课后分层练(四十) 不同函数增长的差异-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（人教A版）

[课后分层练(四十)]　不同函数增长的差异 (单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分) 【基础巩固】 1．下列函数中，增长速度越来越慢的是(　　 ) A．y＝6x B．y＝log6x C．y＝x6 D．y＝6x 解析：选B.指数函数y＝6x的增长速度越来越快，对数函数y＝log6x的增长速度越来越慢，幂函数y＝x6的增长速度越来越快，一次函数y＝6x匀速增长． 2．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的y倍，需经过x年，则函数y＝f(x)的图象大致为(　　 ) 解析：选B.根据题意，得函数解析式为y＝(1＋10.4%)x＝1.104x(x≥0)，所以函数为指数函数， 因为1.104>1，所以函数单调递增，且过点(0，1)． 3．四个物体同时从某一点出发向前运动，其路程fi(x)(i＝1，2，3，4)关于时间x(x>1)的函数关系是f1(x)＝x2，f2(x)＝2x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x.如果它们一直运动下去，则最终在最前面的物体具有的函数关系是(　　 ) A．f1(x)＝x2 B．f2(x)＝2x C．f3(x)＝log2x D．f4(x)＝2x 解析：选D.由增长速度可知，当自变量充分大时，指数函数的值最大． 4．下表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此可判断它最可能的函数模型为(　　 ) x －2 －1 0 1 2 3 y 16 0.26 1.11 3.96 16.05 63.98 A.一次函数模型 B．二次函数模型 C．对数函数模型 D．指数函数模型 解析：选D.由题表中数据可知函数值都大于0，并且当x＝0时，y≈1，函数单调递增，而且增加的速度越来越快，符合指数函数模型． 5．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量的增长速度保持不变，则可以用来描述该厂前t(0≤t≤6)年这种产品的年产量c与时间t的函数关系的图象是(　　 ) 解析：选A.注意以下几种情形：图1表示不再增长，图2表示增速恒定不变，图3表示增长速度越来越快，图4表示增长速度逐渐变慢．分析可知A正确． 6． (多选)在某种金属材料的耐高温实验中，温度y(℃)随着时间t(min)变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示，下列说法正确的是(　　 ) A．前5 min温度增加越来越快 B．前5 min温度增加越来越慢 C．5 min后温度保持匀速增加 D．5 min后温度保持不变 答案：BC 7．函数y＝x2与函数y＝x ln x在区间(0，＋∞)上增长较快的一个是________． 解析：当x变大时，y＝x比y＝ln x增长得快，故y＝x2比y＝x ln x增长得快． 答案：y＝x2 8．现测得(x，y)的两组对应值分别为(1，2)，(2，5)，有两个待选函数模型：甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1.若又测得(x，y)的一组对应值为(3，10.2)，则应选用________作为函数模型．(填甲或乙) 解析：把x＝1，2，3分别代入甲、乙两个函数模型，经比较发现模型甲较符合． 答案：甲 9．某种动物的数量y(只)与时间x(年)的关系式为y＝alog2(x＋1)，设这种动物第一年有100只，则到第7年这种动物发展到________只． 解析：把x＝1，y＝100代入y＝alog2(x＋1)，得a＝100， 故函数关系式为y＝100log2(x＋1)， 所以当x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝300. 所以到第7年这种动物发展到300只． 答案：300 10．某科研单位在研发新产品的过程中发现了一种新材料，由大数据测得该产品的性能指标值y与这种新材料的含量x(克)的关系为：当0≤x<6时，y是x的二次函数；当x≥6时，y＝1,3x－t.测得数据如下表(部分)： x 0 1 2 9 … y 0 3 … (1)求y关于x的函数关系式y＝f(x)； (2)求函数f(x)的最大值． 解：(1)当0≤x<6时，由题意，设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 由表格数据可得 解得， 所以当0≤x<6时，f(x)＝x2＋2x. 当x≥6时，f(x)＝x－t，由表格数据可得f(9)＝9-t＝1,9，解得t＝7， 所以当x≥6时，f(x)＝x-7. 综上，f(x)＝x2＋2x，0≤x<6， x-7，x≥6. (2)当0≤x<6时，f(x)＝x2＋2x＝(x－4)2＋4，所以当x＝4时，函数f(x)的最大值为4； 当x≥6时，f(x)＝x-7单调递减， 所以f(x)的最大值为f(6)＝6-7＝3. 因为4>3，所以函数f(x)的最大值为4. 【综合运用】 11．(多选)某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表： x 1.99 3 4 5.1 6.12 y 1.5 4.04 7.5 12 18.01 对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合效果较差的3个曲线是(　　 ) A．y＝2x－2 B．y＝x C．y＝log2x D．y＝(x2－1) 解析：选ABC.可以采用特殊值代入法，取某个x的值代入，再比较函数值是否与表中数据相符．可取x＝4，经检验易知D拟合效果最好，A、B、C较差． 12．函数y＝2x－x2的图象大致是(　　 ) 解析：选A.易知在区间(0，＋∞)上，当x∈(0，2)时，2x>x2，即y>0；当x∈(2，4)时，2x<x2，即y<0；当x∈(4，＋∞)时，2x>x2，即y>0.又当x＝－1时，y＝2-1－1<0，据此可知只有A符合条件． 13． 如图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的剩留量y与净化时间t(月)的近似函数关系：y＝at(t≥0，a>0，且a≠1)的图象．有以下叙述： ①第4个月时，剩留量就会低于1,5； ②每月减少的有害物质的量都相等； ③若剩留量为，，时，所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3. 其中所有正确叙述的序号是________． 解析：根据图象过(2，)可知＝a2，解得a＝或a＝－(舍)，所以函数式为y＝(2,3)t，令t＝4，y＝16,81<1,5，故①正确； 当t＝1时，y＝，减少，当t＝2时，y＝，减少，故②错误； 令y＝，，，解得t1＝log2,3，t2＝log1,4，t3＝log1,8，所以t1＋t2＝t3，故③正确． 答案：①③ 【创新探索】 14．如图，在平面直角坐标系xOy中，过原点O的直线与函数y＝3x的图象交于A，B两点，过B作y轴的垂线交函数y＝9x的图象于点C.若AC平行y轴，则点A的坐标是________． 解析：由题意设A(n，3n)，B(m，3m)，由9n＝32n＝3m得m＝2n，即n＝，则C(，3m)，A(，)．又因为A，B，O三点共线，设直线AB对应的解析式为y＝kx(k>0)，则 解得m＝2log32，所以n＝log32，所以点A的坐标为(log32，2)． 答案：(log32，2) 15．某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP(即人均纯收入)在0.5～8千美元的地区销售该公司A饮料的情况进行调查时发现：该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减． (1)给出下列几个模拟函数： ①y＝ax2＋bx(a≠0)；②y＝kx＋b(k≠0)； ③y＝logax＋b(a>0，且a≠1)；④y＝ax＋b(a>0且a≠1)． x表示人均GDP，单位：千美元，y表示年人均A饮料的销售量，单位：L. 用哪个模拟函数来描述年人均A饮料销售量与地区人均GDP的关系更合适？说明理由； (2)若人均GDP为1千美元时，年人均A饮料的销售量为2 L，人均GDP为4千美元时，年人均A饮料的销售量为5 L，把(1)中所选的模拟函数求出来，并求出年人均A饮料的销售量最大值． 解：(1)用①来模拟比较合适．因为该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减．而②③④表示的函数均是单调函数，所以②③④都不合适，故用①来模拟比较合适． (2) 把x＝1，y＝2；x＝4，y＝5代入y＝ax2＋bx中，得 解得 所以函数的解析式为y＝－x2＋x(x∈[0.5，8])． 因为y＝－x2＋x＝－1,4x－2＋， 所以当x＝时，年人均A饮料的销售量最多，最多是 L. 学科网（北京）股份有限公司 $