第22章 二次函数 复习题--二次函数的图像与系数、不等式、对称性和最值 2025-2026学年人教版九年级数学上册

第22章《二次函数》复习题--二次函数的图像与系数、不等式、对称性和最值 题型一：二次函数的图像和性质 1．在平面直角坐标系中，对于二次函数y=-2（x-2）2+1，下列说法中错误的是（　　） A．y的最大值是1 B．图象的顶点坐标为，对称轴为直线 C．它的图象可以由向右平移两个单位长度，再向上平移1个单位长度得到 D．当时，y随x的增大而减小． 2．在同一平面直角坐标系中，画函数的图象，它们图象的共同特点是（    ） A．都是关于轴对称，抛物线开口向上 B．都是关于轴对称，抛物线的顶点都是原点 C．当时，随的增大而增大 D．抛物线的顶点都是原点，顶点是抛物线的最低点 3．如图，抛物线与交于点，过点作轴的平行线，分别交两条抛物线于点，则以下结论： ①无论取何值，的值总是正数；②；③当时，；④． 其中正确结论是（    ） A．①② B．②③ C．①③④ D．①④ 题型二：二次函数的图像和性质 4．关于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．顶点坐标是 B．对称轴是直线 C．抛物线有最高点 D．抛物线与轴有两个交点 5．关于二次函数，下列说法中正确的是（　　） A．函数图象的对称轴是直线 B．函数的有最小值，最小值为 C．点在函数图象上，当时， D．函数值y随x的增大而增大 6．在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图象顶点在轴上，当图象经过点，时，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 题型三：二次函数图像和系数的关系 7．对称轴为直线的抛物线(a，b，c为常数，且)如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤(m为任意实数)，⑥当时，y随x的增大而增大．其中结论正确的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③若实数，则；④若，则，其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．已知二次函数（）与x轴的一个交点为，其对称轴为直线，其部分图象如图所示，有下列5个结论：①，②；③；④若关于x的方程有两个实数根，且满足，则，；⑤直线（）经过点，则关于x的不等式的解集是．其中正确结论的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 题型四：一次函数与二次函数的交汇问题 10．如图，平面直角坐标系中，抛物线与直线交于，两点，则二次函数的图象可能是（   ） A．B．C．D． 11．一次函数与二次函数在同一直角坐标系中的图象可能是（    ） A．B． C． D． 12．如图，在同一坐标系中，二次函数与一次函数的图像大致是（    ） A． B． C． D． 题型五：二次函数的对称性问题 13．若抛物线与x轴只有一个交点，且过点，，则n的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 14．点，是抛物线上的两点，则该抛物线的顶点可能是（   ） A． B． C． D． 15．若二次函数的图象经过、、、、，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 题型六：二次函数的最值问题 16．在平面直角坐标系中，二次函数（m为常数）的图象经过，其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有（    ） A．最大值 B．最大值7 C．最小值 D．最小值7 17．已知一次函数，当时，，若的最小值为2，则m的值为（    ） A． B．2 C． D．4 18．已知二次函数，当时，函数有最小值，则b的值为（    ） A．或 B．或 C． D．或 题型七：二次函数的最短路径问题 19．如图，抛物线与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点是对称轴上的一个动点，连接，，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 20．如图，在抛物线上有，两点，其横坐标分别为1，2；在轴上有一动点，当最小时，则点的坐标是（    ） A．（0.0） B．（0，） C．（0，2） D．（0，） 21．已知抛物线具有如下性质：抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离相等，点M的坐标为（3，6），P是抛物线上一动点，则△PMF周长的最小值是（   ） A．5 B．9 C．11 D．13 题型八：二次函数的平移问题 22．将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是（　　） A． B． C． D． 23．将二次函数图象向右平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是，原函数的解析式是（       ） A． B． C． D． 24．（将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的表达式为（    ） A． B． C． D． 题型九：二次函数与一元二次方程 25．二次函数的图象过点，方程的解为（　　） A．， B．， C．， D．， 26．已知抛物线上部分点的横坐标x纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 3 0 0 3 … ①抛物线的开口向下；②抛物线的对称轴为直线；③方程的根为0和2；④当时，x的取值范围是或以上结论中其中的是（   ） A．①④ B．②④ C．②③ D．③④ 27．已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，以下结论中：①；②；③；④若t为任意实数，则有；⑤若图象经过点时，方程的两根为（），则，其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．②③⑤ C．②③④⑤ D．②③④ 题型十：二次函数和不等式问题 28．如图为二次函数图象的一部分，与x轴的一个交点为，对称轴为直线．当时，x的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 29．如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于x的不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C． D． 30．如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于点A，，结合图象，判断下列结论：①当时，；②是方程的一个解；③时，函数有最大值；④对于抛物线，当时，的取值范围是.其中正确结论的个数是（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型十一：二次函数的综合应用 31.如图，在平面直角坐标系中，抛物线过，两点． (1)求抛物线的表达式． (2)记抛物线与y轴的交点为D，求的面积． (3)点M在抛物线的对称轴上，当M的坐标为多少时周长最小？ 32.已知二次函数的图象与y轴相交于点． (1)若，求该二次函数的最小值； (2)若，点都在该函数的图象上，比较和的大小关系； (3)若点都在该二次函数图象上，分别求的取值范围 33.在平面直角坐标系中，点在抛物线上． (1)直接写出抛物线的对称轴； (2)抛物线上两点，，且，． ①当时，直接写出，的大小关系； ②若对于，都有，直接写出的取值范围． 34.在平面直角坐标系中，点，在抛物线上． (1)当时，求抛物线的对称轴； (2)若抛物线经过点，当自变量x的值满足时，y随x的增大而增大，求a的取值范围； (3)当时，点，在抛物线上．若，请直接写出m的取值范围． 参考答案 题型一：二次函数的图像和性质 1.D 【详解】解：二次函数y=-2（x-2）2+1，， ∴该函数的图象开口向下，对称轴为直线，顶点为，当时，y有最大值1，当时，y的值随x值的增大而减小，当时，y的值随x值的增大而增大； 故选项A、B的说法正确，D的说法错误； 根据平移的规律，的图象向右平移2个单位长度得到，再向上平移1个单位长度得到y=-2（x-2）2+1； 故选项C的说法正确， 故选：D． 2．B 【详解】解：在同一平面直角坐标系中，画函数的图象，如图， A、三个函数的图象都是关于轴对称，函数和的图象开口向上，函数的图象开口向下，故此选项说法错误，不符合题意； B、三个函数的图象都是关于轴对称，抛物线的顶点都是原点，故此选项说法正确，符合题意； C、函数和，当时，随的增大而增大；函数，当时，随的增大而减小，故此选项说法错误，不符合题意； D、三个函数的图象的顶点都是原点，函数和的图象的顶点是最低点，函数的图象的顶点是最高点，故此选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 3．D 【详解】解：①∵抛物线开口向上，顶点坐标在x轴的上方， ∴无论取何值，的值总是正数，故本结论正确； ②把代入抛物线， 得，解得，故本结论错误； ③由两函数图象可知，抛物线解析式为， 当时，， 故，故本结论错误； ④∵与交于点 ∴的对称轴为的对称轴为，的对称轴为的对称轴为， ∴，， ∴，， ∴， 故本结论正确． 故答案为：①④． 题型二：二次函数的图像和性质 4．B 【详解】解：， 则抛物线的顶点坐标为：，故A错误，不符合题意； 函数的对称轴为直线，故B正确，符合题意； ，故抛物线开口向上，函数有最低点，故C错误，不符合题意； 由知，抛物线与轴有一个交点，故D错误，不符合题意， 故选：B． 5．C 【详解】解：∵， ∴对称轴为，故A不正确； 函数有最大值，最大值为，故B不正确 当，y随x的增大而增大，当，y随x的增大而减小，故D不正确； 当时，，故C正确． 故选：C． 6．C 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数顶点坐标为， ∵顶点在轴上， ∴， ∴， ∴二次函数解析式为， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远函数值越大， ∵二次函数图象经过点，时，， ∴， ∴， 故选：C． 题型三：二次函数图像和系数的关系 7．A 【详解】解：①由图象可知：，， ∵， ∴， ∴，故①错误； ②∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， ∴，故②正确； ③∵抛物线与轴的一个交点在与0之间，对称轴为直线， ∴另一个交点在到之间， ∴当时，，故③错误； ④当时，， ∴，故④正确； ⑤当时，y取到值最小，此时，， 而当时，， ∴ ， 故，即，故⑤正确， ⑥当时，y随x的增大而减小，故⑥错误， 所以，正确的结论有：②④⑤，共3个 故选：A． 8．C 【详解】解：①函数图象开口方向向上， ； 对称轴在轴右侧， 、异号， ， ∵抛物线与轴交点在轴负半轴， ， ，故①错误； ②二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线， ， ， 时，， ， ， ，故②正确； ③对称轴为直线，， 最小值， ∵， ∴， ∴， 故③正确； ④， ∴根据抛物线与相应方程的根与系数的关系可得， ， ， ， ， ， ， 故④正确； 综上所述，正确的有②③④， 故选：C 9．B 【详解】解：由题意知，图象开口向下，即， 对称轴为直线，则， ∴， 当时，， ∴，①正确，故符合要求； 图象与轴有两个交点，则有两个不相等的实数根，即，②错误，故不符合要求； 将代入得，，③正确，故符合要求； 由题意知，关于对称轴对称的点坐标为， ∵关于x的方程的两个实数根，为图象交点的横坐标，如图1， 由图象可知，，；④正确，故符合要求； ∵， ∴过点，如图2， ∴关于x的不等式，即的解集为，⑤正确，故符合要求； ∴正确结论的个数为4个， 故选：B． 题型四：一次函数与二次函数的交汇问题 10．A 【详解】解：∵抛物线与直线交于，两点，点M，N在第二象限， ∴方程有两个不等的实数根，且两个根都是负数， 即方程有两个不等的负实数根， ∴二次函数的图象与x轴有两个交点，且交于x轴的负半轴． 故选：A 11．B 【详解】解：A、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不符合题意； B、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项符合题意； C、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不符合题意； D、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不符合题意． 故选：B． 12．D 【详解】解：A、由抛物线可知，，由直线可知，，不一致； B、由抛物线可知，，由直线可知，，一致；都过点，不一致； C、由抛物线可知，，由直线可知，，不一致； D、由抛物线可知，，过点，由直线可知，，过点，一致，正确； 故选：D． 题型五：二次函数的对称性问题 13．A 【详解】解：抛物线过点、， 对称轴是直线， 又抛物线与轴只有一个交点， 顶点为， 设抛物线解析式为， 把代入，得： ， 即． 故选：A． 14．B 【详解】解：∵A、B两点纵坐标相同， ∴A、B两点关于抛物线的对称轴对称，对称轴为直线， 故选项C、D可排除； ∵顶点的纵坐标不可能是3， ∴选项A可排除； ∴顶点只可能是选项B中的坐标； 故选：B． 15．B 【详解】解：经过、， 二次函数的对称轴， 点离对称轴比点离对称轴远， 、、与对称轴的距离最远，最近， ， ∴； 故选：B． 题型六：二次函数的最值问题 16．B 【详解】解：∵二次函数（为常数）的图象经过点， ∴， 解得：或， ∵对称轴在轴的左侧， ∴， 解得：， ∴， ∴二次函数， ∴该二次函数图象开口向下，有最大值7， 故选：B． 17．D 【详解】解：当时，，，当，， ， 当时，，，当，， ， 的最小值为2， 最小值为， ， 当时，取得最小值，即， ， 由题意知，所以， 当时，，，不符合题意舍去， 当时，，满足题意， 故选：D 18．A 【详解】解：∵， 又∵当时，函数有最小值， ∴当时，即时，当时，函数有最小值， ∴， 解得：， ∴， 当时，即时，当时，函数有最小值， ∴， 解得：； 当时，即时，当时，函数有最小值， ∴， 解得：（舍去）， 综上，当时，函数有最小值，b的值为或． 故选：A． 题型七：二次函数的最短路径问题 19．D 【详解】解：如图所示，设抛物线与轴的另一个交点为，连接，， ∵，令， 即， 解得：， ∴, 令，解得， ∴， ∵点是对称轴上的一个动点， ∴， ∵ ∴当三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 即， 故选：D． 20．D 【详解】解：如图，点A关于y轴的对称点A′的横坐标为﹣1， 连接A′B与y轴相交于点C，点C即为使AC+BC最短的点， 当x＝﹣1时，y＝﹣1， 当x＝2时，y＝﹣4， 所以，点A′（﹣1，﹣1），B（2，﹣4）， 设直线A′B为 当x=0时，y=-2 即C（0，-2） 故选D 21．C 【详解】解：如图所示过点P作PE⊥x轴于点E， ∵抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离相等， ∴PE=PF， ∴△PMF的周长=FM+PM+PF， ∴要使△PMF周长最小，则PM+PF最小，即PM+PE最小， ∴当P、M、E三点共线时，PM+PE的值最小，最小为ME， ∵M坐标为（3，6）， ∴ME=6， ∴PF+PM=6 ∵F（0，2）， ∴ ∴△PMF周长的最小值=ME+FM=6+5=11， 故选C． 题型八：二次函数的平移问题 22．C 【详解】将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是． 故选C． 23．A 【详解】解：将二次函数的图象向左平移1个单位长度，则原函数的解析式是， 故选：A． 24．B 【详解】将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的表达式为． 故选B． 题型九：二次函数与一元二次方程 25．B 【详解】解：抛物线的对称轴为直线 抛物线与x轴的一个交点坐标为，所以抛物线与x轴的另一个交点坐标 ∴方程的解为， 故选：B． 26．D 【详解】解：抛物线的解析式为， 将、、代入得： ， 解得：， 抛物线的解析式为， 由知抛物线的开口向上，故①错误； 抛物线的对称轴为直线，故②错误； 当时，，解得或， 方程的根为0和2，故③正确； 当时，，由函数图象解得或，故④正确； 故选：D． 27．D 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， 即， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在x轴下方， ∴， ∴，所以①错误； ∵物线与x轴有2个交点， ∴，所以②正确； ∵时，， ∴， 而， ∴， ∵， ∴，所以③正确； ∵时，y有最小值， ∴（t为任意实数）， 即，所以④正确； ∵图象经过点时，方程的两根为， ∴二次函数与直线的一个交点为， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴二次函数与直线的另一个交点为， 即， ∴，所以⑤错误． 故选：D． 题型十：二次函数和不等式问题 28．C 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴的一个交点为，对称轴为直线． ∴二次函数的图象与x轴的另一个交点为， ∴当时，x的取值范围是． 故选：C 29．A 【详解】∵抛物线与直线交于，， ∴不等式为：或， 故选：． 30．C 【详解】解：①∵直线与抛物线相交于点A，B， ∴由图象可知：当时，直线在抛物线的上方， ∴，即①正确； ②由图象可知：抛物线与x轴有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根． ∴是方程的一个解，即②正确； ③将点代入得：，解得：， 将点代入得：，解得：， ∴函数为：， ∴时，函数有最大值；即③正确． ④由③可得抛物线的解析式为：， ∴当时，有最小值， ∵ ∴由函数图象可知：当时，有最大值5， ∴当时，的取值范围是，即④错误． 综上，正确的有3个． 故选：C． 题型十一：二次函数的综合应用 31.（1）解：由题意得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：连接，如图所示： 当时，， 故点的坐标为， ，两点的纵坐标相同， 轴， 点到的距离为， ． （3）解：∵，，， ∴关于对称轴对称， ∴连接，与对称轴的交点即为点M，连接， 此时周长最小， ∵， ， 设的解析式为， 把和分别代入， 得出， 解得， ∴的解析式为， 令，则， ∴． 32.（1）解：∵二次函数的图象与轴相交于点， ∴． 又， ∴二次函数为． 又， ∴当时，取最小值为． （2）∵， ∴对称轴直线． ， ∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越小． 又， ． （3）由题意得，①，②， ∴得，， 则； 得，， 则，可得或(舍去)． 综上可得，． 33.（1）解：在抛物线中，令，则， 即抛物线与y轴的交点， 故点与点关于抛物线对称轴对称， 而，则抛物线对称轴为直线； （2）解：①当时，，， ； ， 即， ， ； ②设点P关于直线的对称点为， 则，即； ， ； 而， 则． ， ， 故当或时，， 解得：或． 34.（1）解：∵，为抛物线上的对称点， ∴， 抛物线的对称轴； （2）解：∵过，， ∴，，， ∴对称轴． ①当时， ∵时，y随x的增大而增大， ∴，， ∴． ②当时， ∵时，y随x的增大而增大， ∴，， ∴， 综上：a的取值范围是或； （3）解：∵点在抛物线上， ， ∵点，在抛物线上， ∴对称轴为直线， ①如图所示：   ， 且， ； ②如图所示：    ， ， ， 综上所述，m的取值范围为或． 学科网（北京）股份有限公司 $