精品解析：吉林省长春市第七中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题

长春七中2025－2026学年度上学期期中考试 高一数学试卷 命题人：张绍鹏 审题人：张绍鹏 一、单选题 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次不等式和分式不等式的解法，求得集合，结合集合并集的概念与运算，即可求解. 【详解】由不等式，解得，即， 又由不等式，解得，即， 所以. 故选：C. 2. 已知，则的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用全称量词命题与存在量词命题的关系，准确改写，即可求解. 【详解】因为全称量词命题的否定为存在量词命题， 可得命题的否定为：. 故选：C. 3. 设，则“”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用一元二次不等式、分式不等式、绝对值不等式的解法结合充分条件、必要条件的定义分析选项即可. 【详解】由，所以“”是“”的充分不必要条件，故A正确； 由，所以“”是“”的充要条件，B错误； 由，所以“”是“”的既不充分也不必要条件， C错误； 由，所以“”是“”的必要不充分条件，D错误. 故选：A. 4. 已知，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】将目标式子变形，然后根据基本不等式求解即可. 【详解】由得，， 当且仅当即时，等号成立，故的最小值为． 故选：C. 5. 如果，那么下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】选项A：因为，所以，故A错误； 选项B：因为，所以，故B正确； 选项C：因为，所以，故C错误； 选项D：因为，所以，故D错误. 故选：B 6. 若定义在上的函数是单调递减函数，且，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的定义域及其单调性，结合已知不等式求参数范围. 【详解】由题意，则，可得. 故选：C 7. 函数，若对任意，都有成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知是减函数，结合分段函数单调的条件求解． 【详解】因为对任意，都有成立，所以是上的减函数， 则，解得， 即实数a的取值范围为． 8. 已知函数是定义在上的偶函数，对任意，，且，都有，且，则不等式的解集为（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知及偶函数的对称性有在上单调递增，在上单调递减，且，不等式化为，应用分类讨论及偶函数的区间单调性列不等式求解集. 【详解】由题意在上单调递减，又在R上为偶函数， 所以在上单调递增，且， 由， 所以或，则或， 结合的区间单调性知，或，可得或， 所以不等式的解集为. 故选：D 二、多选题 9. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据对数运算计算并判断A，C，D，应用指数运算计算并判断B. 【详解】对于A：，A选项正确； 对于B：，B选项错误； 对于C：，C选项正确； 对于D：，D选项正确； 故选：ACD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数与是同一个函数 B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 若集合，，则 D. 函数的单调递增区间为 【答案】BD 【解析】 【分析】由同一函数的定义域和对应法则相同判断A，由抽象函数的定义域求法判断B，解分式及一元二次不等式求集合判断C，由二次函数、指数函数的性质及复合函数单调性判断D. 【详解】A：由的定义域为R，的定义域为，不是同一函数，错， B：由的定义域为，对于有，则定义域为，对， C：由，则， 由，则，显然，错， D：由，在上单调递减，在上单调递增， 而在定义域上单调递增，故的单调递增区间为，对. 故选：BD 11. 已知定义在上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①；②，当时，都有；③．则下列选项成立的是（ ） A. B. 成立的充要条件是 C. 若，则 D. ，使得 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题设条件依次判断函数的奇偶性和单调性，结合选项要求利用函数的单调性、图象对称性和最值分析逐一判断即可． 【详解】定义在上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件： ①，，说明函数是偶函数； ②，当时，都有，则函数在上是增函数； ③． 对于A，成立，故A错误； 对于B，因， 解得，故B正确； 对于C，由①得是定义在上的偶函数，则，又函数在是增函数， 所以当或时，；当时，， 则等价于或 可得，故C错误； 对于D，因为函数是连续函数，又是偶函数，在时是增函数， 即是函数的最小值，则，，使得，故D正确． 故选：BD． 三、填空题 12. 已知函数则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据函数解析式，求出，再求出. 【详解】因为，所以， 又，所以， 故答案为：2. 13. 函数的单调递减区间为______． 【答案】 【解析】 【分析】令，根据定义域，可得x的范围，根据二次函数的性质，可得的单调区间，根据复合函数单调性“同增异减”的原则，分析即可得答案. 【详解】令，由题意得，解得， 且为开口向下，对称轴为的抛物线， 所以当时，单调递增， 当时，单调递减， 因为为单调递减函数，根据复合函数单调性“同增异减”的原则， 所以的单调递减区间为. 故答案为： 14. 已知函数的值域是，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】对复合函数进行拆分，由外函数值域得出内函数值域，再通过讨论参数，列出不等式求得参数范围. 【详解】令，则， 要使得的值域为R，则函数的值域满足， 当时，即函数开口向上，且最小值小于等于0， ， 当时，满足题意， 综上所述：. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知集合. （1）若，求； （2）若，求的取值集合. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据两个集合相等得出一元二次方程有两个实数根代入联立方程组解出检验即可； （2）由，分与讨论分析即可. 【小问1详解】 若，则和是方程的两个实数根， 所以， 解得，代入中得：， 解得：或，满足， 所以. 【小问2详解】 当时，，满足， 当且时，或， 当时，， 当时，， 故的取值构成的集合为. 16. 已知函数，其中. （1）判断的奇偶性； （2）用定义证明：在上单调递增； （3）若当时，，求的取值范围. 【答案】（1）奇函数 （2） 任取， 又，即 ， 故在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）利用奇偶函数的定义即可判断； （2）利用单调性的定义即可证明； （3）由（2）知，在上单调递增，当时，的最小值为，只要，解不等式即可得. 【小问1详解】 的定义域为，且， 是奇函数. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，，即的最小值大于或等于. 由（2）知，在上单调递增， 当时，的最小值为. ，又， 即，解得， 即的取值范围是. 17. 如图所示，学校要围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙时需要维修），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为的出入口，已知旧墙的维修费用为56 元，新墙的造价为200元，设利用旧墙的长度为（单位：），修建此矩形场地的总费用为（单位：元）. （1）求关于的函数表达式； （2）当时，求总费用； （3）试确定的值，使修建此矩形场地的总费用最小，并求出最小总费用. 【答案】（1） （2） （3），最小总费用是12200元 【解析】 【分析】（1）总费用包括维修费用和新墙费用，旧墙长度为，新墙长度为，乘单价后相加得到总费用； （2）将代入，得到的值； （3）由基本不等式求得最值. 【小问1详解】 设利用旧墙的长度为，则另一边长为， 所以新墙总长度为， 则 ， 故. 【小问2详解】 由（1）知，， 所以当时，. 【小问3详解】 因为，所以，由基本不等式有， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故当利用旧墙的长度为时，修建此矩形场地的总费用最小，最小总费用是12200元. 18. 已知定义在上的函数，对任意的，恒有，且时，． （1）求的值； （2）判断在上的单调性并证明； （3）解不等式：． 【答案】（1） （2） 在上为减函数，证明如下： 设， 则， 因为， 所以， 所以，即在上为减函数； （3） 【解析】 【分析】（1）令，代入计算即可； （2）根据，结合函数单调性定义证明即可； （3）由，结合（2）中的结论列不等式组求解即可. 【小问1详解】 令，则， 故； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ，所以， 因此 因此，解得， 所以，不等式的解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春七中2025－2026学年度上学期期中考试 高一数学试卷 命题人：张绍鹏 审题人：张绍鹏 一、单选题 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 设，则“”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 5. 如果，那么下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 若定义在上的函数是单调递减函数，且，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 7. 函数，若对任意，都有成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数是定义在上的偶函数，对任意，，且，都有，且，则不等式的解集为（ ）. A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数与是同一个函数 B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 若集合，，则 D. 函数的单调递增区间为 11. 已知定义在上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①；②，当时，都有；③．则下列选项成立的是（ ） A. B. 成立的充要条件是 C. 若，则 D. ，使得 三、填空题 12. 已知函数则__________. 13. 函数的单调递减区间为______． 14. 已知函数的值域是，则实数的取值范围是__________. 四、解答题 15. 已知集合. （1）若，求； （2）若，求的取值集合. 16. 已知函数，其中. （1）判断的奇偶性； （2）用定义证明：在上单调递增； （3）若当时，，求的取值范围. 17. 如图所示，学校要围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙时需要维修），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为的出入口，已知旧墙的维修费用为56 元，新墙的造价为200元，设利用旧墙的长度为（单位：），修建此矩形场地的总费用为（单位：元）. （1）求关于的函数表达式； （2）当时，求总费用； （3）试确定的值，使修建此矩形场地的总费用最小，并求出最小总费用. 18. 已知定义在上的函数，对任意的，恒有，且时，． （1）求的值； （2）判断在上的单调性并证明； （3）解不等式：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $