专题7.1 角与弧度（八大题型）训练-2025-2026学年高一数学上学期秋季讲义（苏教版2019必修第一册）

专题7.1 角与弧度 题型1 任意角的概念 1．（24-25高一下·贵州安顺·期末）地球绕太阳的轨道称为黄道，而二十四节气正是按照太阳在黄道上的位置来划分的．当太阳垂直照射赤道时定为“黄经零度”，即春分点．从这里出发，每前进15度就为一个节气，从春分往下依次顺延，清明、谷雨、立夏等．待运行一周后就又回到春分点，此为一回归年，共360度．因此分为24个节气，则芒种为黄经（    ） A．60度 B．75度 C．270度 D．285度 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】任意角的概念 【分析】结合题意与图象计算即可得. 【详解】春分往下依次顺延，清明、谷雨、立夏、小满、芒种，所以芒种为黄经度． 故选：B. 2．（24-25高三下·云南临沧·月考）从午夜零时算起，钟的时针和分针一天内重合的次数为（ ） A．次 B．次 C．次 D．次 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】任意角的概念 【分析】通过时针转圈，分针转圈，即可判断. 【详解】一天小时中，时针转圈，分针转圈， 所以分针比时针多转的圈数是， 又因为每多转一圈，分针就与时针相遇一次， 所以钟的时针和分针一天内会重合次， 故选：C 3．（24-25高一上·上海·期末）经过5分钟，分针的转动角为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】任意角的概念 【分析】根据任意角的概念计算可得； 【详解】经过5分钟，则分针顺时针转过，则分针转动角为. 故选：B. 4．（25-26高一上·全国·课后作业）（多选题）下列说法正确的是（    ） A．所有的正角都比负角大 B．始边与终边重合的角一定是零角 C．第三象限的角一定大于第二象限的角 D．锐角一定是第一象限角，钝角一定是第二象限角 【答案】AD 【难度】0.85 【知识点】任意角的概念、确定已知角所在象限 【分析】利用正角和负角的定义判断A，利用零角的定义判断B，举反例判断C，利用锐角，钝角，第一象限角，第二象限角的定义判断D即可. 【详解】对于A，由正角和负角的定义得，所有的正角都比负角大，故A正确， 对于B，只有始边与终边没有做任何旋转，始边与终边重合的角才是零角，故B错误， 对于C，令第三象限的角是，第二象限的角是， 则，可得第三象限的角不一定大于第二象限的角，故C错误， 对于D，设为锐角，为钝角，由锐角的定义得，， 由第一象限角的定义得一定是第一象限角， 由第二象限角的定义得一定是第二象限角， 即锐角一定是第一象限角，钝角一定是第二象限角，故D正确. 故选：AD 5．（23-24高一上·江苏宿迁·月考）（多选题）下列说法正确的是（    ） A．锐角都是第一象限角 B．第二象限角都比第三象限角小 C．角与角不等，则两角的终边不同 D．若角与角终边相同，则 【答案】AD 【难度】0.94 【知识点】任意角的概念 【分析】根据任意角的定义即可逐个选项判断. 【详解】锐角都是第一象限角，A正确； 第二象限角不是都比第三象限角小，B错； 角与角不等，但两角的终边可以相同，C错； 若角与角终边相同，则，D正确. 故选：AD 6．（23-24高一上·江苏淮安·月考）（多选题）下列说法中正确的是（   ） A．锐角是第一象限角 B．第二象限角为钝角 C．小于的角一定为锐角 D．角与的终边关于轴对称 【答案】AD 【难度】0.85 【知识点】任意角的概念、找出终边相同的角、确定已知角所在象限 【分析】根据象限角、锐角的定义判断ABC，根据任意角的定义判断D. 【详解】对于A：因为锐角的范围为，终边落在第一象限，故锐角为第一象限角，正确； 对于B：终边落在第二象限的角不一定是钝角，如的角的终边位于第二象限，但不是钝角，错误； 对于C：小于的角不一定是锐角，如的角小于，但不是锐角，错误； 对于D：由角的定义可知，角与的终边关于轴对称，正确； 故选：AD 题型2 终边相同的角 1．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·月考）与角终边相同的角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】找出终边相同的角 【分析】根据终边角的定义进行求解即可. 【详解】因为，所以与角终边相同的角是. 故选：C. 2．（25-26高一上·黑龙江大庆·期中）下面与角终边相同的角是（   ） A．25° B． C． D．225° 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】找出终边相同的角 【分析】由终边相同角的概念进行求解． 【详解】因为，所以与终边相同的最小正角是． 故选：D 3．（2025高三·全国·专题练习）与终边相同的最小正角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】找出终边相同的角 【分析】由终边相同角的概念进行求解． 【详解】因为，所以与终边相同的最小正角是． 故选：A 4．（25-26高一上·全国·课后作业）下列角中与角的终边相同的是 （填序号）． ①；②；③；④． 【答案】②③④ 【难度】0.85 【知识点】找出终边相同的角 【分析】根据终边相同的角的概念依次判断即可. 【详解】与角的终边相同的角的集合为． 当时，，解得， 角与角的终边不相同； 当时，，解得， 角与角的终边相同； 当时，，解得， 角与角的终边相同； 当时，，解得， 角与角的终边相同． 故答案为：②③④. 5．（24-25高一下·天津·期中）的终边在第 象限． 【答案】三 【难度】0.94 【知识点】找出终边相同的角、确定已知角所在象限 【分析】由终边相同的角的概念求出的终边相同的角为，判断其所在的象限即可. 【详解】因为，所以与终边相同， 故的终边在第三象限. 故答案为：三 6．（2025高三·全国·专题练习）已知，若将角的终边顺时针旋转所得的角的终边与角的倍角的终边重合，则角= ． 【答案】或 【难度】0.94 【知识点】找出终边相同的角 【分析】先根据任意角的定义写出满足的条件，然后结合的范围求角即可． 【详解】角的终边顺时针旋转所得的角为， 由题意，，则， 注意到，则只有符合题意， 故或． 故答案为：或． 题型3 轴线角与象限角 1．（25-26高一上·全国·课后作业）终边与坐标轴重合的所有角的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】轴线角 【分析】应用任意角表示终边与轴重合的角，即可得. 【详解】终边与轴重合的角为，即， 终边与轴重合的角为，即，， 所以终边与坐标轴重合的所有角的集合是． 故选：B 2．（25-26高一上·全国·课后作业）若角的终边相同，则的终边在（    ） A．x轴的非负半轴上 B．轴的非正半轴上 C．轴的非负半轴上 D．轴的非正半轴上 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】轴线角、找出终边相同的角 【分析】根据给定条件，利用终边相同的角的特征求解判断. 【详解】由角的终边相同，则，即， 所以的终边在轴的非负半轴上. 故选：A 3．（20-21高一·全国·课后作业）下列说法：①终边相同的角必相等；②锐角必是第一象限角；③小于的角是锐角；④第二象限的角必大于第一象限的角；⑤若角的终边经过点，则角是第三或第四象限角，其中错误的是（    ） A．③④⑤ B．①③④ C．①③④⑤ D．②③④⑤ 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】任意角的概念、轴线角、确定已知角所在象限 【分析】①取特殊角：与进行判断； ②根据锐角的范围直接判断； ③取负角进行否定； ④取特殊角进行否定； ⑤取特殊角进行否定． 【详解】①终边相同的角必相等错误，如与终边相同，但不相等； ②锐角的范围为，必是第一象限角，正确； ③小于的角是锐角错误，如负角； ④第二象限的角必大于第一象限的角错误，如是第二象限角，是第一象限角； ⑤若角的终边经过点，则角是终边在轴负半轴上的角，故⑤错误． 其中错误的是①③④⑤． 故选C． 【点睛】（1）要证明一个命题为真命题，需要严格的证明；要判断一个命题为假命题，举一个反例就可以了. （2）角的概念的辨析题中，通常可以取特殊角来否定结论. 4．（24-25高一下·山东日照·月考）若、两角的终边互为反向延长线，且，则符合条件的角的一个值可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【难度】0.94 【知识点】轴线角 【分析】直接根据终边互为反向延长线的两角特点计算即可. 【详解】可取. 故答案为：（答案不唯一）. 5．集合中角表示的范围(用阴影表示)是图中的 (填序号)． 【答案】② 【难度】0.94 【知识点】轴线角、找出终边相同的角、确定已知角所在象限 【解析】当取偶数时，确定角的终边所在的象限；当取奇数时，确定角的终边所在的象限，再根据选项即可确定结果． 【详解】集合中， 当为偶数时，此集合与表示终边相同的角，位于第一象限； 当为奇数时，此集合与表示终边相同的角，位于第三象限． 所以集合中角表示的范围为图所示． 故答案为：②. 【点睛】本题考查象限角、轴线角的表示方法，体现了数形结合、分类讨论的数学思想． 题型4 n倍角与n分角所在象限 1．已知，且是第二象限角，那么的终边在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】确定n倍角所在象限、二倍角的余弦公式 【分析】根据象限角和任意角三角函数的概念，以及倍角公式，进行判断即可. 【详解】由是第二象限角， 所以， 所以， 由，所以， 所以为第三象限角. 故选：C 2．的终边在第三象限，则的终边可能在（    ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限或轴非负半轴 D．第三、四象限或轴非正半轴 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】确定n倍角所在象限 【解析】根据题意得出，求出的范围，据此可判断出角的终边的位置. 【详解】由于的终边在第三象限，则， 所以，， 因此，的终边可能在第一、二象限或轴非负半轴. 故选：C. 【点睛】本题考查角的终边位置的判断，一般利用不等式来判断，考查推理能力，属于基础题. 3．（24-25高一下·上海·月考）已知为第三象限角，则所在的象限是（    ） A．第一或第三象限 B．第二或第三象限 C．第二或第四象限 D．第三或第四象限 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】确定n分角所在象限 【分析】用不等式表示第三象限角，再利用不等式的性质求出满足的不等式，从而确定所在的象限. 【详解】由为第三象限角，得, 则, 当，此时在第二象限； 当，此时在第四象限. 故是第二或第四象限角. 故选：C. 4．（24-25高三上·黑龙江佳木斯·月考）已知与210°角的终边关于x轴对称，则是（    ） A．第二或第四象限角 B．第一或第三象限角 C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】找出终边相同的角、确定已知角所在象限、确定n分角所在象限 【分析】用终相同的角写出角的表示，计算，让整数取相邻的整数代入确认． 【详解】由与210°角的终边关于x轴对称，可得， ∴， 取可确定终边在第一或第三象限角. 故选：B． 5．（23-24高三上·上海静安·期末）设是第一象限的角，则所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第三象限 C．第一象限或第三象限 D．第二象限或第四象限 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】确定n分角所在象限 【分析】根据是第一象限的角，求出的范围判断即可得解. 【详解】因为是第一象限的角， 所以，， 所以， 当时，，为第一象限角； 当时，，为第三象限角. 故选：C 6．如果角的终边在第三象限，则的终边一定不在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】由已知角所在的象限确定某角的范围、确定n分角所在象限 【分析】根据角的终边在第三象限，得，即，然后分类讨论，再结合象限角定义可判断. 【详解】∵α为第三象限角，∴， ∴， 令，，时，，， 可得的终边在第一象限； 令，时，，， 可得的终边在第三象限， 令，时，，， ∴可得的终边在第四象限， 故选:B． 7．在第一象限，则在第 象限. 【答案】第一或第二或者y轴正半轴 【难度】0.85 【知识点】确定n倍角所在象限 【分析】根据角的概念及象限角与轴线角即可判断. 【详解】因为在第一象限，所以， 则，故第一或第二象限或者y轴正半轴. 故答案为：第一或第二或者y轴正半轴. 8．已知为第三象限角，则是第 象限角，是 的角． 【答案】 二、四 第一、二象限或轴的非负半轴上 【难度】0.94 【知识点】轴线角、确定n倍角所在象限、确定n分角所在象限 【分析】求出，，即得解. 【详解】是第三象限角，即， ， 当为偶数时，为第二象限角；当为奇数时，为第四象限角； 而的终边落在第一、二象限或轴的非负半轴上. 故答案为：二、四；第一、二象限或轴的非负半轴上. 9．（2025高三·全国·专题练习）如果角是第三象限角，角终边所在的位置是 . 【答案】第一、三、四象限 【难度】0.85 【知识点】确定n分角所在象限 【分析】分、和三种情况讨论即可求解. 【详解】因为， 所以. 当时，； 当时，； 当时，. 综上，的终边在第一、三、四象限. 故答案为：第一、三、四象限. 10．若角的终边落在第三象限，则的终边落在第 象限； 【答案】二或四 【难度】0.85 【知识点】确定n分角所在象限 【分析】根据已知条件写出的范围，求得的范围，再判断其所处象限即可. 【详解】因为角的终边落在第三象限，故可得， 则，其表示第二或第四象限的角度. 故答案为：二或四. 题型5 角度制与弧度制的互化 1．（24-25高一上·江苏常州·月考）化成弧度制是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】角度化为弧度 【分析】由角度，弧度转化公式可得答案. 【详解】由于， 所以 故选：D. 2．（24-25高一下·安徽·月考）将75°化为弧度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】角度化为弧度 【分析】根据角度制与弧度制的互化公式，准确计算，即可求解. 【详解】根据角度制与弧度制的互化公式，可得. 故选：A. 3．（24-25高一上·云南昭通·月考）（多选题）下列转化结果正确的是（    ） A．化成弧度是 B．化成弧度是 C．化成角度是 D．化成角度是 【答案】ABD 【难度】0.94 【知识点】角度化为弧度、弧度化为角度 【分析】根据弧度制和角度制的转化公式求得正确答案. 【详解】对于A：，所以化成弧度是，故A正确. 对于B，，化成弧度是，故B正确. 对于C，化成角度是，故C错误. 对于D，，化成角度是，故D正确. 故选：ABD. 4．（24-25高一上·河南新乡·月考）（多选题）下列说法正确的是（    ） A．化成弧度是 B．化成角度是 C．化成弧度是 D．rad化成角度是 【答案】AB 【难度】0.94 【知识点】角度化为弧度、弧度化为角度 【分析】根据弧度制与角度制的互化计算可得结论. 【详解】对于A，，故A项正确； 对于B，，故B项正确； 对于C，，故C项错误； 对于D，，故D项错误. 故选：AB. 5． 弧度. 【答案】/ 【难度】0.94 【知识点】角度化为弧度 【分析】根据角度与弧度的换算关系，即可求得答案. 【详解】由题意得. 故答案为：. 6．（24-25高一下·上海·期中）我校第一节课从到，在此期间时钟分针转过了 弧度． 【答案】/ 【难度】0.94 【知识点】角度化为弧度 【分析】首先求出转过的角度，再转化为弧度制. 【详解】分针一小时转过，所以从到转过了， 在此期间时钟分针转过了（弧度）. 故答案为： 题型6 求扇形的弧长 1．（25-26高三上·重庆·月考）已知扇形的圆心角为 ，面积为 24 ，则该扇形的弧长为（    ） A．6 B． C．12 D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算 【分析】根据给定条件，利用扇形面积及弧长公式列式求解. 【详解】设扇形半径为，由扇形的圆心角为 ，面积为 24 ，得，解得， 所以该扇形的弧长为. 故选：C 2．（24-25高一下·辽宁葫芦岛·期末）扇形的半径为2，圆心角为，则此扇形弧长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】弧长的有关计算 【分析】根据给定条件，利用弧长公式计算得解. 【详解】扇形的半径为2，圆心角为，则此扇形弧长为. 故选：D 3．（24-25高一上·天津·月考）一扇形的面积为，圆心角大小为，则该扇形的弧长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算 【分析】根据给定条件，利用弧长及扇形面积公式列式求解. 【详解】设该扇形所在圆半径为，则，解得， 所以该扇形的弧长为. 故选：D 4．（25-26高一上·全国·期末）《九章算术》是一部中国古代的数学专著．第一章“方田”主要讲各种形状的田地面积的计算方法，其中将圆环或不足一匝的圆环形田地称为“环田”．书中提到这样一块“环田”：中周九十二步，外周一百二十二步，径五步，如图所示，则其所在扇形的圆心角大小（单位：弧度）为 ．（注：匝，意为周，环绕一周叫一匝） 【答案】6 【难度】0.85 【知识点】弧长的有关计算 【分析】设所在扇形的圆心角为，中周对应的半径为步，则外周对应的半径为步，即，解出即可求解. 【详解】设所在扇形的圆心角为，中周对应的半径为步，则外周对应的半径为步，则，解得， 即所在扇形的圆心角大小为6． 故答案为：6. 5．（24-25高一下·上海嘉定·期末）已知扇形的弧所对的圆心角为，且半径为，则该扇形的弧长为 . 【答案】cm 【难度】0.85 【知识点】弧长的有关计算 【分析】利用弧长公式求解． 【详解】， 故答案为： 6．（2025·山西·三模）如图所示，被动轮和主动轮的两个齿轮相互啮合，被动轮随主动轮的旋转而旋转．主动轮有20齿，被动轮有48齿，主动轮的转速为（转/分），被动轮的半径为，则被动轮周上一点每转过的弧长是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】弧长的有关计算 【分析】把分钟转速转换成秒转速问题，然后借助比例来求出被动轮的转速，最后利用弧长公式求解即可. 【详解】由题意知，主动轮的转速为，则被动轮转过的角度大小为， 所以弧长为 故答案为： 题型7 求扇形的面积 1．（25-26高一上·重庆·期中）若一个扇形的半径为2，圆心角为，则该扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算 【分析】根据题意，利用扇形的弧长和面积公式，即可求解. 【详解】因为一个扇形的半径为2，圆心角为，可得扇形的弧长为， 所以该扇形的面积为. 故答案为：. 2．（25-26高一上·河北保定·月考）已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】扇形面积的有关计算、扇形弧长公式与面积公式的应用 【分析】由扇形的面积公式代入计算，即可得到结果. 【详解】圆心角，由弧长，得， 所以该扇形的面积为． 故选：C. 3．（24-25高一上·四川广安·开学考试）如图，已知点是以为直径的半圆的三等分点，弧的长为，则图中阴影部分的面积为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算 【分析】连接，根据条件求出半径，再分别求出、扇形和的面积即可. 【详解】连接，设和的交点为， 因点是以为直径的半圆的三等分点，则， 因，则，即为等边三角形， 因，则， 因，则四边形为平行四边形， 因，则四边形为菱形，则， 设圆的半径为，则，， 则， 扇形的面积为，， 则图中阴影部分的面积为， 因弧的长为，，则，则图中阴影部分的面积为. 故选：A      4．（25-26高三上·河南濮阳·月考）如图是折扇的示意图，其中，．为的中点，则扇面（图中扇环）部分的面积是 ．    【答案】 【难度】0.85 【知识点】扇形面积的有关计算 【分析】根据，结合扇形面积公式求解. 【详解】由题意可得， 根据扇形面积公式可得 ， 故． 故答案为： 5．（25-26高一上·湖南邵阳·月考）如图，“水滴”是由线段和圆的优弧所围成的封闭图形，其中恰好与圆弧相切．若圆弧所在圆的半径为2，点到圆弧所在圆的圆心的距离为4，则该“水滴”的面积为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】扇形面积的有关计算 【分析】取优弧所在圆的圆心，连接，易得，进而结合扇形的面积公式求解即可. 【详解】如图，取优弧所在圆的圆心，连接， 则，则， 所以，则， 故优弧对应的圆心角为，对应的扇形面积为． 而， 故， 所以该“水滴”的面积为． 故答案为：. 6．（25-26高一上·全国·课前预习）如图，矩形在圆外的面积为，其中圆的半径为整数，则矩形截圆所得的的长为 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算 【分析】根据扇形的面积公式以及弧长公式即可求解. 【详解】设圆的半径为，所以， 所以矩形在圆外的面积，解得， 故的长为． 故答案为： 题型8 扇形中的最值问题 1．若扇形周长为20，当其面积最大时，其内切圆的半径r为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】扇形中的最值问题、扇形弧长公式与面积公式的应用 【分析】先根据扇形周长求解出面积取最大值时扇形的圆心角和半径，然后根据图形中的内切关系得到关于内切圆半径的等式，由此求解出的值. 【详解】设扇形的半径为，圆心角为，面积为，因为， 所以，取等号时，即， 所以面积取最大值时， 如下图所示： 设内切圆圆心为，扇形过点的半径为，为圆与半径的切点， 因为，所以，所以， 所以， 故选：C. 2．已知扇形的周长为，当扇形的面积取得最大值时，扇形的弦长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】扇形面积的有关计算、扇形中的最值问题 【分析】设扇形的半径为，可得出扇形的弧长为，利用二次函数的基本性质可求得扇形面积的最大值，求出对应的的值，进而求出扇形的圆心角的弧度数，然后利用等腰三角形的性质可求出扇形的弦长. 【详解】设扇形的半径为，可得出扇形的弧长为， 所以，扇形的面积为， 当时，该扇形的面积取到最大值，扇形的弧长为，此时， 如下图所示： 取的中点，则，且，因此，. 故选：C. 【点睛】本题考查扇形面积最值的计算，同时也考查了扇形弦长的计算，涉及二次函数基本性质的应用，考查计算能力，属于中等题. 3（21-22高一上·江苏苏州·期末）立德中学拟建一个扇环形状的花坛（如图），该扇环面由以点为圆心的两个同心圆弧和延长后可通过点的两条直线段围成.按设计要求扇环的周长为30米，其中大圆环所在圆的半径为10米，设计小圆环所在圆的半径为米，圆心角为（弧度），当时， 米；现要给花坛的边缘（实线部分）进行装饰，已知直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米，则花坛每平方米的装饰费用的最小值为 元（）. 【答案】 / 【难度】0.65 【知识点】弧长的有关计算、扇形中的最值问题、扇形弧长公式与面积公式的应用、基本（均值）不等式的应用 【分析】由题意可得，，当时，解得，再结合换元法，以及基本不等式的公式，即可求解. 【详解】由题意可得，，解得， 当时，解得， ， 装饰费为 故， 令，， 则， ∵，当且仅当，即，即时，等号成立， ∴的最小值为， 花坛每平方米的装饰费用最小为元. 故答案为：5；. 【点睛】关键点点睛：题意可得，，得是解决本题的关键. 4．若扇形的周长为定值，则当该扇形的圆心角 时，扇形的面积取得最大值，最大值为 . 【答案】 2 【难度】0.65 【知识点】扇形面积的有关计算、扇形中的最值问题 【分析】设扇形的半径为，则，扇形的面积，利用二次函数的性质分析即得解 【详解】设扇形的半径为，则扇形的弧长为 故 扇形的面积 由二次函数的性质，当时，面积取得最大值为 此时， 故答案为：2， 1．（24-25高一下·辽宁·期中）若角，，则符合条件的角的最大负角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】找出终边相同的角 【分析】根据负角可得，从而可求最大负角. 【详解】由，得. 又，所以角符合条件的最大负角为. 故选：B. 2．（24-25高一下·河南驻马店·月考）已知某扇形的面积和周长分别为6，10，则该扇形的圆心角为（   ） A．第一象限角或第三象限角 B．第二象限角或第三象限角 C．第一象限角或第二象限角 D．第三象限角或第四象限角 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】确定已知角所在象限、弧长的有关计算、扇形面积的有关计算、扇形弧长公式与面积公式的应用 【分析】由扇形的周长、面积求得弧长和半径，再由圆心角公式即可求解； 【详解】由条件可得：， 联立消去可得：， 解得或. 当时，，，第二象限的角， 当当时，，，第一象限的角， 故选：C. 3．（23-24高一下·湖北荆州·开学考试）如图，在扇形中，，，则下列说法正确的个数是（ ） ①；          ②的长等于； ③扇形的周长为； ④扇形的面积为. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算 【分析】根据题意，结合角度制与弧度制的互化，以及扇形的弧长与面积公式，逐项判定，即可求解. 【详解】对于①，因为，根据角度制与弧度制的互化，可得，所以①正确； 对于②，由扇形的弧长公式，可得的长度为，所以②正确 对于③，所以扇形的周长为，所以③正确； 对于④，由扇形的面积公式，可得扇形的面积为，所以④正确. 故选：D. 4．（24-25高一上·山东临沂·期末）莱洛三角形是以机械学家莱洛的名字命名，在建筑、商品的外包装设计、工业生产中有广泛的应用，它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点之间画一段圆弧，由这三段圆弧围成的曲边三角形.如图，若莱洛三角形的长为，则该莱洛三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】扇形面积的有关计算 【分析】应用扇形面积公式及三角形面积公式求出弓形面积进而求出莱洛三角形的面积即可. 【详解】因为莱洛三角形的长为， 所以，所以， 则的面积 线段AB与围成的弓形面积 所以“莱洛三角形”的面积 故选：B. 5．（22-23高一下·上海金山·月考）下列说法正确的是（   ） A．角和角是终边相同的角 B．第三象限角的集合为 C．终边在y轴上角的集合为 D．第二象限角大于第一象限角 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】任意角的概念、轴线角、找出终边相同的角、由已知角所在的象限确定某角的范围 【分析】根据角的定义判断． 【详解】，因此的解与角的终边相同，A错； 第三象限角的集合为，B错； 终边在y轴上角，终边可能在轴正半轴，， 终边在轴负半轴，，其中，终合为，C正确； 是第二象限角，是第一象限角，但，D错． 故选：C． 6．（2024高三·全国·专题练习）已知扇形的周长是，当扇形面积最大时，扇形的圆心角的大小为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算、扇形弧长公式与面积公式的应用 【分析】根据弧长公式可得，再由扇形面积表达式以及二次函数最值可得结果. 【详解】由扇形的周长为，设扇形半径为，弧长为， 可得，即， 又， 因此当半径时，扇形的面积最大为， 此时，， 7．（2025高一·全国·专题练习）（多选题）下列说法中正确的是（    ） A．终边在直线上角的集合是 B．若，则为第四象限角 C．若角是第一象限的角，则在第一、二、三象限的角 D．周长为定值的扇形中，面积最大时扇形的半径为 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】找出终边相同的角、确定已知角所在象限、扇形面积的有关计算、基本不等式求积的最大值 【分析】利用终边相同角的集合表示,象限角的表示,弧度制表示角,扇形弧长与面积公式,基本不等式等知识对选项逐一判断即可. 【详解】对于A，终边落在直线上角的集合是， 终边落在直线上角的集合是， 所以终边在直线上角的集合是，A正确； 对于B， ，根据象限角的定义可知，在第三象限，B错误； 对于C，因为角是第一象限的角，所以， 由此可得：， 当时，，位于第一象限； 当时，，位于第二象限； 当时，，位于第三象限； 所以为第一、二、三象限的角，C正确； 对于D，设扇形的半径为，弧长为，由题意可知：， 扇形面积为，、均大于零，则， 即，整理有， 当且仅当时，扇形面积取最大值， 又，此时解得，所以D正确. 故选：ACD. 8．（2024高一下·全国·专题练习）（多选题）已知某扇形的弧长为，圆心角为，则（    ） A．该扇形的半径为 B．该扇形的周长为 C．该扇形的面积为 D．该扇形的面积为 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算、扇形弧长公式与面积公式的应用 【分析】根据扇形的弧长，面积公式计算即可. 【详解】设该扇形所在圆的半径为，弧长为，圆心角为， 则，A正确； 该扇形的周长为， 该扇形的面积为，BC错误，D正确. 故选：AD. 9．（25-26高一上·全国·课前预习）已知扇形的面积为，周长为，则该扇形的面积与其所在圆的面积之比为 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】扇形弧长公式与面积公式的应用 【分析】通过扇形的面积和周长建立方程，求出半径和弧长，再计算扇形面积与圆面积之比. 【详解】设扇形的半径为，弧长为，则，解得，则所求面积之比为． 故答案为：. 10．（24-25高一下·贵州遵义·月考）如图是一扇环形砖雕，可视为扇形截去同心扇形所得部分.已知扇环周长为300cm，大扇形半径，小扇形半径，则    (1)求关于x的函数关系式； (2)若雕刻费用关于x的解析式为，求砖雕面积与雕刻费用之比的最大值. 【答案】(1)； (2). 【难度】0.65 【知识点】扇形弧长公式与面积公式的应用、基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）利用扇形弧长公式计算即可； （2）先计算扇环面积，再化简变形利用基本不等式计算最值即可. 【详解】（1）由题意可知：， 则，即， 又，所以即， 所以； （2）易知大扇形与小扇形的面积分别为：， 所以扇环的面积为， 结合（1）得， 则砖雕面积与雕刻费用之比为， 整理得 ，当且仅当时等号成立， 所以砖雕面积与雕刻费用之比的最大值为5. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.1 角与弧度 题型1 任意角的概念 1．（24-25高一下·贵州安顺·期末）地球绕太阳的轨道称为黄道，而二十四节气正是按照太阳在黄道上的位置来划分的．当太阳垂直照射赤道时定为“黄经零度”，即春分点．从这里出发，每前进15度就为一个节气，从春分往下依次顺延，清明、谷雨、立夏等．待运行一周后就又回到春分点，此为一回归年，共360度．因此分为24个节气，则芒种为黄经（    ） A．60度 B．75度 C．270度 D．285度 2．（24-25高三下·云南临沧·月考）从午夜零时算起，钟的时针和分针一天内重合的次数为（ ） A．次 B．次 C．次 D．次 3．（24-25高一上·上海·期末）经过5分钟，分针的转动角为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·全国·课后作业）（多选题）下列说法正确的是（    ） A．所有的正角都比负角大 B．始边与终边重合的角一定是零角 C．第三象限的角一定大于第二象限的角 D．锐角一定是第一象限角，钝角一定是第二象限角 5．（23-24高一上·江苏宿迁·月考）（多选题）下列说法正确的是（    ） A．锐角都是第一象限角 B．第二象限角都比第三象限角小 C．角与角不等，则两角的终边不同 D．若角与角终边相同，则 6．（23-24高一上·江苏淮安·月考）（多选题）下列说法中正确的是（   ） A．锐角是第一象限角 B．第二象限角为钝角 C．小于的角一定为锐角 D．角与的终边关于轴对称 题型2 终边相同的角 1．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·月考）与角终边相同的角是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·黑龙江大庆·期中）下面与角终边相同的角是（   ） A．25° B． C． D．225° 3．（2025高三·全国·专题练习）与终边相同的最小正角是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·全国·课后作业）下列角中与角的终边相同的是 （填序号）． ①；②；③；④． 5．（24-25高一下·天津·期中）的终边在第 象限． 6．（2025高三·全国·专题练习）已知，若将角的终边顺时针旋转所得的角的终边与角的倍角的终边重合，则角= ． 题型3 轴线角与象限角 1．（25-26高一上·全国·课后作业）终边与坐标轴重合的所有角的集合是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）若角的终边相同，则的终边在（    ） A．x轴的非负半轴上 B．轴的非正半轴上 C．轴的非负半轴上 D．轴的非正半轴上 3．（20-21高一·全国·课后作业）下列说法：①终边相同的角必相等；②锐角必是第一象限角；③小于的角是锐角；④第二象限的角必大于第一象限的角；⑤若角的终边经过点，则角是第三或第四象限角，其中错误的是（    ） A．③④⑤ B．①③④ C．①③④⑤ D．②③④⑤ 4．（24-25高一下·山东日照·月考）若、两角的终边互为反向延长线，且，则符合条件的角的一个值可以是 ． 5．集合中角表示的范围(用阴影表示)是图中的 (填序号)． 题型4 n倍角与n分角所在象限 1．已知，且是第二象限角，那么的终边在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．的终边在第三象限，则的终边可能在（    ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限或轴非负半轴 D．第三、四象限或轴非正半轴 3．（24-25高一下·上海·月考）已知为第三象限角，则所在的象限是（    ） A．第一或第三象限 B．第二或第三象限 C．第二或第四象限 D．第三或第四象限 4．（24-25高三上·黑龙江佳木斯·月考）已知与210°角的终边关于x轴对称，则是（    ） A．第二或第四象限角 B．第一或第三象限角 C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角 5．（23-24高三上·上海静安·期末）设是第一象限的角，则所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第三象限 C．第一象限或第三象限 D．第二象限或第四象限 6．如果角的终边在第三象限，则的终边一定不在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．在第一象限，则在第 象限. 8．已知为第三象限角，则是第 象限角，是 的角． 9．（2025高三·全国·专题练习）如果角是第三象限角，角终边所在的位置是 . 10．若角的终边落在第三象限，则的终边落在第 象限； 题型5 角度制与弧度制的互化 1．（24-25高一上·江苏常州·月考）化成弧度制是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·安徽·月考）将75°化为弧度是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·云南昭通·月考）（多选题）下列转化结果正确的是（    ） A．化成弧度是 B．化成弧度是 C．化成角度是 D．化成角度是 4．（24-25高一上·河南新乡·月考）（多选题）下列说法正确的是（    ） A．化成弧度是 B．化成角度是 C．化成弧度是 D．rad化成角度是 5． 弧度. 6．（24-25高一下·上海·期中）我校第一节课从到，在此期间时钟分针转过了 弧度． 题型6 求扇形的弧长 1．（25-26高三上·重庆·月考）已知扇形的圆心角为 ，面积为 24 ，则该扇形的弧长为（    ） A．6 B． C．12 D． 2．（24-25高一下·辽宁葫芦岛·期末）扇形的半径为2，圆心角为，则此扇形弧长为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·天津·月考）一扇形的面积为，圆心角大小为，则该扇形的弧长为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·全国·期末）《九章算术》是一部中国古代的数学专著．第一章“方田”主要讲各种形状的田地面积的计算方法，其中将圆环或不足一匝的圆环形田地称为“环田”．书中提到这样一块“环田”：中周九十二步，外周一百二十二步，径五步，如图所示，则其所在扇形的圆心角大小（单位：弧度）为 ．（注：匝，意为周，环绕一周叫一匝） 5．（24-25高一下·上海嘉定·期末）已知扇形的弧所对的圆心角为，且半径为，则该扇形的弧长为 . 6．（2025·山西·三模）如图所示，被动轮和主动轮的两个齿轮相互啮合，被动轮随主动轮的旋转而旋转．主动轮有20齿，被动轮有48齿，主动轮的转速为（转/分），被动轮的半径为，则被动轮周上一点每转过的弧长是 ． 题型7 求扇形的面积 1．（25-26高一上·重庆·期中）若一个扇形的半径为2，圆心角为，则该扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·河北保定·月考）已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·四川广安·开学考试）如图，已知点是以为直径的半圆的三等分点，弧的长为，则图中阴影部分的面积为（　　）    A． B． C． D． 4．（25-26高三上·河南濮阳·月考）如图是折扇的示意图，其中，．为的中点，则扇面（图中扇环）部分的面积是 ．    5．（25-26高一上·湖南邵阳·月考）如图，“水滴”是由线段和圆的优弧所围成的封闭图形，其中恰好与圆弧相切．若圆弧所在圆的半径为2，点到圆弧所在圆的圆心的距离为4，则该“水滴”的面积为 . 6．（25-26高一上·全国·课前预习）如图，矩形在圆外的面积为，其中圆的半径为整数，则矩形截圆所得的的长为 ． 题型8 扇形中的最值问题 1．若扇形周长为20，当其面积最大时，其内切圆的半径r为（    ） A． B． C． D． 2．已知扇形的周长为，当扇形的面积取得最大值时，扇形的弦长等于（    ） A． B． C． D． 3（21-22高一上·江苏苏州·期末）立德中学拟建一个扇环形状的花坛（如图），该扇环面由以点为圆心的两个同心圆弧和延长后可通过点的两条直线段围成.按设计要求扇环的周长为30米，其中大圆环所在圆的半径为10米，设计小圆环所在圆的半径为米，圆心角为（弧度），当时， 米；现要给花坛的边缘（实线部分）进行装饰，已知直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米，则花坛每平方米的装饰费用的最小值为 元（）. 4．若扇形的周长为定值，则当该扇形的圆心角 时，扇形的面积取得最大值，最大值为 . 1．（24-25高一下·辽宁·期中）若角，，则符合条件的角的最大负角为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·河南驻马店·月考）已知某扇形的面积和周长分别为6，10，则该扇形的圆心角为（   ） A．第一象限角或第三象限角 B．第二象限角或第三象限角 C．第一象限角或第二象限角 D．第三象限角或第四象限角 3．（23-24高一下·湖北荆州·开学考试）如图，在扇形中，，，则下列说法正确的个数是（ ） ①；          ②的长等于； ③扇形的周长为； ④扇形的面积为. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（24-25高一上·山东临沂·期末）莱洛三角形是以机械学家莱洛的名字命名，在建筑、商品的外包装设计、工业生产中有广泛的应用，它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点之间画一段圆弧，由这三段圆弧围成的曲边三角形.如图，若莱洛三角形的长为，则该莱洛三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高一下·上海金山·月考）下列说法正确的是（   ） A．角和角是终边相同的角 B．第三象限角的集合为 C．终边在y轴上角的集合为 D．第二象限角大于第一象限角 6．（2024高三·全国·专题练习）已知扇形的周长是，当扇形面积最大时，扇形的圆心角的大小为（   ） A． B． C．1 D．2 7．（2025高一·全国·专题练习）（多选题）下列说法中正确的是（    ） A．终边在直线上角的集合是 B．若，则为第四象限角 C．若角是第一象限的角，则在第一、二、三象限的角 D．周长为定值的扇形中，面积最大时扇形的半径为 8．（2024高一下·全国·专题练习）（多选题）已知某扇形的弧长为，圆心角为，则（    ） A．该扇形的半径为 B．该扇形的周长为 C．该扇形的面积为 D．该扇形的面积为 9．（25-26高一上·全国·课前预习）已知扇形的面积为，周长为，则该扇形的面积与其所在圆的面积之比为 ． 10．（24-25高一下·贵州遵义·月考）如图是一扇环形砖雕，可视为扇形截去同心扇形所得部分.已知扇环周长为300cm，大扇形半径，小扇形半径，则    (1)求关于x的函数关系式； (2)若雕刻费用关于x的解析式为，求砖雕面积与雕刻费用之比的最大值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $