课后分层练(五十一) 正弦函数、余弦函数的图象-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（人教A版）

[课后分层练(五十一)]　正弦函数、余弦函数的图象 (单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分) 【基础巩固】 1．用五点法画函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象时，下列哪个点不在函数图象上(　　 ) A．(π，) B．(，1) C．(π，0) D．(2π，0) 解析：选A.用五点法画y＝sin x，x∈[0，2π]的图象，五个关键点分别为：(0，0)，(，1)，(π，0)，(，－1)，(2π，0)，所以选项A对应的点不在函数图象上． 2．函数y＝sin (－x)，x∈[－π，π]的图象是(　　 ) 解析：选D.因为y＝sin (－x)与y＝sin x的图象关于x轴对称，只有D符合题意． 3．函数y＝的定义域是(　　 ) A．[2kπ－，2kπ＋](k∈Z) B．[2kπ－，2kπ＋](k∈Z) C．[2kπ＋，2kπ＋](k∈Z) D．[2kπ－，2kπ＋](k∈Z) 解析：选D.由2cos x＋1≥0，得cos x≥－，解得2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z，所以函数的定义域是[2kπ－，2kπ＋](k∈Z). 4．在(0，2π)内，使sin x>cos x成立的x的取值范围是(　　 ) A．(，)∪(π，) B．(，π) C．(，) D．(，π)∪(，) 解析：选C.画出函数图象，如图所示，根据图象知x∈(，). 5．(多选)函数y＝1＋sin x，x∈(，2π)的图象与直线y＝t(t为常数)的交点可能有(　　 ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 解析：选ABC.在同一平面直角坐标系中，作出函数y＝1＋sin x，x∈(，2π)的图象和直线y＝t，如图所示． 由图可知，当t>2或t<0时，交点个数为0；当0<t<1或<t<2时，交点个数为2；当t＝0或1≤t≤或t＝2时，交点个数为1.综上，交点个数可能为0，1，2. 6．方程x2＝cos x的实根有________个． 解析：求方程x2＝cos x的实根个数，即求函数y＝x2和函数y＝cos x的图象交点个数． 画出函数y＝x2和函数y＝cos x的图象，如图所示，观察可得交点个数为2. 答案：2 7．函数y＝log2(2sin x＋1)的定义域为________． 解析：要使函数有意义，则必有2sin x＋1>0，即sin x>－. 画出y＝sin x，x∈的图象，如图所示． 当－<x<时，不等式sin x>－成立，故函数y＝log2(2sin x＋1)的定义域为{x＋2kπ<x<＋2kπ，k∈Z}． 答案：{x|－＋2kπ<x<＋2kπ，k∈Z} 8．请用“五点法”作出下列函数在区间[－2π，2π]的图象： (1)y＝1－cos x； (2)y＝sin |x|. 解：(1)列表： x 0 π 2π cos x 1 0 －1 0 1 1－cos x 1 1 描点，连线可得函数在[0，2π]上的图象，将函数图象向左平移2π个单位长度，就可以得到函数y＝1－cos x，x∈[－2π，2π]的图象，如图所示． (2)列表如下， x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 sin |x| 0 1 0 －1 0 描点，连线，画出函数y＝sin |x|，x∈[0，2π]的图象，如下图所示， 因为y＝sin |x|是偶函数，利用函数的奇偶性画出x∈[－2π，2π]的完整的图，如下图所示． 【综合运用】 9．(2025·山东淄博期中)在(0，2π)内，使sin x>|cos x|的x的取值范围是(　　 ) A．(，) B．(，)∪(，] C．(，) D．(，) 解析：选A.y＝sin x以及y＝|cos x|的图象如图，由图可知，x∈(，). 10．若函数f(x)＝sin x＋3|sin x|，x∈[0，2π]的图象与y＝k仅有两个不同交点，则k的取值范围是________． 解析：f(x)＝sin x＋3|sin x|＝则f(x)的图象如图所示， 由图知k的取值范围是(2，4). 答案：(2，4) 11．若函数y＝2cos x(0≤x≤2π)的图象和直线y＝2围成一个封闭的平面图形(如图)，则该封闭图形的面积为________． 解析：观察题图可知：图形S1与S2，S3与S4都是两个对称图形，有S1＝S2，S3＝S4. 因此函数y＝2cos x的图象与直线y＝2所围成的图形面积，可以等价转化为求矩形OABC的面积． ∵|OA|＝2，|OC|＝2π，∴S矩形OABC＝2×2π＝4π， ∴所求封闭图形的面积为4π. 答案：4π 12．已知函数f(x)＝ (1)作出该函数的图象； (2)若f(x)＝，求x的值； (3)若a∈R，讨论方程f(x)＝a的解的个数． 解：(1)f(x)的函数图象如下： (2)当－π≤x<0时，f(x)＝cos x＝，解得x＝－， 当0≤x≤π时，f(x)＝sin x＝，解得x＝或， 综上，x＝－或或. (3)方程f(x)＝a的解的个数等价于y＝f(x)与y＝a的图象的交点个数， 则由(1)中函数图象可得， 当a>1或a<－1时，解的个数为0； 当－1≤a<0或a＝1时，解的个数为1； 当0≤a<1时，解的个数为3. 【创新探索】 13．已知f(x)是定义在(0，3)上的函数，图象如图所示，则不等式f(x)·cos x＜0的解集是(　　) A．(0，1) B．(，3) C．(0，1)∪(，3) D．(0，) 解析：选C.当0＜x＜1时，f(x)＜0，而此时cos x＞0，满足f(x)·cos x＜0；当1＜x＜3时，f(x)＞0，由cos x＜0(x∈(1，3))，解得＜x＜3，故x∈(0，1)∪(，3). 14．用“五点法”作出函数y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的简图，并回答下列问题： (1)观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间． ①y>1；②y<1. (2)若直线y＝a与y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的图象有两个交点，求a的取值范围． 解：列表如下： x －π － 0 π sin x 0 －1 0 1 0 1－2sin x 1 3 1 －1 1 描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图． (1)由图象可知，图象在直线y＝1上方部分时y>1，在直线y＝1下方部分时y<1， 所以①当x∈(－π，0)时，y>1；②当x∈(0，π)时，y<1. (2)如图所示，当直线y＝a与y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的图象有两个交点时，1<a<3或－1<a<1，所以a的取值范围是(－1，1)∪(1，3). 学科网（北京）股份有限公司 $