精品解析：河北省石家庄市正定县第一中学2025-2026学年上学期九年级数学期中考试题

第一中学2025年秋期九年级数学期中考试题 一、选择题（36分） 1. 下列图形中既是轴对称又是中心对称的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题的关键． 【详解】、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：． 2. 方程的解为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用直接开平方法求解即可． 【详解】解： 或 解得：或 故答案为：B． 【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，解一元二次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法和因式分解法，灵活选择合适的方法是解题的关键． 3. 点A（3，﹣1）关于原点的对称点A′的坐标是（ ） A. （﹣3，﹣1） B. （3，1） C. （﹣3，1） D. （﹣1，3） 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据关于原点对称的点的坐标特点即可得出结论． 【详解】∵两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反， ∴点A（3，-1）关于原点的对称点A′的坐标是（-3，1）． 故选C． 4. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 有两个相等的实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式的意义，根据一元二次方程根的判别式的意义，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴原方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 5. 已知OA=5cm，以O为圆心，r为半径作⊙O．若点A在⊙O内，则r的值可以是（　　） A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：根据题意可知，若使点A在⊙O内，则点A到圆心的大小应该小于圆的半径，因此圆的半径应该大于5． 故选D 考点：点与圆的位置关系 6. 若四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A：∠C＝1：2，则∠C＝（ ） A. 120° B. 130° C. 140° D. 150° 【答案】A 【解析】 【分析】⊙O的内接四边形性质对角和180°，加上已知条件∠A：∠C＝1：2，即可求得∠C． 【详解】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形 ∴∠A+∠C=180° 又∵∠A：∠C＝1：2 ∴∠C=120° 故选：A． 【点睛】此题考查了⊙O的内接四边形性质，解题的关键结合已知条件求解． 7. 某种正方形合金板材的成本y（元）与它的面积成正比，设边长为x厘米：当时，，那么当成本为元时，边长为（ ） A. 厘米 B. 厘米 C. 厘米 D. 厘米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式的运用，求出函数的解析式是解答本题的关键．设，由待定系数法就可以求出解析式，把代入函数解析式就可以求出结论． 【详解】解：设， 当时，， ，， ， 当成本为元时， 有， ， ． 故选：B． 8. 如图，将直角三角板绕顶点A顺时针旋转到，点恰好落在的延长线上，，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形两锐角互余，求出的度数，由旋转可知，在根据平角的定义求出的度数即可． 【详解】∵， ∴， ∵由旋转可知， ∴， 故答案选：B． 【点睛】本题考查直角三角形的性质以及图形的旋转的性质，找出旋转前后的对应角是解答本题的关键． 9. 如图，将△ABC绕点C（0，－1）旋转180°得到△A′B′C，设点A的坐标为（－3，－4）则点A′的坐标为 A. （3，2） B. （3，3） C. （3，4） D. （3，1） 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：根据A与A′关于C点对称，设A′的坐标为（a，b），可知，，解得a=3，b=2，因此可知A′点的坐标为（3，2）. 故选A 考点：中心对称 10. 如图，正方形的边长为1；将其绕顶点按逆时针方向旋转一定角度到的位置，使得点落在对角线上，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质及旋转的性质，等腰三角形的判定；依据为等腰直角三角形，即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：正方形的边长为1，将其绕顶点按逆时针方向旋转一定角度到位置，使得点落在对角线上， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积， 故选：C． 11. 如图，在正方形中，点B，C的坐标分别是，，点D在抛物线的图像上，则b的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数与几何的综合应用，作轴，轴，证明，进而求出点坐标，代入解析式进行求解即可． 【详解】解：如图所示，作轴，轴，则：， 四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵点B，C的坐标分别是，， ∴， ∴， ∴， ∵点D在抛物线的图像上， ∴， ∴； 故选B． 12. 如图，已知点，点．若抛物线（a为常数，）与线段有两个不同的公共点，则a的取值范围是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的综合问题，先求出直线的解析式，令，根据有两个交点求出a的取值范围，再分和两种情况讨论即可得到答案； 【详解】解：设所在直线为， ∵，， ∴， 解得：， ∴， 当时， ∵二次函数与线段有两个不同的公共点， ∴， 解得：， ①当时， 此时函数的开口向上， ∴，， 解得：， ②当时 此时函数的开口向下， ∴，， 解得：， 综上所述得：，， 故选：B． 二、填空题（12分） 13. 已知3是方程的一个根，则m＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解，把代入得到关于的一次方程，然后解此一次方程即可． 【详解】解：把代入 得， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键． 14. 的弦的长等于半径，那么弦所对的圆周角等于___________度． 【答案】或 【解析】 【分析】一条弦所对的圆周角有两种情况：当圆周角的顶点在优弧上，圆周角应是一个锐角；当圆周角的顶点在劣弧上，圆周角是一个钝角． 【详解】解：∵弦的长等于半径， ∴当把圆心分别与点A，B连接，可得等边三角形，等边三角形的内角是， ∴弦所对的圆心角是， ∴弦把圆分成和的两段弧， 根据弧的度数等于它所对的圆心角的度数，而一条弧所对的圆周角的度数等于所对圆心角度数的一半， ∴弦所对的圆周角等于或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 15. 如图，将绕点A逆时针旋转80°得到．若，则的度数为______ 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查的是旋转的性质，根据旋转的性质找到对应点、对应角进行解答即可． 【详解】解：∵绕点A逆时针旋转得到， ∴， 又∵， ∴． 故答案为： 16. 如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D．若OB=3，OD=2，则阴影部分的面积之和为______． 【答案】6 【解析】 【详解】∵直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D，OB=3，OD=2， ∴AB=2， ∴阴影部分的面积之和为3×2=6． 故答案为：6． 【点睛】考点：中心对称． 三、解答题（52分） 17. 解方程： 【答案】或． 【解析】 【分析】利用因式分解求解即可． 【详解】解：， ， ∴或， ∴或． 【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握因式分解法解方程． 18. 如图，是的直径，弦于点E，若，求弦的长． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，利用勾股定理解求出，再根据垂径定理求弦的长． 【详解】解：是的直径，， ， ， ， 弦于点E， 在中，，， ． 19. 已知关于x的一元二次方程有两不相等的实数根． ①求m的取值范围． ②设x1，x2是方程的两根且，求m的值． 【答案】①，②m的值为． 【解析】 【分析】①根据“关于x的一元二次方程有两不相等的实数根”，结合判别式公式，得到关于m的不等式，解之即可． ②根据“x1，x2是方程的两根且”，结合根与系数的关系，列出关于m的一元二次方程，解之，结合（1）的结果，即可得到答案． 【详解】解：①根据题意得： ， 解得：， ②根据题意得： ，， ， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴m的值为． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，解题的关键：①正确掌握判别式公式，②正确掌握根与系数的关系． 20. 如图，在正方形方格图中，每个方格的边长均为1个单位长度． （1）请画出，使与关于x轴对称； （2）将绕点O逆时针旋转，画出旋转后得到的，并求出点B旋转到点所经过的路径长． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； ． （2） 如图所示，即为所求， 【解析】 【分析】本题考查了利用旋转变换作图，利用轴对称变换作图，弧长公式，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． （1）根据网格特点找出点A、B、C关于x轴的对称点、、的位置，然后顺次连接即可； （2）根据网格特点找出点A、B、C绕点O逆时针旋转的对应点、、的位置，然后顺次连接，再利用弧长公式进行计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴点B旋转到点所经过的路径长为． 21. 如图，点E为正方形外一点，，将绕A点逆时针方向旋转得到的延长线交于H点． （1）试判定四边形的形状，并说明理由； （2）已知，求的长． 【答案】（1） 四边形是正方形，理由如下： ∵将绕A点逆时针方向旋转得到， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； （2）23 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的判定和性质，勾股定理，图形的旋转， （1）根据旋转的性质可得，即可求解； （2）根据正方形的性质可得，，再由旋转的性质可得：，设，则，，在中，根据勾股定理，求出x的值，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在正方形中，， ∵四边形是正方形， ∴， 由旋转的性质得：， 设， 则，， 在中，， ∴， 解得：， ∴． 22. 甲、乙两汽车出租公司均有辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话： 甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费元，那么辆汽车可以全部租出，如果每辆汽车的月租费每增加元，那么将少租出辆汽车，另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费元． 乙公司经理：我公司每辆汽车月租费元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计元． 说明：①汽车数量为整数；②月利润月租车费月维护费； 在两公司租出的汽车数量相等且都为（单位：辆，）的条件下，甲的利润用表示（单位：元），乙的利润用（单位：元）表示，根据上述信息，解决下列问题： （1）分别表示出甲、乙的利润，什么情况下甲、乙的利润相同？ （2）甲公司最多比乙公司利润多多少元？ （3）甲公司热心公益事业，每租出辆汽车捐出元（）给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且仅当两公司租出的汽车均为辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求的取值范围． 【答案】（1）；；当每个公司租出的汽车为辆时，两公司的月利润相等 （2）甲公司最多比乙公司利润多18050元 （3） 【解析】 【分析】（1）设每个公司租出的汽车为辆，根据月利润相等得到方程，解之即可得到结果； （2）设两公司的月利润分别为，，月利润差为，由（1）可得和的表达式，再列出关于的表达式，根据二次函数的性质，结合的范围求出最值即可； （3）根据题意得到利润差为，得到对称轴，再根据两公司租出的汽车均为辆，结合为整数可得关于的不等式，即可求出的范围． 【小问1详解】 解：设每个公司租出的汽车为辆， 由题意可得：， 而， 两公司的月利润相等可得：， 解得：或舍， 当每个公司租出的汽车为辆时，两公司的月利润相等； 【小问2详解】 解：设两公司的月利润分别为，，月利润差为， 则， ， 当甲公司的利润大于乙公司时，， ， ∴当时，函数有最大值18050， ∴甲公司最多比乙公司利润多18050元； 【小问3详解】 解：∵捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润， 则利润差为， 对称轴为直线， 只能取整数，且当两公司租出的汽车均为16辆时，月利润之差最大， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，二次函数的图象和性质，解题时要读懂题意，列出二次函数关系式，尤其（3）中要根据为整数得到的不等式． 23. 如图，在等边三角形内有一点． （1）若，，，求的度数； （2）若等边三角形边长为，求的最小值； （3）如图，在正方形内有一点，且，，，求正方形的边长． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将线段绕点逆时针旋转得到线段，连结、，则，得到，，，，证得是等边三角形，求出，，根据勾股定理逆定理证得是直角三角形，，即可求出； （2）根据（1）的方法将绕点顺时针旋转得到，再将绕点顺时针旋转得到，则，当四点共线时，取得最小值，即的长，勾股定理，即可求解． （3）如图，延长，过点作于，得到，求出，勾股定理求出即可． 【小问1详解】 解： 如图所示， 将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接、， ， ，，，， 是等边三角形， ，， ， 是直角三角形，， ， ， 【小问2详解】 解：如图所示，将绕点顺时针旋转得到， 则，，，则是等边三角形， ， 再将绕点顺时针旋转得到，则 ，，， 当四点共线时，取得最小值，即的长， 设，交于点， ，， ， ， 在中， ， 即的最小值为； 【小问3详解】 如图，将绕点逆时针旋转，得到， ， ，，，， 是等腰直角三角形， ，， ， 是直角三角形，， 如图，延长，过点作于，则， ，， ， ， ， ，即正方形的边长为． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理及其逆定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一中学2025年秋期九年级数学期中考试题 一、选择题（36分） 1. 下列图形中既是轴对称又是中心对称的是（ ） A. B. C. D. 2. 方程的解为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 3. 点A（3，﹣1）关于原点的对称点A′的坐标是（ ） A. （﹣3，﹣1） B. （3，1） C. （﹣3，1） D. （﹣1，3） 4. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 有两个相等的实数根 5. 已知OA=5cm，以O为圆心，r为半径作⊙O．若点A在⊙O内，则r的值可以是（　　） A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm 6. 若四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A：∠C＝1：2，则∠C＝（ ） A. 120° B. 130° C. 140° D. 150° 7. 某种正方形合金板材的成本y（元）与它的面积成正比，设边长为x厘米：当时，，那么当成本为元时，边长为（ ） A. 厘米 B. 厘米 C. 厘米 D. 厘米 8. 如图，将直角三角板绕顶点A顺时针旋转到，点恰好落在的延长线上，，则为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将△ABC绕点C（0，－1）旋转180°得到△A′B′C，设点A的坐标为（－3，－4）则点A′的坐标为 A. （3，2） B. （3，3） C. （3，4） D. （3，1） 10. 如图，正方形的边长为1；将其绕顶点按逆时针方向旋转一定角度到的位置，使得点落在对角线上，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在正方形中，点B，C的坐标分别是，，点D在抛物线的图像上，则b的值是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，已知点，点．若抛物线（a为常数，）与线段有两个不同的公共点，则a的取值范围是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 二、填空题（12分） 13. 已知3是方程的一个根，则m＝_____． 14. 的弦的长等于半径，那么弦所对的圆周角等于___________度． 15. 如图，将绕点A逆时针旋转80°得到．若，则的度数为______ 16. 如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D．若OB=3，OD=2，则阴影部分的面积之和为______． 三、解答题（52分） 17. 解方程： 18. 如图，是的直径，弦于点E，若，求弦的长． 19. 已知关于x的一元二次方程有两不相等的实数根． ①求m的取值范围． ②设x1，x2是方程的两根且，求m的值． 20. 如图，在正方形方格图中，每个方格的边长均为1个单位长度． （1）请画出，使与关于x轴对称； （2）将绕点O逆时针旋转，画出旋转后得到的，并求出点B旋转到点所经过的路径长． 21. 如图，点E为正方形外一点，，将绕A点逆时针方向旋转得到的延长线交于H点． （1）试判定四边形的形状，并说明理由； （2）已知，求的长． 22. 甲、乙两汽车出租公司均有辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话： 甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费元，那么辆汽车可以全部租出，如果每辆汽车的月租费每增加元，那么将少租出辆汽车，另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费元． 乙公司经理：我公司每辆汽车月租费元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计元． 说明：①汽车数量为整数；②月利润月租车费月维护费； 在两公司租出的汽车数量相等且都为（单位：辆，）的条件下，甲的利润用表示（单位：元），乙的利润用（单位：元）表示，根据上述信息，解决下列问题： （1）分别表示出甲、乙的利润，什么情况下甲、乙的利润相同？ （2）甲公司最多比乙公司利润多多少元？ （3）甲公司热心公益事业，每租出辆汽车捐出元（）给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且仅当两公司租出的汽车均为辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求的取值范围． 23. 如图，在等边三角形内有一点． （1）若，，，求的度数； （2）若等边三角形边长为，求的最小值； （3）如图，在正方形内有一点，且，，，求正方形的边长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $