课后分层练(五) 充分条件与必要条件-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（人教A版）

[课后分层练(五)]　充分条件与必要条件 (单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分) 【基础巩固】 1．下列是“四边形是矩形”的一个充分条件的是(　　) A．四边形是平行四边形 B．四边形是菱形 C．四边形是正方形 D．四边形的两条对角线相等 解析：选C.选项中能推出四边形是矩形的只有C. 2．下列说法正确的是(　　 ) A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等” B．语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”不是命题 C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题 D．“x＝2时，x2－3x＋2＝0”是真命题 解析：选D.命题“直角相等”写成“若p，则q”的形式为：若两个角都是直角，则这两个角相等，所以选项A错误； 语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是陈述句，而且可以判断真假，故该语句是命题，所以选项B错误： 选项C错误，应为“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”；选项D正确． 3．设计如图所示的四个电路图，p：“开关S闭合”，q：“灯泡L亮”，则p是q的充分不必要条件的电路图是(　　 ) 解析：选A.对于A，当开关S闭合时，灯泡L亮；当灯泡L亮时，可能是另一个开关闭合，故p是q的充分不必要条件，A正确； 对于B，当开关S闭合时，灯泡L亮，当灯泡L亮时，开关S闭合，B错误； 对于C，仅开关S闭合时，灯泡L不亮，C错误； 对于D，当开关S闭合时，灯泡L亮，当灯泡L亮时，开关S闭合，D错误． 4．(多选)使ab>0成立的充分条件是(　　) A．a>0，b>0 B．a＋b>0 C．a<0，b<0 D．a>1，b>1 解析：选ACD.因为a>0，b>0⇒ab>0；a<0，b<0⇒ab>0；a>1，b>1⇒ab>0，所以选项A，C，D都是使ab>0成立的充分条件，当a＝2，b＝－1时，a＋b>0，ab<0，故a＋b>0不是ab>0成立的充分条件． 5．(多选)下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的是(　　 ) A．若两个三角形全等，则这两个三角形相似 B．若x>5，则x>10 C．若ac＝bc，则a＝b D．若0<x<5，则|x－1|<1 解析：选BCD.对于A，两个相似的三角形不一定全等，故A不正确； 对于B，x>10能推出x>5，故B正确； 对于C，由a＝b，能推出ac＝bc，故C正确； 对于D，若|x－1|<1，则0<x<2，能推出0<x<5，故D正确． 6．(多选)使“x∈{x|x≤0，或x>2}成立的一个充分不必要条件是(　　 ) A．x≥0 B．x<0或x>2 C．x∈{－1，3，5} D．x≤0或x>2 解析：选BC.从集合的角度出发，判断哪个选项是{x|x≤0，或x>2}的真子集，只有 B，C满足题意． 7．命题“已知n∈Z，若a＝4n，则a是偶数”中，“a是偶数”是“a＝4n”的________条件；“a＝4n”是“a是偶数”的________条件．(用“充分”“必要”填空) 解析：当a是偶数时，取a＝2，不能得到a＝4n；当a＝4n时，a是偶数． 故“a是偶数”是“a＝4n”的必要条件，“a＝4n”是“a是偶数”的充分条件． 答案：必要　充分　　 8．设a是实数，若x＝1是x>a的一个充分条件，则a的取值范围是__________． 解析：因为x＝1是x>a的一个充分条件，则⊆，所以a<1，则a的取值范围是{a|a<1}． 答案：{a|a<1} 9．(学科融合)《渔樵问对》通过渔樵对话来消解古今兴亡等厚重话题，作者是邵雍，北宋儒家五子之一，下面是节选的一段译文： 樵者问渔者：“你如何钓到鱼？” 答：“我用六种物具钓到鱼．” 问：“六物具备，就能钓到鱼吗？” 答：“六物具备而钓上鱼，是人力所为；六物具备而钓不上鱼，非人力所为．一不具，则鱼不可得．”(注：六物是指鱼竿、鱼线、鱼漂、鱼坠、鱼钩、鱼饵) 由此可知，“六物具备”是“能钓上鱼”的____________条件．(用“充分不必要”“必要不充分”填空) 解析：六物具备不一定能钓上鱼，而钓上鱼肯定要六物具备．所以“六物具备”是“能钓上鱼”的必要不充分条件． 答案：必要不充分 10．下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中p是q的充分条件？哪些命题中p是q的必要条件？ (1)若x>2，则x>1； (2)若x－1＝，则x＝1； (3)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形的面积相等． 解：(1)若x>2，则x>1成立，反之不成立，即p是q的充分条件． (2)由x－1＝得x＝1或x＝2，故p是q的必要条件． (3)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形的面积相等不成立，反之也不成立，即p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件． 【综合运用】 11．(学科融合)王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”．《从军行》是他的代表作之一．“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关，黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还．”最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的(　　 ) A．必要条件 B．充分条件 C．既是充分条件又是必要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 解析：选A.返回家乡⇒攻破楼兰． 12．(多选)下列选项正确的是(　　 ) A．“x>2”是“|x|>2”的充分条件 B．在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的必要条件 C．若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b全不为 0”的充分条件 D.若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b全不为 0”的必要条件 解析：选AD.对于A，因为x>2⇒|x|>2，所以“x>2”是“|x|>2”的充分条件，选项A正确；对于B，∠A不一定为直角，故为充分条件，选项B错误；对于C，D，因为a2＋b2≠0a，b全不为0，而a，b全不为0⇒a2＋b2≠0，所以选项C错误，选项D正确． 13．设p：4x－3<1；q：x－(2a＋1)<0，若p是q的充分条件，求实数a的取值范围． 解：由4x－3<1得x<1；由x－(2a＋1)<0得x<2a＋1.记A＝{x|x<1}，B＝{x|x<2a＋1}，由题可知A⊆B，所以1≤2a＋1，所以a≥0，即实数a的取值范围是{a|a≥0}． 14．设全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤5}，集合B＝{x|2－a≤x≤1＋2a}，其中a∈R. (1)若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求a的取值范围； (2)若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求a的取值范围． 解：(1)由“x∈A”是“x∈B”的充分条件可得A⊆B， 则解得a≥2，故实数a的取值范围是{a|a≥2}． (2)由“x∈A”是“x∈B”的必要条件可得B⊆A， 当B＝∅时，2－a＞1＋2a，即a＜时，满足题意， 当B≠∅时，即a≥时，则解得≤a≤1. 综上a≤1，故实数a的取值范围是{a|a≤1}． 【创新探索】 15．(开放性问题)“一元二次方程x2－ax＋1＝0有两个正实数根”的一个充分条件可以为__________；一个必要条件可以为________． 解析：因为一元二次方程x2－ax＋1＝0有两个正实数根， 所以解得a≥2. 故一元二次方程x2－ax＋1＝0有两个正实数根的一个充分条件可以为a>3； 一元二次方程x2－ax＋1＝0有两个正实数根的一个必要条件可以为a>－1. 答案：a>3(答案不唯一)　a>－1(答案不唯一) 学科网（北京）股份有限公司 $