第5章 函数概念与性质 小结与复习（第2课时）教案- 2025-2026学年高一上学期数学苏教版必修第一册

该高中数学教案系统梳理了函数性质中不等式恒成立问题的知识体系，通过分类归纳一次函数、二次函数等基本类型，结合主参换位、参数分离等解法，串联化归转化、数形结合等数学思想，帮助学生构建完整的问题解决框架。 其亮点在于采用“题型精讲-变式拓展-反馈巩固”分层设计，如例题1通过一次函数主参换位培养数学运算能力，例题2结合二次函数分类讨论发展逻辑推理思维，课堂反馈题强化数学建模应用。这种设计让学生逐步深化理解，教师也能依托清晰脉络提升复习效率。

第5章 函数概念与性质 小结与复习（第2课时） ▍教学目标 1. 理解和掌握求解不等式恒成立问题的常用方法． 2. 通过不等式恒成立问题的求解，进一步理解和掌握化归与转化、数形结合、函数与方程、分类讨论等数学思想方法． 数学运算：运用函数、不等式性质求最值或取值范围． 数学建模：在问题转化过程中，能建立函数模型，运用数形结合思想解决问题． ▍复习回顾 [教师引导] 1. 不等式恒成立问题的基本类型 (1) 类型1：一次函数、二次函数型 1 对于一次函数，，有： 恒成立 恒成立 2 对于二次函数， 对任意恒成立且； 对任意恒成立且． 3 对于二次函数， 当时， 在上恒成立 或或 在上恒成立 当时， 在上恒成立； 上恒成立 或或 (2) 类型2：恒成立转化为函数最值 在上恒成立； 在上恒成立． （注：若在上的最值不存在，要注意等号的取舍） (3) 类型3：给定区间上的两个函数大小恒成立问题 在上恒成立 的图象在的图象的上方． 2. 不等式恒成立问题的常见解法： (1) 主参换位法； (2) 函数性质法； (3) 参数分离法； (4) 数形结合法． ▍典例精讲 题型一：一次函数恒成立问题 【例题1】 若不等式对一切都成立，求实数的取值范围． [解析] 令，则对一切都成立，所以解得． 方法归纳 通过主参换位，转换思路，利用一次函数的保号性解题． 题型二：二次函数恒成立问题 【例题2】 已知函数， (1) 若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围； (2) 若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围． [分析] 当变量是整个实数集时，恒成立问题适用判别式法，当变量的范围是区间，也可以选用一元二次方程根的判别式，但计算相对繁琐，常用函数性质法或分离参数法．要特别注意关键点上的取值情况，看能否取到． [解析] (1) 若对于任意的，恒成立， 需满足，解得． 故实数的取值范围是． (2) 由题知对称轴方程为， 当，即时，，解得，与已知矛盾，舍去； 当，即时，，解得； 当时，，解得． 综上，实数的取值范围是． 【变式1】 对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围． [解析] 方法一：利用函数图象性质，得所以． 方法二：不等式可化为对任意恒成立，所以． 方法归纳 关于二次不等式的恒成立问题，定义域不一样，选择的方法也不同．要特别关注二次函数性质在解题中的应用，比如二次函数最值讨论、二次函数的局部保号性． 参数分离法是解决不等式恒成立问题的一个重要方法，将目标变量分离成或者的形式，然后通过求的最小值或者最大值来确定的取值范围． 题型三：数形结合，通过函数图象直观化 【例题3】 已知函数，，试确定的取值范围，使得当时，，求实数的取值范围． [分析] 画出函数和的图象，可以发现在上只要比较两个函数最值的大小． [解析] 函数的图象在上单调增，在上单调减，在上有最大值，函数的图象在上单调减，在上单调增，在上有最小值，两个函数在同一点取到最值，故当时，，只需，所以，即． 【变式2】 若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围． [解析] 由函数和函数图象及一次函数的性质，可知． 方法归纳 数形结合是解决不等式恒成立问题的常用方法．解决此类问题经常要结合函数的图象，选择适当的两个函数，利用函数图象的上、下位置关系来确定参数的范围．利用数形结合解决不等式恒成立问题，关键是构造函数，准确做出函数的图象． ▍课堂反馈 1. 若不等式对恒成立，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. [解析] 由，得， 设，则，设，则在上恒大于，则必有解得 所以． [答案] B 2. 对任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. [解析] 当即时，，符合题意； 当即时，解得， 综上可得实数的取值范围是． [答案] A 3. 已知，若不等式恒成立，则实数的取值范围是_________． [解析] 由，原不等式可化为（）， 而，所以． 4. 已知函数，在恒有，求实数的取值范围． [解析] 令，则对恒成立，而是开口向上的抛物线， 当图象与轴无交点，即，解得． 当图象与轴有交点，则由二次函数根与系数的分布及图象可得： 解得， 综上，实数的取值范围是． ▍课堂总结 【问题】 通过本节课的学习和研究，你有哪些收获或启示？ [学生活动] 教师引导学生再次回顾不等式恒成立问题的常见题型和常用解题思路，学生间交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受． 学科网（北京）股份有限公司 $