精品解析：甘肃省武威市凉州区清水镇九年制学校2025-2026学年上学期期中考试八年级数学试卷

2025~2026学年度第一学期期中阶段调研八年级数学 注意事项； 1．本试卷共6页，满分120分，时间120分钟，学生直接在试题上答卷； 2．答卷前将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. 3，4，8 B. 5，6，11 C. 2，2，3 D. 10，5，5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形三边的关系，即任意两边之和大于第三边.通过计算各选项中线段的长度和，判断是否满足条件. 根据三角形的三边关系来逐一进行判断求解. 【详解】解： A.因为，所以不能组成三角形，故此项不符合题意； B.因为，所以 不能组成三角形，故此项不符合题意； C.因为，所以能组成三角形，故此项符合题意； D.因为，所以不能组成三角形，此项不符合题意. 故选：C. 2. “一片甲骨惊天下”，甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟的文字系统，是汉字的源头，中华优秀传统文化的根脉．下列甲骨文图画中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故A不符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．是轴对称图形，故C符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：C． 3. 在中，若，，则为（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理和三角形的分类，熟练掌握三个角都是锐角的三角形是锐角三角形是解题的关键． 根据三角形内角和定理求出的度数，再根据三角形的分类即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴、、都小于， ∴为锐角三角形， 故选：A． 4. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了关于轴对称的点的特征，熟练掌握关于轴对称的两个点横坐标互为相反数，纵坐标相等是解题的关键．根据关于轴对称的点的特征即可求解． 【详解】解：点关于轴对称点的坐标是， 故选：C． 5. 如图，已知，从下列条件中补充一个条件后，仍不能证明的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，全等三角形的判定定理有，，，（直角三角形还有）．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．由全等三角形的判定方法，即可判断． 【详解】解：， ， 为公共边， 、由判定，故不符合题意； 、由判定，故不符合题意； 、和，分别是和的对角，不能判定，故符合题意； 、由判定，故不符合题意． 故选：． 6. 如图，在中，，，的平分线交于点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的性质，角平分线的定义，等角对等边，由三角形内角和定理可得，又平分，则，通过直角三角形性质可得，最后通过等角对等边即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 7. 如图，在中，平分交于点，，过点作交于点，延长至点，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，平行线的性质． 根据题意证明得出，根据邻补角互补得出,根据三角形内角和定理得出，进而根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 8. 如图，在中，为内一点，过点的直线分别交，于点，，连接，，，．若点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，由线段垂直平分线的性质得，，即得，，再根据角的和差关系即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上， ∴，， ∴，， ∴， 故选：． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是______命题．（填“真”或“假”） 【答案】真 【解析】 【分析】先写出原命题的逆命题，然后判断真假即可． 【详解】解：命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是：“两个锐角互余的三角形是直角三角形”，这是真命题， 故答案为：真． 【点睛】本题主要考查了判断命题真假，写出一个命题的逆命题，三角形内角和定理，正确写出原命题的逆命题是解题的关键． 10. 如图，在中，，平分交于点D，，垂足为E，若，则的长为________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线上的点到角的两边距离相等是解题的关键．根据角平分线的性质定理即可解答． 【详解】解：∵平分，，， ∴， 故答案为：4． 11. 如图，工人在某施工现场作业，地面上有一个长为米的梯子斜靠在墙上，梯子底端与地面的交点为C，梯子与墙面的交点为M，此时梯子的倾斜角为（即），如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，梯子与墙面的交点为N，此时梯子的倾斜角为（即），若连接，那么的长是________米． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，理解题意，熟练掌握相关知识是解题关键． 证明三角形为等边三角形，然后由等边三角形的性质即可获得答案． 【详解】解：根据题意，米， ， ， ∴为等边三角形， 米， 故答案为：． 12. 如图，在中，平分交于点，于点，若，，则的度数是 ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角的相关运算，涉及角的平分线、三角形内角和与垂直的性质，先利用直角得到的度数，再依次得到、的度数，再根据角平分线得到的度数，最后利用三角形内角和求得结果． 【详解】解：，，， ， ， ． 平分， ， ． 故答案为：． 13. 如图，在和中，，点在同一条直线上，且，，，，，则的长为___________． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决本题的关键． 根据、，利用直角三角形两锐角互余的性质得出，利用即可证明，即可得出，，即可求出，进而可得答案． 【详解】解：，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ． 故答案为：18． 14. 如图，等边与关于直线对称，且的边长为3，为线段上一动点，则的最小值是___________． 【答案】6 【解析】 【分析】此题考查了等边三角形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定及性质，最短路径问题，正确掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据等边三角形的性质及轴对称的性质得到，，证明，得到，推出当A、D、三点共线时，最小，此时，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接， 由对称性质可知，， ∴， ∴． ， ∴． ∴． ∴， ∴当A、D、三点共线时，最小，此时． 故答案为：6． 三、解答题（共12小题，计78分，解答应写出过程） 15. 在中，若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题关键． 利用已知条件，得出，根据三角形内角和定理得，代入求解即可． 【详解】， ， ， ， ． 16. 如图，在中，，点在边上，连接．若，求证：是等边三角形． 【答案】 证明：， 为等腰三角形， 又， ， 是等边三角形． 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定，根据有一角是的等腰三角形是等边三角形即可求证． 【详解】略 17. 在中，，且，，若为等腰三角形，求a的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与三角形三边关系，熟练掌握相关概念是解题关键． 先根据三角形三边关系求出的取值范围，再根据等腰三角形的性质分情况讨论，判断每种情况是否成立即可． 【详解】由三角形三边关系得：， ， ， 当时，，解得，（不合题意舍去）， 当时，，解得， 的值为． 18. 如图，某市区南北走向的解放路，龙潭路与东西走向的人民路交汇于B，C两点，现想建造一加油站P，使得加油站到三条公路的距离相等．请你用所学的知识确定P点的位置（用直尺、圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】 解：P点的位置如图所示： 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的判定，角平分线的尺规作图，理解题意：加油站P，使得加油站到三条公路的距离相等，且结合到角两边距离相等的点在角的平分线上，即作出的角平分线，它们交于一点，即为点P，进行作答． 【详解】略 19. 如图，在和中，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 先得到，再由证明，即可得到． 【详解】略 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别是．在图中画出关于x轴对称的，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F，并写出点F的坐标． 【答案】 解：如图，即为所求，由图可知：． 【解析】 【分析】本题考查坐标与轴对称，根据轴对称的性质，画出，进而写出点的坐标即可，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键． 【详解】略 21. 如图，为的中线，为的角平分线． （1）若，求的度数． （2）若的面积为30，，则点A到边的距离为多少？ 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中线、角平分线、三角形的面积公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据角平分线的定义即可求解； （2）根据中线的定义得到，再利用三角形面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：∵为的角平分线，， ∴； 【小问2详解】 解：∵为的中线，， ∴， 设点A到边的距离为， ∵， ∴， 解得， ∴点A到边的距离为6． 22. 如图①，某景观区建有一个四叶草形生态水池及一座雕塑，水池内建有观景台，在观景台上安装了一盏广角灯（点D），，是两条通往观景台的步行道．小梧从该景区了解到，为了凸显景观的层次感和立体感，达到理想的光影效果，要求．于是他利用身边仅有的一个卷尺根据现场条件进行测量，所得数据如表所示． 所测量的量 长度（） 15 15 17 17 6 24 小梧将示意图抽象成图②的几何图，E在上，F在上，连接．请根据所测得的数据，判断该广角灯的位置是否符合要求？（即根据测量数据判断是否成立） 【答案】该广角灯的位置符合要求 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，理解题意是解题的关键．证明，再利用全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：由题意得，，，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴该广角灯的位置符合要求． 23. 如图，在△ABC中，，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF//BC交AB于点F． （1）若，求∠BAD的度数； （2）求证：点F在BE的垂直平分线上． 【答案】（1） （2） 证明：∵BE平分∠ABC， ∴， ∵EF//BC， ∴， ∴， ∴． ∴点F在BE的垂直平分线上． 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形的等边对等角可求得∠ABC的度数，再由三线合一的性质及直角三角形两锐角互余即可求得结果； （2）由角平分线珠定义及平行线的性质可得，即有FB=FE，再由线段垂直平分线的判定定理即可证得． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 略． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定定理，掌握这两个知识是解决问题的关键． 24. 如图，在中，，垂足分别为，点在的延长线上，点在线段，且，连接． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1） 证明：、 ， ， ， 在和中 ； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题的关键． （1）由余角的性质得到，根据三角形全等的判定定理即可得证； （2）根据全等三角形的性质得：，根据余角的性质得到，进而得出是等腰直角三角形，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得， ，， , , , 即， 又， 是等腰直角三角形， ． 25. 已知：如图，在中，，，是角平分线，与相交于点F，，，垂足分别为M，N． （1）求证：F在的角平分线上； （2）求证：． 【答案】（1） 证明：连接，作于点， ∵是角平分线，与相交于点F，，， ∴， ∴， ∴F在的角平分线上； （2） ∵， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查角平分线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）作于点，根据角平分线的性质，推出，即可得证； （2）证明，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 26. 【问题提出】 （1）如图1，为等边三角形，点、分别为、边上一点，连接，，与相交于点，． ①求证：； ②求的度数； 【问题解决】 （2）某科技公司现有一块形状为的研发基地，为等边三角形，其大致示意图如图2所示，笔直的小路，交于点，点，分别在，边上，且，处是一个休息室．为了响应国家“科教兴国”战略，现需要扩大基地面积．扩建方案如下：连接并延长到点，使得，与相交于点，延长到点，连接，，使得，，将四边形区域修建成新能源研发区．为了估算扩建需要的总费用，需要知道与的数量关系，请你帮助科技公司计算出与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】 （1）略 ① ②； （2） 略 【解析】 【分析】（1）①根据等边三角形的性质，利用证明即可；②根据全等三角形的性质，得到，根据三角形的外角的性质结合等量代换即可得出结果； （2）同（1）法可知：，设，则，根据三角形的外角的性质，角的和差关系，推出，，进而得到，延长到，使，连接，证明，推出，再证明，得到，等量代换，即可得到结果． 【详解】解：（1）①∵为等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2），理由如下： 同（1）法可得： ，， ∵， ∴设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 延长到，使，连接，如图， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理以及三角形的外角，熟练掌握相关知识点，倍长中线法构造全等三角形，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期期中阶段调研八年级数学 注意事项； 1．本试卷共6页，满分120分，时间120分钟，学生直接在试题上答卷； 2．答卷前将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. 3，4，8 B. 5，6，11 C. 2，2，3 D. 10，5，5 2. “一片甲骨惊天下”，甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟的文字系统，是汉字的源头，中华优秀传统文化的根脉．下列甲骨文图画中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 在中，若，，则为（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 无法确定 4. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知，从下列条件中补充一个条件后，仍不能证明的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，的平分线交于点，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，平分交于点，，过点作交于点，延长至点，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，为内一点，过点的直线分别交，于点，，连接，，，．若点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是______命题．（填“真”或“假”） 10. 如图，在中，，平分交于点D，，垂足为E，若，则的长为________． 11. 如图，工人在某施工现场作业，地面上有一个长为米的梯子斜靠在墙上，梯子底端与地面的交点为C，梯子与墙面的交点为M，此时梯子的倾斜角为（即），如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，梯子与墙面的交点为N，此时梯子的倾斜角为（即），若连接，那么的长是________米． 12. 如图，在中，平分交于点，于点，若，，则的度数是 ________． 13. 如图，在和中，，点在同一条直线上，且，，，，，则的长为___________． 14. 如图，等边与关于直线对称，且的边长为3，为线段上一动点，则的最小值是___________． 三、解答题（共12小题，计78分，解答应写出过程） 15. 在中，若，求的度数． 16. 如图，在中，，点在边上，连接．若，求证：是等边三角形． 17. 在中，，且，，若为等腰三角形，求a的值． 18. 如图，某市区南北走向的解放路，龙潭路与东西走向的人民路交汇于B，C两点，现想建造一加油站P，使得加油站到三条公路的距离相等．请你用所学的知识确定P点的位置（用直尺、圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 19. 如图，在和中，．求证：． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别是．在图中画出关于x轴对称的，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F，并写出点F的坐标． 21. 如图，为的中线，为的角平分线． （1）若，求的度数． （2）若的面积为30，，则点A到边的距离为多少？ 22. 如图①，某景观区建有一个四叶草形生态水池及一座雕塑，水池内建有观景台，在观景台上安装了一盏广角灯（点D），，是两条通往观景台的步行道．小梧从该景区了解到，为了凸显景观的层次感和立体感，达到理想的光影效果，要求．于是他利用身边仅有的一个卷尺根据现场条件进行测量，所得数据如表所示． 所测量的量 长度（） 15 15 17 17 6 24 小梧将示意图抽象成图②的几何图，E在上，F在上，连接．请根据所测得的数据，判断该广角灯的位置是否符合要求？（即根据测量数据判断是否成立） 23. 如图，在△ABC中，，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF//BC交AB于点F． （1）若，求∠BAD的度数； （2）求证：点F在BE的垂直平分线上． 24. 如图，在中，，垂足分别为，点在的延长线上，点在线段，且，连接． （1）求证：； （2）求的度数． 25. 已知：如图，在中，，，是角平分线，与相交于点F，，，垂足分别为M，N． （1）求证：F在的角平分线上； （2）求证：． 26. 【问题提出】 （1）如图1，为等边三角形，点、分别为、边上一点，连接，，与相交于点，． ①求证：； ②求的度数； 【问题解决】 （2）某科技公司现有一块形状为的研发基地，为等边三角形，其大致示意图如图2所示，笔直的小路，交于点，点，分别在，边上，且，处是一个休息室．为了响应国家“科教兴国”战略，现需要扩大基地面积．扩建方案如下：连接并延长到点，使得，与相交于点，延长到点，连接，，使得，，将四边形区域修建成新能源研发区．为了估算扩建需要的总费用，需要知道与的数量关系，请你帮助科技公司计算出与之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $