课后分层练(五十五) 两角差与和的余弦公式-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（人教A版）

[课后分层练(五十五)]　两角差与和的余弦公式 (单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分) 【基础巩固】 1．cos cos －sin sin ＝(　　) A． B． C． D．1 解析：选B.cos cos －sin sin ＝cos (＋)＝cos ＝. 2．计算cos 20°cos 80°＋sin 160°cos 10°＝(　　 ) A． B． C．－ D．－ 解析：选A.cos 20°cos 80°＋sin 160°cos 10°＝cos 20°cos 80°＋sin 20°sin 80°＝cos (80°－20°)＝cos 60°＝. 3．已知α∈(0，)，若sin α＝，则cos (α－)＝(　　 ) A． B． C． D． 解析：选D.因为α∈(0，)，sin α＝，所以cos α＝＝＝，cos(α－)＝cos αcos ＋sin αsin ＝×＋×＝. 4．已知sin (α－60°)＝，30°<α<120°，则cos α＝(　　 ) A． B． C． D． 解析：选A.因为30°<α<120°，所以－30°<α－60°<60°， 又sin (α－60°)＝，所以cos (α－60°)＝， 所以cos α＝cos [(α－60°)＋60°]＝cos (α－60°)cos 60°－sin (α－60°)sin 60°＝×－×＝. 5．已知β为锐角，角α的终边过点(1，)，sin (α＋β)＝，则cos β＝(　　 ) A． B． C． D． 解析：选B.∵角α的终边过点(1，)，∴sin α＝＝，cos α＝＝. ∵sin (α＋β)＝，∴sin (α＋β)<sin α，又∵β为锐角，∴cos (α＋β)<0，由sin (α＋β)＝，可得cos (α＋β)＝－＝－， ∴cosβ＝cos [(α＋β)－α]＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α＝－×＋×＝. 6．(多选)已知α，β是锐角，cos α＝，cos (α－β)＝，则cos β＝(　　 ) A． B． C． D．－ 解析：选AC.由α是锐角，cos α＝，则sin α＝＝，又α，β是锐角，则－β∈(－，0)，得α－β＝(－，)，又cos(α－β)＝，则sin (α－β)＝±，则cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos (α－β)＋sin αsin (α－β)＝×±×＝，得cos β＝或cos β＝. 7．已知cos α＝，α∈，则cos (α－)的值为________． 解析：因为α∈，所以sin α＝－，所以cos (α－)＝cos αcos ＋sin αsin ＝×＋×＝. 答案： 8．若sin α＝，α∈(－，)，则cos (＋α)＝________. 解析：因为sin α＝，α∈(－，)，所以cos α＝，故cos (α＋)＝cos αcos －sin αsin ＝×(－)－×(－)＝－. 答案：－ 9．如图，角α，β的终边与以坐标原点为圆心的单位圆分别交于A，B两点，且A(，)，B(－，)，又α，β∈(0，π)，则cos ∠AOB＝________． 解析：由题可知，cos α＝，sin α＝，cos β＝－，sin β＝，cos ∠AOB＝cos (β－α)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×(－)＋×＝－＋＝. 答案： 10．已知cos α＝，sin (α－β)＝，且α，β∈.求： (1)cos (α－β)的值； (2)β的值． 解：(1)∵0<α<，－<－β<0，∴－<α－β<， ∴cos (α－β)＝＝. (2)∵cos α＝，α∈，∴sin α＝， ∴cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos (α－β)＋sin αsin (α－β)＝×＋×＝， 又∵β∈，∴β＝. 【综合运用】 11．(多选)已知α，β，γ∈(0，)，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，则下列说法正确的是(　　 ) A．cos (β－α)＝ B．cos (β－α)＝－ C．β－α＝ D．β－α＝－ 解析：选AC.由已知，得sin γ＝sin β－sin α，cos γ＝cos α－cos β.两式分别平方相加，得(sin β－sin α)2＋(cos α－cos β)2＝1，∴－2cos (β－α)＝－1，∴cos (β－α)＝，∴A正确，B错误．∵α，β，γ∈(0，)，∴sin γ＝sin β－sin α>0，∴β>α，∴β－α＝，∴C正确，D错误． 12．已知cos (x－)＝，则cos x＋cos (x－)＝________． 解析：因为cos x＋cos ＝cos x＋cos x＋sin x＝cos x＋sin x， cos (x－)＝cos x cos ＋sin xsin ＝cos x＋sin x＝， 所以cos x＋cos (x－)＝(cos x＋sin x)＝. 答案： 13．已知函数f(x)＝2cos (其中ω>0，x∈R)的最小正周期为10π. (1)求ω的值； (2)设α，β∈，f＝－，f(5β－)＝，求cos (α－β)的值． 解：(1)由于函数f(x)的最小正周期为10π，所以10π＝，所以ω＝. (2)因为f＝－， 所以2cos ＝2cos ＝－， 所以sin α＝， 又因为f＝， 所以2cos ＝2cos β＝， 所以cos β＝， 因为α，β∈， 所以cos α＝，sin β＝， 所以cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝. 【创新探索】 14．(新背景)《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形．若图中直角三角形两锐角分别为α，β，且小正方形与大正方形面积之比为9∶25，则cos (α－β)的值为(　　 ) A． B． C． D． 解析：选D.设大正方形的边长为1. 因为小正方形与大正方形面积之比为9∶25， 所以小正方形的边长为. 所以cos α－sin α＝　①， sin β－cos β＝　②. 因为α＋β＝， 所以cos α＝sin β，sin α＝cos β. 由①×②，得＝cos αsin β＋sin αcos β－cos αcos β－sin αsin β＝sin2β＋cos2β－cos(α－β)＝1－cos (α－β)， 解得cos (α－β)＝. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [备课札记] 学科网（北京）股份有限公司 $