精品解析：福建省漳州市长泰区2025-2026学年九年级上学期期中数学试题

长泰区2025-2026学年第一学期期中质量检测 九年级数学试卷 （满分：150分 考试时间：120分钟） 友情提示：请把所有答案填写（涂）到答题纸上！请不要错位、越界答题！ 注意：在解答题中，凡是涉及到画图，可先用铅笔画在答题纸上，然后必须用黑色签字笔重描确认，否则无效． 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题纸的相应位置填涂） 1. 二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C D. 4. 已知点和点，将线段先向右平移个单位，再向下平移个单位，得到线段，则点坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 用配方法解方程，方程可变形为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，不能判定和相似的条件是（ ） A. B. C D. 7. 粮食是人类赖以生存的重要物质基础．某农业基地现有杂交水稻种植面积公顷，计划两年后将杂交水稻种植面积增至公顷，设该农业基地杂交水稻种植面积的年平均增长率为，根据题意列出方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正方形网格中，以点为位似中心，作的位似图形，若点是点的对应点，则点的对应点是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 9. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图是凸透镜成像光路图，跟主光轴平行的光线经凸透镜折射后过焦点F，通过光心O的光线，经凸透镜折射后传播方向不变，即在的延长线上，一根长的蜡烛放在三倍焦距处，即，则经过凸透镜成像得到的的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．请将答案填入答题纸的相应位置） 11. 若是方程的一个根，则m的值为______． 12. 若与最简二次根式是同类二次根式，则的值为______． 13. 若，则的值为_____． 14. 如图，O为跷跷板AB的中点，支柱OC与地面MN垂直，垂足为点C，且OC＝40cm，则A端离地面的最大高度为______cm． 15. 若一个点将线段分成两段，较短一段与较长一段的比等于较长一段与整个线段的比，则这个点叫做该线段的黄金分割点，这个比值叫做黄金比，经计算该比值为．如图，点C是线段的黄金分割点，且，以为边作正方形，连接交于点F，则的值为______． 16. 如图，在菱形中，，点P为对角线上的动点，连接，将绕点D按逆时针方向旋转至，使，与交于点E．有如下结论： ①； ②； ③连接，当为直角三角形时，； ④当将分成的两部分的面积之比为时，或． 以上结论中，正确结论的序号是_____． 三、解答题（本题共9小题，共86分．请在答题纸的相应位置解答） 17. 计算：． 18. 解方程：． 19. 如图，，，求证：． 20. 若一直角三角形的斜边长为5，且两直角边长是关于x的方程的两个实数根，求n的值． 21. 如图是今年某月的日历表，小欧用一个平行四边形，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是264，求小欧框出的最小数． 22. 阅读材料： 已知，，求的值． 小迪同学是这样解答的： ∵， ∴． ∵， ∴． 结合以上材料，解答问题： （1）化简：； （2）已知，求的值． 23. 如图，在中，点在边上，且，点在延长线上，连接、． （1）若，求的值； （2）若，求证：． 24. 在“制作长方体包装盒”的综合实践课上，老师提供了以下素材和制作方案． 【素材】长为、宽为的长方形纸板，热熔胶． 【制作方案】 方案一：如图所示，包装盒底面为正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体包装盒．（图中阴影部分为裁去的余料，下同） 方案二：如图所示，在卡纸的四个角各剪去一个同样大小的小正方形，再沿虚线折合起来，折成一个无盖的长方体包装盒． 方案三：如图所示，在卡纸的四个角分别减去两个小正方形和两个长方形，再沿虚线折合起来，折成一个有盖的长方体包装盒． 【问题解决】 （1）求方案一制作的无盖长方体包装盒的容积．（忽略纸板的厚度） （2）按方案二制作无盖长方体包装盒，设剪去的小正方形的边长为． （ⅰ）若该包装盒的底面积为，则剪去的小正方形的边长为多少？ （ⅱ）随着的值按整数值变化，折成的包装盒的容积也随之变化． 小正方形的边长 … … 包装盒容积 … … 根据表格，若要制作一个容积最大的包装盒，则整数应取何值． （3）按方案三制作有盖长方体包装盒，能否使得长方形底面的长宽比为，若可以，请求出剪去的小正方形的边长的值，若不可以，请说明理由． 25. 【知识探究】 如图，在中，，若，垂足为点D，则有，请完成证明； 【结论应用】 如图，在菱形中，过点C作交的延长线于点E，过点E作交边于点F，当时，求的值； 【拓展提升】 如图，在菱形中，，点E在上，且，点F为上一点，连接，过点E作交于点G，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长泰区2025-2026学年第一学期期中质量检测 九年级数学试卷 （满分：150分 考试时间：120分钟） 友情提示：请把所有答案填写（涂）到答题纸上！请不要错位、越界答题！ 注意：在解答题中，凡是涉及到画图，可先用铅笔画在答题纸上，然后必须用黑色签字笔重描确认，否则无效． 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题纸的相应位置填涂） 1. 二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根号下的数为非负数，二次根式才有意义求解即可． 【详解】解：， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式有意义的条件是解题关键． 2. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查“一元二次方程的定义”，掌握一元二次方程的特征是解题关键． 根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）进行判断即可． 【详解】选项A： 只含未知数x，最高次项为（次数为2），且是整式方程，∴ 是一元二次方程； 选项B： 含有两个未知数x和y，∴ 不是一元方程； 选项C： 含有分式，∴ 不是整式方程，不是一元方程； 选项D： 含有两个未知数，且次数为1，∴ 不是一元二次方程． 故选：A． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法，二次根式的加减运算，利用二次根式的性质化简等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 二次根式的乘法，二次根式的加减运算，利用二次根式的性质化简等知识，需逐项验证每个选项的正确性，再作判断． 【详解】解：，故A错误． ，故B正确． ，故C错误． ，故D错误． 故选：B． 4. 已知点和点，将线段先向右平移个单位，再向下平移个单位，得到线段，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，解题的关键是掌握平移变换的性质，即“右加左减，上加下减”．根据平移的性质求解即可． 【详解】解：先向右平移个单位， 横坐标变为，纵坐标不变，得点； 再向下平移个单位， 纵坐标变为，横坐标不变，得点， 点的坐标为， 故选：D． 5. 用配方法解方程，方程可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，取一次项系数一半平方，再添加到方程两边形成完全平方式即可．解题的关键是掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤：（1）化二次项系数为， 当二次项系数不是时，方程两边同时除以二次项系数；（2）在方程两边加上一次项系数一半的平方；（3）配方后将原方程化为的形式． 【详解】解：， 移项，得：， 配方，得：， 即， ∴方程可变形为． 故选：D． 6. 如图，不能判定和相似的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理逐项分析判断求解． 【详解】解：由图可知：， 若，根据“若两三角形有两组内角对应相等，则这两个三角形相似”可判定和相似，故A不符合题意； 若，则，根据“若两三角形有两组内角对应相等，则这两个三角形相似”可判定和相似，故B不符合题意； 若，根据“若两三角形有两组对应边的比例相等，且它们所夹的内角相等，则这两个三角形相似” 可判定和相似，故D不符合题意； 若，即，不能判定和相似，故C符合题意； 故选：C． 7. 粮食是人类赖以生存的重要物质基础．某农业基地现有杂交水稻种植面积公顷，计划两年后将杂交水稻种植面积增至公顷，设该农业基地杂交水稻种植面积的年平均增长率为，根据题意列出方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，利用“该农业基地两年后杂交水稻种植面积该农业基地现有杂交水稻种植面积（该农业基地杂交水稻种植面积的年平均增长率）”即可列出关于的一元二次方程，此题得解．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设该农业基地杂交水稻种植面积的年平均增长率为， 依题意得：． 故选：A． 8. 如图，在正方形网格中，以点为位似中心，作的位似图形，若点是点的对应点，则点的对应点是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，掌握位似图形的对应点连线相交于一点以及位似图形的性质是解题的关键．连接并延长，根据位似变换的性质判断即可． 【详解】解：如图所示，连接，，连接并延长， 以点为位似中心，作的位似图形，若点是点的对应点， 位似比为， 点的对应点是． 故选：D ． 9. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式的意义．一元二次方程有两个不相等的实数根的条件是判别式大于零，代入系数计算即可． 【详解】解：∵方程 有两个不相等的实数根， ∴ ， 解得： ． 故选：C． 10. 如图是凸透镜成像光路图，跟主光轴平行的光线经凸透镜折射后过焦点F，通过光心O的光线，经凸透镜折射后传播方向不变，即在的延长线上，一根长的蜡烛放在三倍焦距处，即，则经过凸透镜成像得到的的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例．通过证明，得出，根据比例性质得出即可解答． 【详解】解：由题意得：，， ， ， ， 同理，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．请将答案填入答题纸的相应位置） 11. 若是方程的一个根，则m的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查方程的解，根据方程解的定义，将代入原方程求解m的值． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， 解得． 故答案为：4． 12. 若与最简二次根式是同类二次根式，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，掌握同类二次根式的定义是解题的关键．根据同类二次根式的定义，被开方数必须相等，据此列出方程求解． 【详解】解： 与最简二次根式是同类二次根式， ， 解得 故答案为：． 13. 若，则的值为_____． 【答案】 ． 【解析】 【分析】根据比例的合比性质变形得： 【详解】∵， ∴ 故答案. 【点睛】本题主要考查了合比性质，对比例的性质的记忆是解题的关键． 14. 如图，O为跷跷板AB的中点，支柱OC与地面MN垂直，垂足为点C，且OC＝40cm，则A端离地面的最大高度为______cm． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质和全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关概念是解题关键． 过点A作，过点O作，结合条件可证四边形是矩形，再利用条件证明，即可求出． 【详解】当跷跷板的一端着地时，A端离地面的高度最大， 如图，过点A作，过点O作， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵点O是跷跷板的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴A离地面的高度是， 故答案为：． 15. 若一个点将线段分成两段，较短一段与较长一段的比等于较长一段与整个线段的比，则这个点叫做该线段的黄金分割点，这个比值叫做黄金比，经计算该比值为．如图，点C是线段的黄金分割点，且，以为边作正方形，连接交于点F，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割、相似三角形判定与性质及正方形的性质，解题的关键是掌握黄金分割的定义及相似三角形判定与性质，先结合正方形性质证明，得出，再根据黄金分割点的定义得出即可求解． 【详解】解：在正方形中，， ， ， ， ， ， ∵点C是线段的黄金分割点，且， ， ， 故答案为：． 16. 如图，在菱形中，，点P为对角线上动点，连接，将绕点D按逆时针方向旋转至，使，与交于点E．有如下结论： ①； ②； ③连接，当为直角三角形时，； ④当将分成的两部分的面积之比为时，或． 以上结论中，正确结论的序号是_____． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查菱形、等腰三角形、直角三角形、相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握菱形、等腰三角形、直角三角形、相似三角形的相关知识． ①与为两个等腰三角形，得到，从而证明； ②证明即可证明结论； ③当时，证明得出计算出；当证明，根据相似比计算出． ④证明和，由推出，得到，再分两种情况讨论，即可求解． 【详解】解：菱形中，， ， ∵将绕点D按逆时针方向旋转至，使， ， ， ， ， ，故①正确； ∵， ∴． ∵， ∴， ，故②正确； 连接，当为直角三角形时， 如图2，当时，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． 如下图，当时，延长交于H，连接交于点O， 设， ， 则，， ， ， 在菱形中，， ， ， ，即， ． ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵， 当时， ∴的情况不存在， 综上所述，的值等于4或，故③错误； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 当时，， ∴； 当时，， ∴； 综上所述，的值等于或，故④正确； 则正确结论的序号是①②④； 故答案为：①②④． 三、解答题（本题共9小题，共86分．请在答题纸的相应位置解答） 17 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 18. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，直接利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ∴或， ∴． 19. 如图，，，求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定定理，掌握角的和差运算是解题关键． 根据“两边对应成比例且夹角相等”的相似判定方法进行证明即可． 【详解】证明：， ， ， ， ， 即在，中， ， ， ． 20. 若一直角三角形的斜边长为5，且两直角边长是关于x的方程的两个实数根，求n的值． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，勾股定理，完全平方公式，掌握相关知识是解题的关键． 设两直角边长分别为，，根据一元二次方程根与系数得到，，根据勾股定理得，即，代入相关式子即可求解． 【详解】解：设两直角边长分别为，， ∵两直角边长是关于x的方程的两个实数根， ∴，， ∵直角三角形的斜边长为5， ∴根据勾股定理，得， ∴， 即， ∴． 21. 如图是今年某月的日历表，小欧用一个平行四边形，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是264，求小欧框出的最小数． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据日历中的数字规律，确定最大数与最小数是解题的关键．设最小数为x，根据题意，得到最大数为，列出方程为，解方程即可． 【详解】设最小数为x，则最大数为， ， ， 解得（舍去）， 所以小欧框出的最小数是12． 22. 阅读材料： 已知，，求的值． 小迪同学是这样解答的： ∵， ∴． ∵， ∴． 结合以上材料，解答问题： （1）化简：； （2）已知，求的值． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】本题考查平方差公式的应用，涉及到二次根式的运算，掌握分母有理化以及二次根式的运算是解题的关键． （1）利用平方差公式对分母有理化：将分母中的根号相减，分子分母同乘以共轭根式，化简分式； （2）利用平方差公式，设未知数，通过方程组求解． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解：设，， 则， ，而，， ， ，解得， 即． 23. 如图，在中，点在边上，且，点在的延长线上，连接、． （1）若，求的值； （2）若，求证：． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形，熟练掌握相似三角形的判定和性质，是解题的关键．（1）把乘积式化成比例式，结合判定，根据相似三角形对应边成比例结合计算即得：（2）根据已知和判定，可得，结合，即得． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵，且， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴（线段取正）， ∴． 24. 在“制作长方体包装盒”的综合实践课上，老师提供了以下素材和制作方案． 【素材】长为、宽为的长方形纸板，热熔胶． 【制作方案】 方案一：如图所示，包装盒底面为正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体包装盒．（图中阴影部分为裁去的余料，下同） 方案二：如图所示，在卡纸的四个角各剪去一个同样大小的小正方形，再沿虚线折合起来，折成一个无盖的长方体包装盒． 方案三：如图所示，在卡纸的四个角分别减去两个小正方形和两个长方形，再沿虚线折合起来，折成一个有盖的长方体包装盒． 【问题解决】 （1）求方案一制作的无盖长方体包装盒的容积．（忽略纸板的厚度） （2）按方案二制作无盖长方体包装盒，设剪去的小正方形的边长为． （ⅰ）若该包装盒的底面积为，则剪去的小正方形的边长为多少？ （ⅱ）随着的值按整数值变化，折成的包装盒的容积也随之变化． 小正方形的边长 … … 包装盒的容积 … … 根据表格，若要制作一个容积最大的包装盒，则整数应取何值． （3）按方案三制作有盖长方体包装盒，能否使得长方形底面的长宽比为，若可以，请求出剪去的小正方形的边长的值，若不可以，请说明理由． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ）当小正方形的边长为时，所得到的包装盒容积最大 （3）按方案三制作有盖长方体包装盒，可以使得长方形底面的长宽比为，减去的小正方形的边长的值为或 【解析】 【分析】本题考查了展开图折成几何体，一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，正确理解题意建立方程求解是解题的关键． （1）根据长方体的展开图以及正方形的性质，先计算每个小长方形的宽，再利用体积公式计算即可； （2）（ⅰ）根据面积公式列方程求解即可，注意验证实际意义；（ⅱ）先计算出的值，再通过表格上的数据判断即可； （3）先表示出长方体包装盒的底面长，，然后分和两种情况，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：包装盒底面 为正方形， 每个小长方形的宽为， 方案一制作的无盖长方体包装盒的容积． 【小问2详解】 解：（ⅰ）根据题意得， 整理得，即， 解得或（不符合实际意义，故舍去）， 剪去的小正方形的边长为． （ⅱ）由（ⅰ）可知，当时，该包装盒的底面积为， ， 观察表格可知，当小正方形的边长为时，所得到的包装盒容积最大． 【小问3详解】 解：方案三中，该长方体包装盒的底面长，， 若，即，可得： ， 解得； 若，即，可得： ， 解得； 按方案三制作有盖长方体包装盒，可以使得长方形底面的长宽比为，剪去的小正方形的边长的值为或． 25. 【知识探究】 如图，在中，，若，垂足为点D，则有，请完成证明； 【结论应用】 如图，在菱形中，过点C作交的延长线于点E，过点E作交边于点F，当时，求的值； 【拓展提升】 如图，在菱形中，，点E在上，且，点F为上一点，连接，过点E作交于点G，，求的值． 【答案】知识探究：证明见解析；结论应用：；拓展提升：或 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形判定与性质、菱形性质及直角三角形的性质， 知识探究：证明即可证明结论； 结论应用：先证明，设，则，根据相似三角形性质求出即可求出结论； 拓展提升：连接，延长交于点M，作于点H，先求出，证明得出，进而求出，再证明，求出或，即可求出结论． 【详解】解：知识探究：在中，，， ， ， ， ， ； 结论应用：， ， 在菱形中，， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ； 拓展提升：连接，延长交于点M，作于点H， 在菱形中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 解得：或， ， 或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $