第一章 整式的乘除 培优卷-2025-2026学年北师大版数学七年级下册

第一单元 整式的乘除 培优卷-北师大版数学七年级下册 一、单选题（每题3分，共24分） 1．（2024七下·大渡口月考）已知，，，则，，大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】幂的乘方的逆运算 【解析】【解答】解：，， ， ， ， 故选：B． 【分析】 由于三个整数幂的底数和指数都不同，因此可利用幂的乘方的逆运算把指数转化成相同数字，再对底数进行大小比较即可． 2．（2023七下·迎江期末）“白色污染”的主要来源有食品包装袋、泡沫塑料填充物等．已知一个塑料快餐盒的污染面积为，如果30万名游客每人丢弃一个快餐盒，那么造成污染的最大面积用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】科学记数法表示大于10的数；科学记数法表示数的乘法 【解析】【解答】解：万． 故答案为：A． 【分析】利用科学记数法的定义：把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为整数），这种记数法称为科学记数法，其方法如下：[①确定a，a是只有一位整数的数，②确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位上的0）].再分析求解即可. 3．（2024七下·武侯期中）小明将展开后得到；小亮将展开后得到，若两人计算过程无误，则的值为（　　） A．2023 B．2024 C．4047 D．1 【答案】C 【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用 【解析】【解答】解：， ， ∴，， ∴=， 故答案为：C． 【分析】 先利用完全平方公式将原式分别展开，然后利用平方差公式计算求值即可解答． 4．（2025七下·上城期中）设，，其中，给出以下结论：①；②当时，；则下列判断正确的是（　　） A．①，②都对 B．①，②都错 C．①对，②错 D．①错，②对 【答案】A 【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用 【解析】【解答】解：∵，， ∴，故正确 ②由题意知，， 所以，即， ．故正确． 故选：A． 【分析】 根据，，直接作差即可； ②结合平方差公式可得，从而通过配方代入数据求出； 5．（2025七下·杭州期末） 如图，正方形 ABCD 与正方形 CEFH 的面积和为 58，点 C 在线段 BE 上，点 H 在线段 CD 上，延长 FH 交 AB 于点 G. 若 ，则长方形 BCHG 的面积为（　　） A．21 B．24 C．34 D．42 【答案】A 【知识点】完全平方公式及运用 【解析】【解答】解：设正方形ABCD的边长为a，正方形CEFH的边长为b，则. ∵ ∴ ∴ 即 ∴ ∴长方形BCHG的面积为 故答案为：A . 【分析】本题运用整体思维求解，虽然不能将两个正方形的边长分别求出来，但可以利用它们之间的和与平方和的关系，巧妙变形从而得到整体的值，而这个整体就是要求的长方形的面积，问题得解。 6．（2025七下·杭州期中）已知的乘积项中不含的一次项，则与的关系是（　　） A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．乘积为-1 【答案】B 【知识点】多项式乘多项式 【解析】【解答】解：∵（x+p）（x+q）=x2+（p+q）x+pq，而已知的乘积项中不含的一次项， ∴p+q=0. ∴a与q的关系是互为相反数. 故答案为：B. 【分析】先展开（x+p）（x+q）合并同类项，可知一次项系数为p+q，而已知的乘积项中不含的一次项，所以可知p+q=0.进而可以得到a与q的关系. 7．（2018-2019学年初中数学北师大版七年级下册第一章 整式的乘除 达标检测卷 ）若A＝(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1，则A的末位数字是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【知识点】平方差公式及应用 【解析】【解答】解：∵A=(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1， ∴A＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1， ＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1， ＝(24－1)(24＋1)(28＋1)＋1， ＝(28－1)(28＋1)＋1， ＝216－1＋1， ＝216. ∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32， ∴末位数字以4为周期， ∴16=4×4， ∴216的末位数字是6， ∴原式末位数字是6. 故答案为：C. 【分析】将原式转化成A＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1，利用平方差公式计算即可得A=216，再以2的幂的末位数字以4为周期，由16=4×4得原式末位数字. 8．（2025七下·绍兴期末） 设，，，，其中，，给出以下结论：① 当时，；② 不论t为何值，。则下列判断正确的是（　　） A．①， B．都对B.①，②都错 C．①对，②错 D．①错，②对 【答案】C 【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用 【解析】【解答】解：∵，， ∴ ∴ ∴ ∴ 故①正确。 当t=-2022时，a=1，b=-1，m=0，此时无意义，故②错误。 故答案为：C . 【分析】题目中a和b的差为定值2，可设a=b+2，将问题转化为关于b的方程，通过平方差公式、完全平方公式等将复杂表达式转化为已知量的组合；对于结论②，需证明等式对任意t成立，可通过代数恒等变形或代入a-b=2进行验证。 二、填空题（每题3分，共15分） 9．（2025七下·嵊州期末） 若 (a，b 是常数)，则 a，b 满足的关系式是　 　. 【答案】2+a=4b 【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用 【解析】【解答】解： . 故答案为：2+a=4b . 【分析】利用幂的乘方，同底数幂乘法法则将原式变形后即可求得答案． 10．（2025七下·莲都期末） 如图，正方形，正方形和正方形摆放在长方形中，，且．已知正方形与正方形的面积之和为7，则长方形的面积为　 　． 【答案】3 【知识点】完全平方公式的几何背景 【解析】【解答】解：设正方形AEHG的边长为a，正方形NKCM的边长为b， 依题意得： AP=EF=BE=3a， PD=CK=b， DQ= AE =a， ∴AD=AP+PD=3-a+b， 长方形PFQD的面积为： PD·DQ= ab， ∵正方形AEHG与正方形NKCM的面积之和为7， 在长方形ABCD中， AB=3， BC= AD =4， ∴3-a+b=4， ∴b-a=1， ∴，7-2ab=1， ∴长方形PFQD的面积为3 故答案为： 【分析】设正方形AEHG的边长为a，正方形NKCM的边长为b， 依题意得AP=EF=BE=3a， PD=CK=b， DQ=AE=a， 进而得AD= AP+PD=3-a+b， 长方形PFQD的面积为PD·D 再由完全平方公式得出 由此即可得出长方形PFQD的面积. 11． 若 ， 则 的值为　 　 【答案】39 【知识点】完全平方公式及运用 【解析】【解答】解：设， 【分析】将（x+2）视为一个整体，将（x-3）视为另一个整体，运用换元法、完全平方公式求解. 12．（2023七下·紫金期中） =　 　； 【答案】 【知识点】平方差公式及应用 【解析】【解答】解：. 故答案为：. 【分析】利用平方差公式将每一项都分解成两个因式，然后约分得出计算结果。 13．我国南宋数学家杨辉用 “三角形”解释二项和的乘方规律， 称之为 “杨辉三角”， 这个 “三角形” 给出了 的展开式的系数规律 (按 的次数由大到小的顺序)． 请依据上述规律， 写出 展开式中含 项的系数是　 　． 【答案】-2023 【知识点】完全平方公式及运用；探索数与式的规律 【解析】【解答】解：根据规律： ∴展开式中第2项为， 故含 项的系数为：-2023. 故答案为：-2023 【分析】根据“杨辉三角”的展开式的系数规律计算即可. 三、解答题（共7题，共61分） 14．（2025七下·浦江月考）定义一种幂的新运算：xa⊕xb=xab+xa+b，请利用这种运算规则解决下列问题. （1）求22⊕23的值； （2）2P=3，2q=5，3q=6，求2P⊕2q的值； （3）若运算9⊕32t的结果为810，则t的值是多少? 【答案】（1）解： 答： 22⊕23的值为96； （2）解： 答： 2P⊕2q的值为21； （3）解： 答： t的值是2. 【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算；幂的乘方的逆运算 【解析】【分析】（1）直接利用公式计算即可； （2）先利用已知条件分别求出和的值，再利用公式计算即可； （3）先利用幂的乘方的逆运算把表示成，再利用公式可计算出等于81即可. 15．（2025七下·普宁期末） 数与形是数学研究的两大部分，它们间的联系称为数形结合，整式乘法中也可以利用图形面积来论证数量关系，现用砖块相同的面（如图1，长为a，宽为b的小长方形）拼出以下图形，延长部分边框，则把这些拼图置于如图所示的正方形或大长方形内，请解答下列问题. （1）图2中空白面积为，根据图形中的数量关系，用含a，b的式子表示. （2）图2，图3中空白部分面积，分别为19，68，求ab值. 【答案】（1）解：由题意可得： ； （2）解：由题意可得：①， ②， 由②-①×2，得ab = 15. 【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；用代数式表示几何图形的数量关系 【解析】【分析】（1）结合图形可知，等于大正方形的面积减去3个小长方形的面积； （2）先用a，b求出，，再计算求解即可. 16．（2025七下·宁波期中）已知有若干张正方形卡片和长方形卡片，其中型卡片是边长为的正方形，型卡片是边长为的正方形，型卡片是长为，宽为的长方形， （1）若要用这三种卡片紧密拼接成一个长为，宽为的长方形，求需要各型号卡片各多少张? （2）若要用这三种卡片紧密拼接成一个正方形，先取型卡片9张，再取型卡片4张，还需型卡片　 　张. （3）用一张型卡片，一张型卡片，一张型卡片紧密拼接成如下图所示的图形，若阴影部分的面积为型卡片的面积为48，求的值. 【答案】（1）解：拼成的长方形面积为：， 需要型号卡片3张，双型号卡片7张，型号卡片2张； 答：需要型号卡片3张，这型号卡片7张，"飞型号卡片2张 （2）12 （3）解：型卡片的面积为48， 又阴影部分的面积为32， 解得：（负值已舍去）， 又， ， 【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景 【解析】【解答】解：（2）∵9张A型卡片的面积是9a2=（3a）2，4张B型卡片的面积是4b2=（2b）2，要想再由一些C型卡片拼成正方形，正方形的面积=边长×边长。∴它们的面积和必须构成完全平方式。∴（3a）2+12ab+（2b）2=（3a+2b）2.∴需要C型卡片12张. 【分析】（1）按照要求： 用这三种卡片紧密拼接成一个长为，宽为的长方形， 可知：新长方形的面积=，所以可以得出结论：需要A型号卡片3张，C型号卡片7张，B型号卡片2张. （2）因为9张A型卡片的面积是9a2=（3a）2，4张B型卡片的面积是4b2=（2b）2，要想再由一些C型卡片拼成正方形，正方形的面积=边长×边长。它们的面积和必须构成完全平方式。而（3a）2和（2b）2只有和12ab才能配成完全平方式（3a+2b）2，所以需要C型卡片12张. （3）由C型卡片的面积为48，可知：由.而阴影部分的面积为32，进而可得方程进而解方程，求出a的值。（由于是实际问题，负值要舍去），再由ab=48，进而求出b的值即可. 17．（2025七下·南海月考）观察： ； ； …… 探究： （1）通过观察发现，材料中的计算过程逆用了平方差公式，即：________； （2）请用上述方法，求的值； 应用： （3）如图，100个圆由小到大套在一起，从外向里相间画阴影，最外面一层画阴影，最外面的圆的半径为，向里依次为，，⋯⋯，，那么在这个图形中，所有阴影的面积和是多少？（结果保留） 【答案】（1） （2）解：∵，， ∴； （3）解： ， 答：所有阴影的面积和为． 【知识点】平方差公式及应用；探索数与式的规律 【解析】【解答】解：（1）解：∵； ， ∴， 故答案为：； 【分析】（1）根据题设中式子的计算规律，得到 计算过程逆用了平方差公式 ，即可求解； （2）根据材料中式子的计算规律，进行化简、计算求值，即可得到答案； （3）根据题意，利用圆的面积公式，以及题设中式子的计算规律，进行计算求值，即可得到答案． （1）解：∵； ， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ， ∴； （3）解： ， 答：所有阴影的面积和为． 18．观察下列各式： (x-1)(x+1)=x2-1； (x-1)(x2+x+1)=x3-1； (x-1)(x3+x2+x+1)=x4-1； …… （1）根据规律可得(x- 1)(xn-1+……+x+1)=　 　 (其中n为正整数)． （2）计算：(3-1)(350 +349+348+……+32+3+1)． （3）计算：(-2)1999+(-2)1998+(-2)1997 +……+(-2)3+(-2)2+(-2)+1． 【答案】（1）xn-1 （2）解：. （3）解：(-2-1)[(-2)1999+(-2)1998+(-2)1997+……+(-2)3+(-2)2+(-2)+1] =（-2）2000-1； 故 . 【知识点】平方差公式及应用；探索数与式的规律 【解析】【解答】解：（1）(x-1)(xn-1+……+x+1)=xn-1 故答案为：xn-1. 【分析】（1）根据等式，找出规律即可求解； （2）根据等式的规律，计算即可求解； （3）配成上述结构式子，利用总结的规律即可求解. 19．（2024七下·福田期中）【知识生成】用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式，如图①，是用长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按照图②拼成一个正方形，可以得到、、三者之间的等量关系式： 【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，如图3，观察大正方体分割，可以得到等式： 【成果运用】利用上面所得的结论解答： （1）已知，，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】知识生成：； 知识迁移：； 解：（1）由， ∵，， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵； ∴． 【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景 【解析】【解答】解：知识生成：； 知识迁移： 方法一：正方体棱长为， ∴体积为， 方法二：正方体体积是长方体和小正方体的体积和，即， ∴；【分析】根据题意，利用面积相等推导公式：；利用体积相等推导； 故答案为：； （1）根据题知识生成的公式，结合，求得，进行计算，即可求解； （2）现有绝对值和偶次方的非负性，求得，根据生成的公式，结合，化简计算，即可得到答案 20．（2024七下·新田期中）类比是数学中常用的数学思想．比如，我们可以类比多位数的加、减、乘、除的竖式运算方法，得到多项式与多项式的加、减、乘、除的运算方法．例： ①② ③④ 理解应用： （1）请仿照上面的竖式计算：； （2）已知两个多项式的和为，其中一个多项式为，请用竖式的方法求出另一个多项式． （3）已知一个长为，宽为的矩形，将它的长增加8，宽增加得到一个新矩形，且矩形的周长是矩形周长的3倍（如图），求矩形的面积． 【答案】（1）解： ∴ （2）解： ∴ 另一个多项式是： （3）解：∵ 矩形B的周长是矩形A周长的3倍 ∴ 解得 ∴ 矩形B的面积为： 【知识点】整式的加减运算；多项式乘多项式 【解析】【分析】（1）根据多项式与多项式的乘法竖式的运算方法计算即可求解； （2）根据多项式与多项式的减法竖式的运算方法计算即可求解； （3）根据已知条件，先求出a，再求出面积，然后分解多项式即可． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一单元 整式的乘除 培优卷-北师大版数学七年级下册 一、单选题（每题3分，共24分） 1．（2024七下·大渡口月考）已知，，，则，，大小关系是（　　） A． B． C． D． 2．（2023七下·迎江期末）“白色污染”的主要来源有食品包装袋、泡沫塑料填充物等．已知一个塑料快餐盒的污染面积为，如果30万名游客每人丢弃一个快餐盒，那么造成污染的最大面积用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 3．（2024七下·武侯期中）小明将展开后得到；小亮将展开后得到，若两人计算过程无误，则的值为（　　） A．2023 B．2024 C．4047 D．1 4．（2025七下·上城期中）设，，其中，给出以下结论：①；②当时，；则下列判断正确的是（　　） A．①，②都对 B．①，②都错 C．①对，②错 D．①错，②对 5．（2025七下·杭州期末） 如图，正方形 ABCD 与正方形 CEFH 的面积和为 58，点 C 在线段 BE 上，点 H 在线段 CD 上，延长 FH 交 AB 于点 G. 若 ，则长方形 BCHG 的面积为（　　） A．21 B．24 C．34 D．42 6．（2025七下·杭州期中）已知的乘积项中不含的一次项，则与的关系是（　　） A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．乘积为-1 7．若A＝(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1，则A的末位数字是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 8．（2025七下·绍兴期末） 设，，，，其中，，给出以下结论：① 当时，；② 不论t为何值，。则下列判断正确的是（　　） A．①， B．都对B.①，②都错 C．①对，②错 D．①错，②对 二、填空题（每题3分，共15分） 9．（2025七下·嵊州期末） 若 (a，b 是常数)，则 a，b 满足的关系式是　 　. 10．（2025七下·莲都期末） 如图，正方形，正方形和正方形摆放在长方形中，，且．已知正方形与正方形的面积之和为7，则长方形的面积为　 　． 11． 若 ， 则 的值为　 　 12．（2023七下·紫金期中） =　 　； 13．我国南宋数学家杨辉用 “三角形”解释二项和的乘方规律， 称之为 “杨辉三角”， 这个 “三角形” 给出了 的展开式的系数规律 (按 的次数由大到小的顺序)． 请依据上述规律， 写出 展开式中含 项的系数是　 　． 三、解答题（共7题，共61分） 14．（2025七下·浦江月考）定义一种幂的新运算：xa⊕xb=xab+xa+b，请利用这种运算规则解决下列问题. （1）求22⊕23的值； （2）2P=3，2q=5，3q=6，求2P⊕2q的值； （3）若运算9⊕32t的结果为810，则t的值是多少? 15．（2025七下·普宁期末） 数与形是数学研究的两大部分，它们间的联系称为数形结合，整式乘法中也可以利用图形面积来论证数量关系，现用砖块相同的面（如图1，长为a，宽为b的小长方形）拼出以下图形，延长部分边框，则把这些拼图置于如图所示的正方形或大长方形内，请解答下列问题. （1）图2中空白面积为，根据图形中的数量关系，用含a，b的式子表示. （2）图2，图3中空白部分面积，分别为19，68，求ab值. 16．（2025七下·宁波期中）已知有若干张正方形卡片和长方形卡片，其中型卡片是边长为的正方形，型卡片是边长为的正方形，型卡片是长为，宽为的长方形， （1）若要用这三种卡片紧密拼接成一个长为，宽为的长方形，求需要各型号卡片各多少张? （2）若要用这三种卡片紧密拼接成一个正方形，先取型卡片9张，再取型卡片4张，还需型卡片　 　张. （3）用一张型卡片，一张型卡片，一张型卡片紧密拼接成如下图所示的图形，若阴影部分的面积为型卡片的面积为48，求的值. 17．（2025七下·南海月考）观察： ； ； …… 探究： （1）通过观察发现，材料中的计算过程逆用了平方差公式，即：________； （2）请用上述方法，求的值； 应用： （3）如图，100个圆由小到大套在一起，从外向里相间画阴影，最外面一层画阴影，最外面的圆的半径为，向里依次为，，⋯⋯，，那么在这个图形中，所有阴影的面积和是多少？（结果保留） 18．观察下列各式： (x-1)(x+1)=x2-1； (x-1)(x2+x+1)=x3-1； (x-1)(x3+x2+x+1)=x4-1； …… （1）根据规律可得(x- 1)(xn-1+……+x+1)=　 　 (其中n为正整数)． （2）计算：(3-1)(350 +349+348+……+32+3+1)． （3）计算：(-2)1999+(-2)1998+(-2)1997 +……+(-2)3+(-2)2+(-2)+1． 19．（2024七下·福田期中）【知识生成】用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式，如图①，是用长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按照图②拼成一个正方形，可以得到、、三者之间的等量关系式： 【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，如图3，观察大正方体分割，可以得到等式： 【成果运用】利用上面所得的结论解答： （1）已知，，求的值； （2）已知，求的值． 20．（2024七下·新田期中）类比是数学中常用的数学思想．比如，我们可以类比多位数的加、减、乘、除的竖式运算方法，得到多项式与多项式的加、减、乘、除的运算方法．例： ①② ③④ 理解应用： （1）请仿照上面的竖式计算：； （2）已知两个多项式的和为，其中一个多项式为，请用竖式的方法求出另一个多项式． （3）已知一个长为，宽为的矩形，将它的长增加8，宽增加得到一个新矩形，且矩形的周长是矩形周长的3倍（如图），求矩形的面积． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $