课后分层练(四十一) 函数的零点与方程的解-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（人教A版）

[课后分层练(四十一)]　函数的零点与方程的解 (单选题、填空题每题5分，解答题每题15分) 【基础巩固】 1．下列函数中有变号零点的是(　　 ) A．f(x)＝3x B．f(x)＝x2 C．f(x)＝log3x D．f(x)＝ 解析：选C.函数f(x)＝3x>0，不存在零点，排除A；函数f(x)＝x2，存在零点x＝0，但是当x<0时，f(x)>0，当x>0时，f(x)>0，x＝0不是变号零点，排除B；函数f(x)＝log3x存在零点x＝1，且当0<x<1时，f(x)<0，当x>1时，f(x)>0，故C正确；函数f(x)＝不存在零点，排除D. 2．函数f(x)＝的零点是(　　 ) A．(－1，0)，(1，0) B．－1，1 C．(－1，0) D．－1 解析：选B.令解得x＝－1.令 解得x＝1. 3．函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是(　　 ) A．(－2，－1) B．(－1，0) C．(0，1) D．(1，2) 解析：选B.方法一：易知f(x)在R上单调递增，又f(－1)＝－3<0，f(0)＝1>0，故函数的零点所在区间为(－1，0)． 方法二：画出y＝2x与y＝－3x的图象(图略)，知其交点在(－1，0)内． 4．方程2－x＋x2＝3的实数解的个数为(　　 ) A．2 B．3 C．1 D．4 解析：选A.构造函数y＝2－x与y＝3－x2，在同一坐标系中作出它们的图象(图略)，可知有两个交点，故方程2－x＋x2＝3的实数解的个数为2. 5．已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下x，f(x)的对应值表： x 1 2 3 4 5 6 f(x) 15 10 －7 6 －4 －5 则函数f(x)在区间[1，6]上的零点至少有(　　 ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 解析：选B.由题表可知f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，f(4)·f(5)<0，又f(x)的图象连续不断，故f(x)在区间[1，6]上至少有3个零点． 6．已知实数x0是函数f(x)＝的一个零点，若0<x1<x0<x2，则(　　 ) A．f(x1)<0，f(x2)<0 B．f(x1)<0，f(x2)>0 C．f(x1)>0，f(x2)<0 D．f(x1)>0，f(x2)>0 解析：选B.函数f(x)＝>0. 7．(一题多解)已知三个函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－2，h(x)＝log2x＋x的零点依次为a，b，c，则(　　 ) A．a<b<c B．a<c<b C．b<a<c D．c<a<b 解析：选B. 方法一：函数f(x)＝2x＋x的零点即为函数y＝2x和y＝－x图象交点的横坐标；函数g(x)＝x－2的零点即为函数y＝－2和y＝－x图象交点的横坐标；函数h(x)＝log2x＋x的零点即为函数y＝log2x和y＝－x图象交点的横坐标． 作出函数图象如图所示，由图可知a<c<b. 方法二：因为f(x)＝2x＋x在定义域上为增函数，所以f(x)最多有一个零点． ∵f(－1)＝<0，f(0)＝1>0， ∴f(x)＝2x＋x的零点a∈(－1，0)． ∵g(2)＝0，∴g(x)的零点为b＝2. 易知h(x)为定义域上的增函数， 所以h(x)最多只有一个零点． h<0，h(1)＝1>0， 所以h(x)的零点c∈，因此a<c<b. 8．函数f(x)＝|x2－2x|－a2－1(a>0)的零点的个数是________． 解析： 令f(x)＝0，则|x2－2x|＝a2＋1. 因为a>0，所以a2＋1>1. 作出函数y＝|x2－2x|的图象如图所示， 所以函数y＝|x2－2x|的图象与y＝a2＋1的图象总有两个交点，因此函数f(x)＝|x2－2x|－a2－1有两个零点． 答案：2 9．已知a∈R，函数f(x)＝ (1)求f(1)的值； (2)求函数f(x)的零点． 解：(1)当x>0时，f(x)＝1－， 所以f(1)＝1－＝0. (2)当x>0时，由(1)知1是函数f(x)的一个零点． 当x≤0时，令f(x)＝0，即(a－1)x＋1＝0　(*)． 当a>1时，由(*)得x＝<0，所以是函数f(x)的一个零点； 当a＝1时，方程(*)无解； 当a<1时，由(*)得x＝>0(舍去)． 综上所述，当a>1时，函数f(x)的零点是1和；当a≤1时，函数f(x)的零点是1. 10．已知函数f(x)＝2a·4x－2x－1. (1)当a＝1时，求函数f(x)的零点； (2)若函数f(x)有零点，求实数a的取值范围． 解：(1)当a＝1时，f(x)＝2×4x－2x－1. 令f(x)＝0，即2×(2x)2－2x－1＝0， 解得2x＝1或2x＝－(舍)． 所以x＝0，即函数f(x)的零点为0. (2)若f(x)有零点，则方程2a·4x－2x－1＝0有解， 于是2a＝＝2－有解． 因为>0，所以2a>＝0，即a>0. 故实数a的取值范围为(0，＋∞)． 【综合运用】 11．若关于x的方程(lg x)2－a·lg x＋1＝0在区间(0，1)上有两个不同的实数根，则实数a的取值范围是________． 解析：令lg x＝t，因为x∈(0，1)，所以t∈(－∞，0)， 故t2－at＋1＝0在(－∞，0)上有两个不同的实数根，令f(t)＝t2－at＋1，t∈(－∞，0)， 故解得a<－2. 答案：(－∞，－2) 12．设函数f(x)＝若函数f(x)恰有3个零点，则实数m的取值范围为_________________________________________________． 解析：由题意，设函数g(x)＝ 令f(x)＝0，即g(x)＝m，所以问题转化为函数y＝g(x)与y＝m的图象有3个交点．在平面直角坐标系内，作出函数g(x)的图象如图所示， 结合图象可知，当－1<m≤2时，函数y＝g(x)与y＝m的图象有3个交点，故实数m的取值范围为(－1，2]. 答案：(－1，2] 13．已知函数f(x)＝min{2x，－x＋1}． (1)画出函数f(x)的图象，并写出f(x)的解析式； (2)设g(x)＝， ①求出g(x)的零点，并直接写出函数的单调区间； ②若g(x)＝m有四个不同的解，直接写出m的取值范围． 解：(1)因为f(x)＝min{2x，－x＋1}， 所以f(x)＝ 函数f(x)的图象如图所示． (2)①令g(x)＝0，可得f(x)＝， 当x≤0时，2x＝，解得x＝－1； 当x>0时，－x＋1＝，解得x＝. 所以g(x)的零点为x＝－1和x＝. g(x)＝的图象如图所示， 故g(x)在(－∞，－1)，上单调递减；在(－1，0)，上单调递增． ②若g(x)＝m有四个不同的解， 则y＝g(x)与y＝m的图象有四个交点，如图所示， 所以m的取值范围为. 【创新探索】 14．已知函数f(x)＝ (1)在图中作出函数f(x)的图象(直接作图，不需要写出作图过程)； (2)求函数y＝4[f(x)]2－13f(x)＋9的零点个数． 解：(1)函数f(x)的图象如图所示． (2)在方程4[f(x)]2－13f(x)＋9＝0中，令t＝f(x)，则4t2－13t＋9＝(t－1)(4t－9)＝0，解得t＝1或t＝，即f(x)＝1或f(x)＝. 由f(x)的图象可知，直线y＝与f(x)的图象有3个公共点，即f(x)＝有3个不同的实数解；直线y＝1与f(x)的图象有4个公共点，即f(x)＝1有4个不同的实数解． 综上所述，函数y＝4[f(x)]2－13f(x)＋9的零点个数为3＋4＝7. 学科网（北京）股份有限公司 $