分解法求解即可； ②利用公式法求解方程即可； （2）由题意设每个支干长出x个小分支，因为主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，所以支干有x个，小分支共有个，根据“主干、支干和小分支的总数是91”即可列方程，再解方程即可求解． 【详解】解：（1）①， ， ， 或 解得，； ②， ，，，， ∴ ∴，； （2）由题意设每个支干长出x个小分支，则支干有x个，小分支共有个， 由题意得：， 整理得， 解得，（舍去）， 即每个枝干长出9个小分支． 20．（1）解方程： （2）如图，正五边形内接于，点F在上，求的度数． 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查了解一元二次方程，正多边形和圆，圆周角定理等知识，灵活运用正五边形的性质是本题的关键． （1）运用因式分解法解方程即可； （2）连接，由正五边形的性质可得，即可求解． 【详解】解：（1）， ， ， ∴； （2）如图，连接， ∵五边形是正五边形， ∴， ∵， ∴． 21．关于x的一元二次方程有实数根． (1)求实数k的取值范围． (2)设方程的两个实数根分别为，，若，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）根据一元二次方程有实数根得到，解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到，，将等式左侧展开代入计算即可得到k值． 【详解】（1）解：关于x的一元二次方程有实数根， ， ， ； （2）解：方程的两个实数根分别为，， ，， ， ， ， ， 或3， 又， ． 22．草帽：是用水草、席草、麦秸、竹篾等物进行编织缠绕的中国特有的传统草编工艺品，如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、底面半径为的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠． (1)这顶锥形草帽的高为______，侧面积为______．（结果保留） (2)计算所需扇形卡纸的圆心角的度数． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查勾股定理求圆锥的高、圆的周长公式、扇形面积公式等知识，熟记圆锥相关概念、勾股定理及扇形面积公式是解决问题的关键． （1）根据题意，如图所示，由勾股定理求值即可得到高；再由扇形面积公式代值计算即可得到面积； （2）由（1）知侧面积为，设所需扇形卡纸的圆心角的度数，列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示： 在中，，，， 则由勾股定理可得； 圆锥底面圆的周长为， 圆锥侧面积为； 故答案为：，； （2）解：由（1）知侧面积为， 设所需扇形卡纸的圆心角的度数， ， 解得， 答：所需扇形卡纸的圆心角的度数为． 23．2025年7月26日至8月10日，霍邱县马店镇隆重举行了首届龙虾音乐节，某龙虾养殖大户为了发挥技术优势，一次性收购小龙虾，计划养殖一段时间后再出售．已知每天养殖龙虾的养殖成本相同，放养10天的总成本为83000元，放养30天的总成本为89000元．设这批小龙虾放养t天后的质量为，销售单价为y元/，根据往年的行情预测，a与t的函数关系为，y与t的函数关系如图所示． （总成本养殖成本收购成本；利润销售总额总成本） (1)求这批小龙虾的收购成本和每天养殖成本； (2)求y与之间的函数表达式； (3)如果将这批小龙虾放养t天后一次性出售所得利润为W元．问该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养多少天后一次性出售所得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)收购成本为80000元，每天养殖成本为300元 (2) (3)该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养25天后一次性出售所得利润最大，最大利润是54250元 【分析】（1）设这批小龙虾的收购成本为m元，每天养殖成本为n元，根据题意列出方程组，求出方程组的解得到与的值即可； （2）根据图象，分类利用待定系数法求出当时，当时，y与t之间的关系式即可； （3）根据，分别写出当时，当时，与的函数解析式，然后利用一次函数与二次函数的性质求出最值即可． 【详解】（1）解：设这批小龙虾的收购成本为m元，每天养殖成本为n元，根据题意得： ，解得： 答：这批小龙虾的收购成本为80000元，每天养殖成本为300元． （2）解：当时，设y与t之间的函数表达式为：， 由图可知：当时，；当时，；即， 解得：， ∴y与t之间的函数表达式为：； 当时，设y与t之间的函数表达式为：， 由图可知：当时，；当时，；即， 解得：， ∴y与t之间的函数表达式为：； 综上所述，y与t之间的表达式为：； （3）解：由题意可得：， 当时，，即， ∵， ∴时，W最大，； 当时，， 即 ∵， ∴时，W最大，． 答：该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养25天后一次性出售所得利润最大，最大利润是54250元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，二元一次方程组，待定系数法确定函数解析式，利用二次函数的性质确定最值，一次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键． 24．如图，是等腰直角三角形，，是直线上一动点，连接，以为腰作等腰直角． 【初步尝试】（1）如图①，点在线段上，当时，若，则___________； 【探究发现】（2）如图②，若点在线段的延长线上，试判断，和之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】（3）如图③，当点在线段上时，连接，若，求的值． 【答案】（1）1；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）根据等腰直角三角形的性质得到，根据旋转的性质得到，即可； （2）如图2，根据旋转的性质得到，，根据等腰直角三角形的性质得到，，连接，根据全等三角形的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论； （3）过点作，交于点．先证得，再通过全等三角形的性质以及面积的和差关系进行计算即可． 【详解】解：（1），，， ， 将线段绕点逆时针旋转，得到线段， ， 故答案为：1． （2），理由如下： 如解图①，连接， 由旋转得：，， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 即； （3）如解图②，过点作，交于点． ∵， ∴， 在与中，， ∴， ∴， 根据题意，得， ∴， ∴， ∴，即． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $