5.3 函数的单调性（第4课时）教学设计- 2025-2026学年高一上学期数学苏教版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦函数值域与最值求解，通过复习回顾引导学生自主梳理值域、最值定义及前备方法，搭建知识支架，衔接上节课内容，深化分段函数、分式函数、含参函数等题型的求解。 特色在于题型分类系统，方法归纳详实，结合图象法培养直观想象，通过含参函数分类讨论提升数学运算能力，例题与变式设计层层递进，助力学生掌握解题策略，也为教师提供清晰教学路径，提高课堂效率。

第5章 函数概念与性质 5.3 函数的单调性（第4课时） ▍教学目标 1. 会求某些简单函数的值域，利用图象法求某些能够通过换元化成一次函数、二次函数或者反比例函数的值域． 2. 通过归纳总结，让学生熟练地掌握几种求函数的值域方法，并能够在具体的题目中选择恰当的方法求解． 3. 理解函数的最大（小）值及其几何意义，并能借助图象求函数的最大（小）值． 4. 会求分段函数、分式函数的最值以及含参函数的最值（分类讨论）． 数学抽象：函数的最大值、最小值概念的抽象． 直观想象：掌握换元法及数形结合的思想指的是让学生通过一些具体问题的操作体会数学思想和数学方法的重要性及实用性． 数学运算：求含参数函数的最值及参数取值范围． ▍复习回顾 [教师引导] 上节课，我们学习了求函数的值域与最值，请你谈谈对值域与最值相关知识点的理解． 1. 值域的定义：我们将所有输出值组成的集合称为函数的值域． 2. 最值的定义： 一般地，设函数的定义域为． 如果存在，使得对于任意的，都有，那么称为的最大值，记为． 如果存在，使得对于任意的，都有，那么称为的最小值，记为． 3. 求函数值域或最值的方法： (1)直接观察法；　(2)二次函数配方法；　(3)单调性法；　(4)换元法． [处理建议] 教师不要采用逐条知识点提问，学生集体逐一回答的形式．让学生自主主动回顾、检索所学知识，并分层次予以理解和表达，有利于学生形成并提取完整的知识框图和有关解题技能的思维导图． ▍典例精讲 题型一：分段函数、绝对值函数 【例题1】 (1) 求函数的值域； (2) 求函数的值域． [解析] (1) 作图象如图所示： ，， ，． 函数的最大值、最小值分别为和， 即函数的值域为． (2) 将函数化为分段函数形式： 画出它的图象（如图）， 由图象可知，函数的值域是． 【变式1】 若函数变为时，值域是什么呢？ [处理建议] 学生独立完成． 方法归纳 图象法求值域： 对于一些函数（如二次函数、分段函数等）的求值域问题，我们可以借助形象直观的函数图象来观察其函数值的变化情况，再有的放矢地通过函数解析式求函数最值，确定函数值域，用数形结合法，使运算过程大大简化． 题型二：求以分式为背景的函数的值域 【例题2】 (1) 求函数的值域； (2) 将上述题目改为求解在上的值域呢？ [解析] (1) ， 因为，则， 故函数的值域为． (2) 化简， 函数在上为减函数，此时． 【例题3】 求下列函数在上的值域： (1) ； (2) ； (3) 求在上的最大值和最小值． [解析] (1) 令，，即． 原式转化为， 由对勾函数的图象知，值域为． (2) 同上，令，， 由图可知函数在区间， 所以，函数的值域为． (3) 法一：令，，原式转化为， ∵，∴， 故，． 法二：在 上， 所以，得， 故，． 【例题4】 求函数的值域． [解析] 法一：由函数的解析式可以知道，函数的定义域为，（定义域优先原则） 对函数进行变形可得，，（特殊情况优先原则） 所以（，）， ，， 故函数的值域为． 法二： 令，，， 由函数的图象得函数的值域为． 【例题5】 求函数的值域． [解析] 方法一：转化成分子为一次，分母为二次的函数的值域，得． 方法二：由题意得，此式可看成是关于的方程在上有解， 故得， 整理可得在上有解， 1 时，； 2 时，，得； 综上所述：函数值域为． 方法归纳 1. 求分式函数的值域的方法： (1) 分离常数法：对于分子、分母同次的分式形式的函数求值域问题，因为分子分母都有变量，利用函数单调性确定其值域较困难，因此，我们可以采用凑配分子的方法，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式，而此时的分式，只有分母上含有变量，进而可利用函数的图象确定其值域． (2) 基本不等式法：分式形式，分子和分母一个是一次函数，一个是二次函数．解题时，将一次函数还原成（注意范围），再借助基本不等式或图象来求值域和最值． (3) 反解法：函数式中含有可以确定范围的代数式，用表示，利用自变量的范围或与之有关的式子的范围，进而解得的范围． (4) 判别式法：判别式法一般用于分式函数，其定义域应为，其分子或分母只能为二次式，且分子、分母没有公因式． 2. 求函数值域的方法： (1)直接观察法； (2)配方法； (3)单调性法； (4)换元法； (5)图象法； (6)分离常数法； (7)基本不等式法； (8)反解法； (9)判别式法． 题型三：求含参数的函数的值域或最值 【例题6】 求，的最小值． [解析] ，其图象是开口向上， 对称轴为的抛物线． 1 若，则在上是增函数， 所以，； 2 若，则； 3 若，则在上是减函数，所以的最小值不存在． 【变式2】 改为求函数在，的最大值？ [解析] ，其图象是开口向上，对称轴为的抛物线． 1 当时，； 2 当时． 【变式3】 改为求函数在的最值？ [学生活动] 分四种情况讨论．（学生分小组讨论研究） 【变式4】 开口向下又如何研究呢？ 方法归纳 求含参数函数的最值的思路： (1) 开口向上求最小值分三种情况的讨论：对称轴在区间左、中、右的讨论． (2) 开口向上求最大值分两种情况的讨论：对称轴在区间中点的左边和区间中点右边． (3) 开口向上求最值结合上面分四种情况讨论． 题型四：已知函数的值域或最值求参数的值或范围 【例题7】 (1) 已知函数在闭区间上有最大值，最小值，则的取值范围为________； (2) 设函数的值域为求，． [解析] (1) ，对称轴，故． 又，由对称性知，∴． (2) 化归二次方程有实数解，利用判别式构造值域的不等式，借助根与系数的关系列方程组求解． ， ∵， 解集为，解得，． ▍课堂反馈 1． 求函数的值域． [解析] ∵ ∴的图象如图所示， 由图象知，函数的值域为． 2． 求函数的值域？若是求的值域呢？ [解析] (1) 方法一：转化成分子为一次、分母二次的函数的值域，得． 方法二：由题意得，此式可看成是关于的方程在上有解， 故得， 整理可得在上有解． ①时，； ②时，，得． 综上所述：． (2) 当有范围时只能考虑方法一：，， 转化为分子为一次分母为二次的　函数的值域为． 3． 已知二次函数在上有最大值，求实数的值． [解析] 分，，三种情况讨论． 4． 已知函数的值域为，求实数，的值． [解析] 化归二次方程有实数解，利用判别式构造值域的不等式，借助根与系数的关系布列方程组求解． 变形得，的解集为解得，． ▍课堂总结 【问题】 通过本节课的学习和研究，你有哪些收获或启示？ [学生活动] 学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，教师引导学生，生生、师生合作共同完成小结． 知识框图 知识与技能层面： (1) 一元二次函数的值域问题无论有没有范围都要进行画图去看，在出现根式的题目中需要进行换元，将函数转换为有范围的一元二次函数的值域问题． (2) 分子分母同为一次函数形式的函数的值域问题中当没有特别的条件限制时，值域为当有特定的范围时需要进行画图分析单调性，求解值域． (3) 分子为二次分母为一次形式的函数的值域问题，可以通过换元将函数转化为对勾函数或双增函数求解值域；分子为一次分母为二次的形式的函数的值域，可以进行换元（换分子）或转化为分子为二次分母为一次的函数的值域问题，注意补零． (4) 分子分母同为二次形式的函数的值域问题有两种求解方法：分离转化为分子为一次分母为二次的函数的值域问题；当定义域为时，可采取判别式法进行求解． 学科网（北京）股份有限公司 $