课后分层练(四十四) 任意角-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（人教A版）

[课后分层练(四十四)]　任意角 (单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分) 【基础巩固】 1．若α是第一象限角，则下列各角为第四象限角的是(　　 ) A．90°－α B．90°＋α C．360°－α D．360°＋α 解析：选C.因为α是第一象限角，所以－α是第四象限角，则90°－α是第一象限角，故A错误；90°＋α是第二象限角，故B错误；360°－α是第四象限角，故C正确；360°＋α是第一象限角，故D错误． 2．2 025°角是(　　 ) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 解析：选C.因为2 025°＝5×360°＋225°，可知2 025°的终边与225°的终边相同，且225°为第三象限角，所以2 025°角是第三象限角． 3．“－90°<α<90°”是“α的终边落在第一象限或落在第四象限”的(　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 解析：选D.当α＝0时满足－90°<α<90°，但是α的终边落在x轴的正半轴，则充分性不成立； 当α＝420°时，α的终边落在第一象限，则必要性不成立． 综上，“－90°<α<90°”是“α的终边落在第一象限或落在第四象限”的既不充分又不必要条件． 4．已知集合{α|k·360°＋45°≤α≤k·360°＋90°，k∈Z}，则图中表示角α的终边所在区域正确的是(　　 ) 解析：选B.当α＝k·360°＋45°，k∈Z时，角α的终边落在第一象限的角平分线上， 当α＝k·360°＋90°，k∈Z时，角α的终边落在y轴的非负半轴上， 按照逆时针旋转的方向确定范围可得角α的终边所在区域如选项B所示． 5．终边落在直线y＝x上的角α的集合为(　　 ) A．{α|α＝k·180°＋30°，k∈Z} B．{α|α＝k·180°＋60°，k∈Z} C．{α|α＝k·360°＋30°，k∈Z} D．{α|α＝k·360°＋60°，k∈Z} 解析：选B.易得y＝x的倾斜角为60°，当终边在第一象限时，a＝60°＋k·360°，k∈Z； 当终边在第三象限时，α＝240°＋k·360°，k∈Z.所以角α的集合为{α|α＝k·180°＋60°，k∈Z}． 6．(2025·福建南平期中)把分针拨快15分钟，则分针转过的角度为__________． 解析：分针拨快15分钟，则分针转过的角度为×(－360°)＝－90°. 答案：－90° 7．已知角α的终边在第四象限，则角的终边在____________象限． 解析：因为α为第四象限角，所以90°＋k·120°<<120°＋k·120°，k∈Z， 当k＝3n时，90°＋n·360°<<120°＋n·360°，n∈Z，终边在第二象限， 当k＝3n＋1时，210°＋n·360°<<240°＋n·360°，n∈Z，终边在第三象限， 当k＝3n＋2时，330°＋n·360°<<360°＋n·360°，n∈Z，终边在第四象限， 所以的终边在第二、第三或第四象限． 答案：第二、第三或第四 8．已知角α的终边在如图所示的阴影区域内，则角的取值范围是________． 解析：终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为S1＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}， 终边在180°－75°＝105°角的终边所在直线上的角的集合为S2＝{α|α＝105°＋k·180°，k∈Z}， 因此终边在题图中的阴影区域内的角α的取值范围是{α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z}， 所以角的取值范围是{|15°＋k·90°≤<52.5°＋k·90°，k∈Z}． 答案：{|15°＋k·90°≤<52.5°＋k·90°，k∈Z} 9．已知角α＝2 017°. (1)把α改写成为k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角； (2)求θ，使θ与α终边重合，且－360°≤θ<720°. 解：(1)由2 017°除以360°，得商为5，余数为217°， ∴取k＝5，β＝217°，α＝5×360°＋217°， 又β＝217°是第三象限角，α、β终边相同，∴α为第三象限角． (2)与2 017°终边重合的角：k·360°＋2 017°(k∈Z)， 令－360°≤k·360°＋2 017°<720°(k∈Z)， 解得－6≤k<－3(k∈Z)，所以k＝－6，－5，－4， 当k＝－6时，θ＝－6×360°＋2 017°＝－143°， 当k＝－5时，θ＝－5×360°＋2 017°＝217°， 当k＝－4时，θ＝－4×360°＋2 017°＝577°， 所以θ的值为－143°，217°，577°. 10．已知角x的终边落在图示阴影部分区域，写出角x组成的集合． 解：图(1)中角x组成的集合为{x|k·360°－135°≤x≤k·360°＋135°，k∈Z}； 图(2)中角x组成的集合为{x|k·360°＋30°≤x≤k·360°＋60°，k∈Z}∪{x|k·360°＋210°≤x≤k·360°＋240°，k∈Z}＝{x|n·180°＋30°≤x≤n·180°＋60°，n∈Z}． 【综合运用】 11．集合{α|k·180°≤α≤k·180°＋45°，k∈Z}中角表示的范围(用阴影表示)是图中的(　　 ) 解析：选B.集合{α|k·180°≤α≤k·180°＋45°，k∈Z}中， 当k为偶数时，此集合与{α|0°≤α≤45°}表示终边相同的角，位于第一象限； 当k为奇数时，此集合与{α|180°≤α≤225°}表示终边相同的角，位于第三象限． 所以集合{α|k·180°≤α≤k·180°＋45°，k∈Z}中角表示的范围为选项B中阴影所示． 12．(多选)下列条件中，能使α和β的终边关于y轴对称的是(　　) A．α＋β＝180° B．α＋β＝k·360°＋90°(k∈Z) C．α＋β＝k·360°(k∈Z) D．α＋β＝(2k＋1)·180°(k∈Z) 解析： 选AD.假设α，β为0°～180°内的角，如图所示，因为α，β的终边关于y轴对称，所以α＋β＝180°，所以A满足条件；结合终边相同的角的概念，可得α＋β＝k·360°＋180°＝(2k＋1)·180°(k∈Z)，所以D满足条件，B，C都不满足条件． 13．已知点P位于x轴正半轴上，射线OP在1秒内转过的角为θ(0°<θ<180°)，经过2秒到达第三象限，若经过14秒后又恰好回到出发点，则θ为 ____________． 解析：∵0°<θ<180°且k·360°＋180°<2θ<k·360°＋270°(k∈Z)， ∴必有k＝0，90°<θ<135°. 又14θ＝n·360°(n∈Z)，∴θ＝·180°， ∴90°<·180°<135°，即<n <，∴n＝4或5. 故θ＝()°或()° 答案：()°或()° 【创新探索】 14．如图，点A在半径为1且圆心在原点的圆上，且∠AOx＝45°，点P从点A处出发，以逆时针方向沿圆周匀速旋转．已知点P在1秒内转过的角度为θ(0°<θ<180°)，经过2秒钟到达第三象限，经过14秒钟又回到出发点A，求θ，并判断θ所在的象限． 解：根据题意知，14秒钟后，点P在角14θ＋45°的终边上，∴45°＋k·360°＝14θ＋45°，k∈Z. 又180°<2θ＋45°<270°， 即67.5°<θ<112.5°， ∴67.5°<<112.5°. 又k∈Z，∴k＝3或4， ∴所求的θ的值为或. ∵0°<<90°，90°<<180°， ∴θ在第一象限或第二象限． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [备课札记] 学科网（北京）股份有限公司 $