5.5.2 第2课时 简单的三角恒等变换(二)-【精彩三年】2024-2025学年高中数学必修1课程探究与巩固PPT课件（人教A版2019）

第五章　三角函数 5．5　三角恒等变换 5.5.2　简单的三角恒等变换 第2课时　简单的三角恒等变换(二) 课程目标 掌握辅助角公式，能利用三角恒等变换对三角函数式进行化简、求值，并能进行一些简单的应用． 目录 CONTENTS 教材整体初识 构建与探源 01 02 ___________________________ —学科素养 对基本问题充分掌握— ____________________________ —学科素养 对学科素养融会贯通— 命题整体感知 尝试与研析 01 ___________________________ —学科素养 对基本问题充分掌握— 教材整体初识 构建与探源 课时构建 课时构建 判断正误(请在括号中打“√”或“×”) × × √ √ √ 课时构建 02 —学科素养 对学科素养融会贯通— 命题整体感知 尝试与研析 ____________________________ 类型一　三角恒等变换与三角函数性质,的综合应用 类型一　三角恒等变换与三角函数性质,的综合应用 类型一　三角恒等变换与三角函数性质,的综合应用 类型一　三角恒等变换与三角函数性质,的综合应用 类型一　三角恒等变换与三角函数性质,的综合应用 类型二　三角恒等变换在实际问题中的应用 解：如图所示，连接AP， 设∠PAB＝θ(0°≤θ≤90°)，延长RP 交AB于点M，则AM＝90cos θ，MP＝90sin θ， 类型二　三角恒等变换在实际问题中的应用 类型二　三角恒等变换在实际问题中的应用 活学活用 如图所示，某市政府决定在以政府大楼O为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆．为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼．设扇形的半径OM＝R，∠MOP＝45°，OB与OM之间的夹角为θ. (1)将图书馆底面矩形ABCD的面积S表示成θ的函数． 类型二　三角恒等变换在实际问题中的应用 (2)若R＝45 m，求当θ为何值时，矩形ABCD的面积 S最大？最大面积是多少？(取 ＝1.414) 类型二　三角恒等变换在实际问题中的应用 类型二　三角恒等变换在实际问题中的应用 [题后感悟] 实际问题的意义常反映在三角形的边、角关系上，故常建立三角函数模型解决实际的优化问题． 类型二　三角恒等变换在实际问题中的应用 当 堂 自 评 B C 类型二　三角恒等变换在实际问题中的应用 B 类型二　三角恒等变换在实际问题中的应用 D 类型二　三角恒等变换在实际问题中的应用 类型二　三角恒等变换在实际问题中的应用 类型二　三角恒等变换在实际问题中的应用 温馨提示：课后请完成高效作业66 感谢聆听，再见！ (1)辅助角公式中的φ只能取锐角．(　　) (2)y＝sin x＋cos x的最大值为2.(　　) (3)y＝cos x＋sin x＝2sin .(　　) (4)y＝3sin x－4cos x的最小值为－5.(　　) (5)y＝sin x－cos x的值域是[－，].(　　) 【解析】 (2)y＝sin x＋cos x＝sin ，最大值为. (3)y＝cos x＋sin x＝2＝2sin . (4)y＝3sin x－4cos x＝5＝5sin (x－θ)，其中sin θ＝，cos θ＝，当x＝2kπ－＋θ，k∈Z时，函数取得最小值－5. (5)y＝sin x－cos x＝sin (x－θ)，其中sin θ＝，cos θ＝，函数的值域是[－，]. (1)求y＝f的图象的对称中心． (2)若g＝f＋cos2，求使g取最大值时自变量x的集合，并求出最大值． 解：(1)f＝cos2ωx＋1＋sin 2ωx＝sin ＋1， 因为函数f的最小正周期为π，ω>0，故T＝＝π，ω＝1， f＝sin ＋1. 由2x＋＝kπ，k∈Z，得x＝－，k∈Z， 故y＝f的图象的对称中心为，k∈Z. (2)g＝－sin2＋sin＋2 ＝－＋，所以当sin ＝时， g＝，此时2x＋＝2kπ＋或2x＋＝2kπ＋， 即x＝kπ或x＝kπ＋，k∈Z，使g取最大值时自变量x的集 合为，最大值为. 活学活用 已知函数f(x)＝sin2x－sin2，x∈R. (1)求f(x)的最小正周期． (2)求f(x)在区间上的最大值和最小值． 解：(1)由已知，得f(x)＝－ ＝－cos 2x＝sin 2x－cos 2x＝sin ， 所以f(x)的最小正周期T＝＝π. (2)因为x∈， 所以2x－∈， 所以f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增， 且f＝－，f＝－，f＝， 所以f(x)在区间上的最大值为，最小值为－. [题后感悟] 研究三角函数的性质，如单调性和最值问题，通常是把复杂的三角函数通过恰当的三角变换，转化为一种简单的三角函数，再研究转化后的函数的性质．在这个过程中通常利用辅助角公式，将y＝a sin x＋b cos x转化为y＝sin (x＋φ)或y＝cos (x－φ)的形式，以便研究函数的性质． 2024·淮阴中学高一如图所示，四边形ABCD是一块边长为100 m的正方形地皮，其中AST是一半径为90 m的扇形小山，其余部分都是平地．一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P在上，相邻两边CQ，CR分别落在正方形的边BC，CD上，求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值． 所以PQ＝MB＝100－90cos θ，PR＝MR－MP＝100－90sin θ， 所以S矩形PQCR＝PQ·PR＝(100－90cos θ)·(100－90sin θ)＝10 000－9 000(sin θ＋cos θ)＋8 100sin θcos θ. 令t＝sin θ＋cos θ，t∈[1，]，则sin θcos θ＝， 所以S矩形PQCR＝10 000－9 000t＋8 100×＝4 050＋950. 故当t＝时，S矩形PQCR的最小值为950 m2； 当t＝时，S矩形PQCR的最大值为(14 050－9 000)m2. 解：(1)由题意，可知M为PQ的中点，所以OM⊥AD. 设OM与BC的交点为F，则BC＝2R sin θ，OF＝R cos θ， 所以AB＝OF－AD＝R cos θ－R sin θ. 所以S＝AB·BC＝2R sin θ(R cos θ－R sin θ) ＝R2(2sin θcos θ－2sin2θ)＝R2(sin2θ－1＋cos 2θ) ＝R2sin －R2，θ∈. (2)因为θ∈，所以2θ＋∈， 所以当2θ＋＝，即θ＝时，S有最大值． Smax＝(－1)R2＝(－1)×452＝0.414×2 025＝838.35(m2). 故当θ＝时，矩形ABCD的面积S最大，最大面积为838.35 m2. 1．函数 y＝3sin 4x＋cos 4x 的最大值是(　　) A． B．2 C．3 D．6 2．在 △ABC 中，已知 tan ＝sin C ，则 △ABC 为(　　) A．正三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 3．函数f(x)＝sin cos x的最小正周期为(　　) A．2π B．π C． D． 【解析】 f(x)＝sin cos x＝cos x ＝－sin x cos x＋cos2x＝－sin2x＋× ＝－sin 2x＋cos 2x＋＝sin ＋， 则f(x)的最小正周期为π. 4．函数y＝2sin x cos x－cos 2x的单调递增区间是(　　) A．(k∈Z) B．(k∈Z) C．(k∈Z) D．(k∈Z) 【解析】 y＝2sin x cos x－cos 2x＝sin 2x－cos 2x ＝2sin ，由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)， 得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)， ∴函数的单调递增区间是(k∈Z). 5．2024·青岛一中高一如图，有一块正方形的钢板ABCD，其中一个角有部分损坏，现要把它截成一块正方形的钢板EFGH，其面积是原正方形钢 板面积的三分之二，则应按角x＝______________来截． 或 【解析】 设正方形钢板的边长为a，截后的正方形边长为b，则＝，＝，又a＝GC＋CF＝b sin x＋b cos x，所以sin x＋cos x＝，所以sin ＝.因为0＜x＜，＜x＋＜，所以x＋＝或，x＝或. $$