期末专题练习： 几何分类提升练习2025-2026学年人教版八年级数学上册

期末专题练习： 几何分类提升练习 一．三角形性质与运用 1．在△ABC中，CD是高，CE是角平分线． （1）若， ①求△ABC的三个内角的度数； ②求∠DCE的度数． （2）若∠A＝α，∠B＝β，且α＜β，请用含α，β的式子直接表示∠DCE的度数． 2．如图，在△ABC中，点D在边BC上． （1）若∠1＝∠2＝35°，∠3＝∠4，求∠DAC的度数； （2）若AD为△ABC的中线，AB＝9，AC＝6，△ABD的周长为22，则△ACD的周长为　 　 ． 3．如图，在△ABC中，AD是高，AE是∠BAC的平分线，∠B＝32°，∠C＝60°，求： （1）∠DAC的度数． （2）∠DAE的度数． 4．【引入概念1】：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”． 【引入概念2】：从不等边三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形．若分成的两个小三角形中一个是满足有两个角相等的三角形，另一个与原来的三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”． 【理解概念】： （1）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，请写出图中两对“等角三角形”． ①　 　 ；②　 　 ． （2）如图②，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°．请你说明CD是△ABC的等角分割线． 5．已知如图，△ABC中，D为AB上一点，连接CD．BE平分∠ABC，分别交CD、AC于点F、E． （1）如图1：若∠A＝30°，∠ACB＝80°，CD为AB边上的高，求∠CFB的度数； （2）如图2：若∠ACB＝90°且∠CFE＝∠CEF．求证：CD⊥AB． 6．新定义：如果一个三角形存在两个内角之差是第三个内角的两倍，那么称这个三角形为关于第三个内角的“差倍角三角形”．例如：在△ABC中，∠A＝100°，∠B＝60°，∠C＝20°，满足∠A﹣∠B＝2∠C，所以△ABC是关于∠C的“差倍角三角形”． （1）若在△DEF中，∠D＝110°，∠E＝40°，∠F＝30°，则△DEF是关于　 　 的“差倍角三角形”； （2）如图，在△ABC中，∠C＝30°，∠BAC和∠ABC的角平分线相交于点D，若△ABD是关于∠ABD的“差倍角三角形”，求∠BAC的度数． 二．全等三角形的判定与性质 7．如图，已知△ABC中，D为BC上一点，E为△ABC外部一点，DE交AC于一点O，AC＝AE，AD＝AB，∠BAD＝∠CAE． （1）求证：△ABC≌△ADE； （2）若∠BAD＝15°，求∠CDE的度数． 8．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，AC＝AD，∠ACB＝∠ADB，点F在ED上，∠BAF＝∠EAD． （1）求证：△ABC≌△AFD； （2）若BE＝FE，求证：AC⊥BD． 9．阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题： 如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠ABC＝2∠C，求证：AC＝AB+BD； 小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法一：如图②，在AC上截取AE，使得AE＝AB，连接DE，可以得到全等三角形，进而解决问题； 方法二：如图③，延长AB到点E，使得BE＝BD，连接DE，可以得到等腰三角形，进而解决问题． （1）根据以上材料，任选一种方法证明：AC＝AB+BD； （2）如图④，四边形ABCD中，E是BC上一点，EA＝ED，∠C＝2∠B，∠DAE+∠B＝90°，探究DC，CE，BE之间的数量关系，并证明． 10．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E为AC边上一点，连接BE与AD交于点F，G为△ABC外一点，满足∠ACG＝∠ABE，∠FAG＝∠BAC，连接EG． （1）求证：△ABF≌△ACG； （2）求证：BE＝CG+EG． 11．【问题原型】在数学活动课上，老师给出如下问题：如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，以BC为斜边作直角三角形BCD，点D，A在边BC同侧，BD与AC交于点O，连接AD，过A作AE⊥BD于点E．求证：BE＝CD+DE（请根据下面的要求完成证明）． 【解决问题】如图②，有思维敏捷的同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在BD上截取BF＝CD，连接AF，将线段BE、CD、DE之间的数量关系转化为线段DE与EF之间的数量关系．请根据上述解题思路写出证明BE＝CD+DE的完整过程． 【实践应用】 （1）∠ADC的大小为 　 　 度； （2）若O是AC的中点，且CD＝3，求四边形ABCD的面积． 12．如图，在△ABD中，∠ABC＝45°，AC，BF为△ABD的两条高． （1）求证：BE＝AD； （2）若过点C作CM∥AB，交AD于点M，求证：BE＝AM+EM． 13．如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝8cm，点D从点A出发以1cm/s的速度向点C运动，点D到达C点停止运动，同时点E从点C出发以2cm/s的速度向点B运动，点E到达B点停止运动，设运动的时间为ts．解答以下问题： （1）CD＝　 　 cm，CE＝　 　 cm（用含t的式子表示）； （2）当t为何值时，△DEC为等边三角形； （3）当△DEC为直角三角形时，求t的值． 三．轴对称与作图 14．已知，如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，现有A，B，C三点，其中点A坐标为（﹣4，1），点B坐标为（1，1）． （1）请根据点A，B的坐标在方格纸中建立平面直角坐标系，并直接写出点C坐标为 　 　 ； （2）若点C关于直线AB的对称点为点D，则点D的坐标为 　 　 ； （3）在y轴上找一点F，使△ABF的面积等于△ABD的面积，点F的坐标为 　 　 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A，B，C的坐标分别为（﹣3，2），（﹣4，﹣3），（﹣1，﹣1）． （1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； （2）求△ABC的面积． 16．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣3，1），B（﹣2，﹣3），C（2，2）．在图中画出△ABC关于x轴对称的△DEF（点A、B、C的对应点分别为点D、E、F），并直接写出点E、F的坐标． 17．如图，已知：在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，点A的坐标为（﹣3，2）．请按要求分别完成下列各小题： （1）把△ABC向下平移7个单位，再向右平移7个单位，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1； （2）画出△A1B1C1关于x轴对称的△A2B2C2；画出△A1B1C1关于y轴对称的△A3B3C3； （3）求△ABC的面积． 18．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，如图所示． （1）根据要求作图（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）： ①作∠BAC的平分线AD交BC于D； ②作线段AD的垂直平分线交AB于E，交AC于F，垂足为H； ③连接ED． （2）在（1）的基础上，写出图中全等的三角形． （3）选择其中一对全等三角形加以证明． 19．如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点分别为A（2，0），B（1，3）． （1）在此图中画出点A向左平移2个单位后得到的点C，再画出点B关于x轴的对称点D点，并写出点C，点D的坐标． （2）连接BC，AD，请直接写出BC，AD的关系． 20．如图，在直角坐标平面内，已知点A（﹣4，1），B（﹣2，4），C（﹣1，2），点P（m+4，﹣5m﹣6），PB平行于x轴． （1）求出点P的坐标； （2）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； （3）在y轴上找一点Q，使得2S△BCP＝S△BPQ，请直接写出点Q的坐标 　 　 ． 参考答案 1．解：（1）①∵， ∴∠B＝2∠A，∠ACB＝3∠A， 在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB＝180°（三角形内角和定理）， ∴∠A+2∠A+3∠A＝180°， 解得∠A＝30°， ∴∠B＝2∠A＝2×30°＝60°，∠ACB＝3∠A＝3×30°＝90°； ②∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝90°， ∴∠A+∠ACD＝90°， ∴∠ACD＝90°﹣30°＝60°， ∵CE平分∠ACB， ∴∠ACE∠ACB90°＝45°， ∴∠DCE＝∠ACD﹣∠ACE＝60°﹣45°＝15°； （2）∵在△ABC中∠A＝α，∠B＝β， ∴∠ACB＝180°﹣（∠A+∠B）＝180°﹣（α+β）， ∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝90°（垂直的定义）， ∴∠ACD＝90°﹣α， ∵CE平分∠ACB， ∴， ∴． 2．解：（1）∵∠1＝∠2＝35°，∠3＝∠1+∠2， ∴∠3＝70°， ∴∠4＝∠3＝70°， ∴∠DAC＝180°﹣∠3﹣∠4＝180°﹣70°﹣70°＝40°； （2）∵AD为△ABC的中线， ∴BD＝CD， ∵△ABD的周长为22， ∴AB+BD+AD＝22， ∵AB＝9， ∴AD+BD＝13， ∴AD+CD＝13， 又∵AC＝6， ∴AD+CD+AC＝13+6＝19，即△ACD的周长为19， 故答案为：19． 3．解：（1）∵在△ABC中，AD是高， ∴∠ADC＝90°， ∵∠C＝60°， ∴∠DAC＝90°﹣∠C＝90°﹣60°＝30°， 即∠DAC的度数为30°； （2）在△ABC中，∠B＝32°，∠C＝60°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝88°． 又∵AE是∠BAC的平分线， ∴． ∴∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC＝44°﹣30°＝14°， 即∠DAE的度数为14°． 4．（1）解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴∠ADC＝∠CDB＝∠ACB＝90°， ∵∠ACD+∠CAD＝∠ACD+∠BCD＝90°， ∴∠CAD＝∠BCD， 同理∠ACD＝∠CBD， ∴△ACD与△CBD是“等角三角形”， ∵∠CAD＝∠BAC， ∴△ACD与△ABC是“等角三角形”， 故答案为：△ACD与△CBD；△ACD与△ABC． （2）证明：∵∠A＝40°，∠B＝60°， ∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝80°， ∵CD为角平分线， ∴∠ACD＝∠BCD∠ACB＝40°， ∵∠ACD＝∠A， ∴△ACD是有两个角相等的三角形， ∴∠CDB＝2∠A＝80°＝∠ACB，∠A＝∠BCD，∠B＝∠B， ∴△CBD与原来△ABC是“等角三角形”， ∴CD是△ABC的等角分割线． 5．（1）解：∵∠A＝30°，∠ACB＝80°， ∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣30°﹣80°＝70°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE∠ABC70°＝35°， ∵CD为AB边上的高， ∴∠BDC＝90°， ∴∠CFB＝∠BDC+∠ABE＝90°+35°＝125°； （2）证明：∵∠ACB＝90°， ∴∠CBE+∠CEB＝90°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠CBE＝∠EBD， ∴∠CEB+∠EBD＝90°， ∵∠CFE＝∠CEF， ∴∠CFE+∠EBD＝90°， 又∵∠CFE＝∠BFD， ∴∠BFD+∠EBD＝90° ∴∠CDB＝180°﹣（∠BFD+∠EBD）＝180°﹣90°＝90°， ∴CD⊥AB． 6．解：（1）∵∠D＝110°，∠E＝40°，∠F＝30°， ∴∠D﹣∠F＝2∠E， ∴△DEF是关于∠E的“差倍角三角形”， 故答案为：∠E； （2）∵∠BAC和∠ABC的角平分线相交于点D， ∴，， ∵∠C＝30°， ∴， ∵∠D+∠BAD+∠ABD＝180°， ∴∠D＝180°﹣75°＝105°， ∵△ABD是关于∠ABD的“差倍角三角形”， ∴∠D﹣∠BAD＝2∠ABD， ∴∠D＝2∠ABD+∠BAD， ∴105°＝∠ABD+75°， ∴∠ABD＝105°﹣75°＝30°， ∴∠BAD＝45°， ∴∠BAC＝2∠BAD＝2×45°＝90°， 所以∠BAC的度数为90°． 7．（1）证明：∵∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC， ∵∠BAD+∠DAC＝∠BAC，∠CAE+∠DAC＝∠DAE， ∴∠BAC＝∠DAE， 在△ABC和△ADE中， ， ∴△ABC≌△ADE（SAS）； （2）解：由（1）知：△ABC≌△ADE， ∴∠E＝∠C， ∵∠AOE＝∠DOC， ∴∠CAE＝∠CDE， ∵∠BAD＝∠CAE，∠BAD＝15°， ∴∠CAE＝15°， ∴∠CDE＝15°． 8．证明：（1）∵AC，BD相交于点E，∠ACB＝∠ADB，点F在ED上， ∴∠ACB＝∠ADF， ∵∠BAF＝∠EAD， ∴∠BAF﹣∠CAF＝∠EAD﹣∠CAF， ∴∠BAC＝∠FAD， 在△ABC和△AFD中， ， ∴△ABC≌△AFD（ASA）． （2）由（1）得△ABC≌△AFD， ∴AB＝AF， ∵BE＝FE， ∴AC⊥BF，即AC⊥BD． 9．（1）证明：方法一， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵AD＝AD，AB＝AE， ∴△BAD≌△EAD（SAS）， ∴BD＝ED，∠AED＝∠B＝2∠C， ∵∠AED＝∠C+∠EDC， ∴∠EDC＝∠C， ∴ED＝EC， ∴BD＝EC， ∴AC＝AE+EC＝AB+BD； 方法二： ∵BE＝BD， ∴∠E＝∠BDE， ∴∠ABC＝∠E+∠BDE＝2∠E， ∵∠ABC＝2∠C， ∴∠E＝∠C， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵AD＝AD， ∴△AED≌△ACD（SAS）， ∴AC＝AE＝AB+BE＝AB+BD； （2）解：BE＝DC+CE， 如图，在EB上截取EF，使得EF＝DC，连接AF， ∵EA＝ED， ∴∠EAD＝∠EDA， ∴2∠DAE+∠AED＝180°， ∵∠DAE+∠B＝90°， ∴2∠DAE+2∠B＝180°， ∴∠AED＝2∠B， ∵∠C＝2∠B， ∴∠AED＝∠C， ∵∠BED＝∠AEB+∠AED＝∠CDE+∠C， ∴∠AEB＝∠CDE， 在△AEF和△EDC中， EF＝DC，∠AEF＝∠EDC，AE＝ED， ∴△AEF≌△EDC（SAS）， ∴AF＝EC，∠AFE＝∠C＝2∠B， ∵∠AFE＝∠B+∠BAF， ∴∠B＝∠BAF， ∴BF＝AF， ∴BF＝CE， ∵BE＝BF+EF， ∴BE＝DC+CE． 10．（1）证明：∵∠BAC＝∠FAG， ∴∠BAC﹣∠CAD＝∠FAG﹣∠CAD， ∴∠BAD＝∠CAG， 在△ABF和△ACG中， ， ∴△ABF≌△ACG（ASA）； （2）证明：由（1）得△ABF≌△ACG， ∴AF＝AG，BF＝CG， ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵∠BAD＝∠CAG， ∴∠CAD＝∠CAG， 在△AEF和△AEG中， ， ∴△AEF≌△AEG（SAS）． ∴EF＝EG， ∴BE＝BF+FE＝CG+EG． 11．【解决问题】证明：如图②，在BD上截取BF＝CD，连接AF， ∵∠BAC＝∠BDC＝90°，∠AOB＝∠COD， ∴∠ABF＝∠ACD， 在△ABF和△ACD中， ， ∴△ABF≌△ACD（SAS）， ∴AF＝AD， ∵AE⊥DF， ∴FE＝DE， ∵BE＝BF+EF， ∴BE＝CD+DE； 【实践应用】解：（1）∵△ABF≌△ACD， ∴AD＝AF，∠AFB＝∠ADC，∠BAF＝∠CAD， ∵∠BAC＝∠BAF+∠FAO＝90°， ∴∠FAD＝∠CAD+∠FAO＝90°， 在Rt△AFD中，∠AFE（180°﹣∠FAD）＝45°， ∴∠ADC＝∠AFB＝180°﹣∠AFE＝180°﹣45°＝135°， 故答案为：135； （2）解：∵O是AC中点， ∴AO＝CO， ∵AE⊥BD，CD⊥BD， ∴∠AEO＝∠BDC＝90°， 在△AEO与△CDO中， ， ∴△AEO≌△CDO（AAS）． ∴AE＝CD＝3， 由（1）得∠AFE＝45°， ∴∠FAE＝180°﹣∠AFE﹣∠AEF＝180°﹣90°﹣45°＝45°， ∴∠FAE＝∠AFE， ∴FE＝AE， ∵AE是等腰△AFD的高， ∴FE＝ED， ∵BF＝CD， ∴BF＝CD＝AE＝FE＝ED＝3， ∴BD＝BF+FE+ED＝3+3+3＝9， ∴四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△BCDBD×AEBD×CD9×39×3＝27． 12．证明：（1）∵AC、BF是高， ∴∠BCE＝∠ACD＝∠AFE＝90°， ∵∠AEF＝∠BEC，∠CAD+∠D+∠ACD＝180°，∠EBC+∠BCE+∠BEC＝180°， ∴∠DAC＝∠EBC， ∵∠ACB＝90°，∠ABC＝45°， ∴∠BAC＝45°＝∠ABC， ∴BC＝AC， 在△BCE和△ACD中 ∴△BCE≌△ACD（ASA）， ∴BE＝AD． （2）∵CM∥AB， ∴∠MCE＝∠BAC＝45°， ∵∠ACD＝90°， ∴∠MCD＝45°＝∠MCE， ∵△BCE≌△ACD， ∴CE＝CD， 在△CEM和△CDM中 ∴△CEM≌△CDM（SAS）， ∴ME＝MD， ∴BE＝AD＝AM+DM＝AM+ME， 即BE＝AM+EM． 13．解：（1）根据题意可得：AD＝tcm，CD＝（8﹣t）cm，CE＝2tcm， 故答案为：（8﹣t），2t； （2）∵∠A＝90°，∠B＝30°， ∴∠C＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°＝60°， ∵△DEC为等边三角形， ∴CD＝CE， 即8﹣t＝2t， 整理得，3t＝8， 解得， ∴当t为时，△DEC为等边三角形； （3）①当∠DEC为直角时，∠EDC＝90°﹣60°＝30°， ∴， ∴， ∴； ②当∠EDC为直角时，∠DEC＝90°﹣60°＝30°， ∴， ∴， ∴t＝4． 综上所述，当t为或4时，△DEC为直角三角形． 14．解：（1）建立平面直角坐标系，如图所示： 由图得，C（﹣3，3）， 故答案为：（﹣3，3）； （2）在图中作点C关于直线AB的对称点为点D， 则点D的坐标为（﹣3，﹣1）， 故答案为：（﹣3，﹣1）； （3）∵△ABF的面积等于△ABD的面积， ∴点F，点D到直线AB的距离相等， ∴|yF﹣1|＝1﹣（﹣1）＝2， 解得yF＝﹣1或3， ∵点F在y轴上， ∴F（0，﹣1）或（0，3）， 故答案为：（0，﹣1）或（0，3）． 15．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求． （2）△ABC的面积为． 16．解：△ABC关于x轴对称的△DEF（点A、B、C的对应点分别为点D、E、F），如图即为所求； 已知B（﹣2，﹣3），则其关于x轴对称的点E的坐标为（﹣2，3）， 已知C（2，2），则其关于x轴对称的点F的坐标为（2，﹣2）， 综上所述，点E的坐标为（﹣2，3），点F的坐标为（2，﹣2）． 17．解：（1）、（2）如图所示； （3）S△ABC＝2×321×21×3＝6﹣1﹣1． 18．（1）解：如图，AD、EF为所作； （2）解：△AHF≌△AHE，AHE≌△DHE，△AFH≌△DHE； （3）证明：∵EF垂直平分AD， ∴EA＝ED，∠AHE＝∠DHE＝90°， 在Rt△AHE和△DHE中， ， ∴Rt△AHE≌△DHE（HL）． 19．解：（1）点A向左平移2个单位后得到的点C，点B关于x轴的对称点D点，如图1即为所求； 由图可知，C（0，0），D（1，﹣3）． （2）线段BC，AD如图2所示， ∵A（2，0），B（1，3），C（0，0），D（1，﹣3）， ∴点B向右平移1个单位长度，向下平移3个单位长度得到点A，点C通过相同的平移得到点D， ∴线段AD可以看作由线段BC平移得到， ∴AD∥BC，AD＝BC． 20．解：（1）∵B（﹣2，4），点P（m+4，﹣5m﹣6），PB平行于x轴， ∴﹣5m﹣6＝4，解得：m＝﹣2，则m+4＝2， ∴P（2，4）； （2）如图所示； （3）∵B（﹣2，4），C（﹣1，2），P（2，4），设Q（0，n）， ∴BP＝4， 则S△BCPPB•|yC﹣yB|4×|2﹣4|＝4， ∵2S△BCP＝S△BPQ， ∴S△BPQBP|yQ﹣yB|4×|n﹣4|＝8， 即：|n﹣4|＝4， ∴n＝0或n＝8， ∴点Q的坐标为（0，0）或（0，8）； 故答案为：（0，0）或（0，8）． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/12/4 17:08:13；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $