课后分层练(十一) 等式性质与不等式性质-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（人教A版）

[课后分层练(十一)]　等式性质与不等式性质 (单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分) 【基础巩固】 1．已知a>b>c>d>0，则下列结论不正确的是(　　 ) A．a＋c>b＋d B．ac>bd C．> D．> 解析：选C.∵a＞b，c＞d，∴a＋c＞b＋d，故A正确； ∵a＞b＞0，c＞d＞0，∴ac＞bd，故B正确； 取a＝4，b＝3，c＝2，d＝0.1，则＝2，＝30，此时<，故C错误； ∵c＞d＞0，则>>0，又a＞b＞0，则>，故D正确． 2．若a，b∈R，则“(a－b)a2<0”是“a<b”的(　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A.由不等式(a－b)a2<0，可得a－b<0，可得a<b，即充分性成立； 反之，由a<b，可得a－b<0，又因为a2≥0，所以(a－b)a2≤0，所以必要性不成立，所以(a－b)a2<0是a<b的充分不必要条件． 3．已知a>b，c>d，且cd≠0，则(　　 ) A．ad>bc B．ac>bc C．a－c>b－d D．a＋c>b＋d 解析：选D.a，b，c，d的符号未确定，排除A、B两项； 同向不等式相减，结果未必是同向不等式，排除C项； 由同向不等式的可加性，D选项正确． 4．下列各式中，不能判断其符号的是(　　 ) A．a2＋a＋1 B．a2－a＋1 C．|a|＋a＋1 D．a2＋|a|－1 解析：选D.a2＋a＋1＝(a＋)2＋>0，故A不符合题意； a2－a＋1＝(a－)2＋>0，故B不符合题意； 当a≥0时，|a|＋a＋1＝2a＋1>0；当a<0时，|a|＋a＋1＝1>0，故C不符合题意； 当a＝0时，a2＋|a|－1＝－1; 当a＝1时，a2＋|a|－1＝1; 当a＝时，a2＋|a|－1＝0，则a2＋|a|－1的值可正，可负，也可能为0，故D符合题意． 5．(多选)已知a>－b>0，c<0，则下列不等式不恒成立的是(　　 ) A．> B．< C．a(1－c)>b(c－1) D．b(1＋c)<b(1－c) 解析：选ABD.依题意a>0，b<0，c<0， ∴<0<，故A不成立． 当a＝2，b＝－1，c＝－1时，＝，b(1＋c)>b(1－c)，故B，D不恒成立． 对于C，a(1－c)－b(c－1)＝(a＋b)(1－c)， ∵a>－b>0，c<0， ∴a＋b>0，1－c>0，则(a＋b)(1－c)>0， 故a(1－c)>b(c－1)，故C恒成立． 6．(多选)若m＋n<0且m>0，则(　　) A．n<0 B．－mn>n2 C．－mn>m2 D．|m|>|n| 解析：选AC.因为m＋n<0，且m>0，所以n<0，且|m|<|n|，A正确，D错误； 因为m＋n<0，所以n<－m，不等式两边同乘以n(n<0)得－mn>m2，B错误； 因为m＋n<0，所以n<－m，不等式两边同乘以－m(m>0)得－mn>m2，C正确． 7．已知：a，b，c，d∈R，则下列命题中必成立的有_____________． ①若a>b，c>b，则a>c； ②若a>－b，则c－a<c＋b； ③若a>b，c<d，则>： ④若a2>b2，则－a<－b. 解析：对于①，若a＝4，b＝2，c＝5，则满足a>b，c>b，而此时a<c，所以①错误， 对于②，因为a>－b，所以－a<b，所以c－a<c＋b，所以②正确， 对于③，若a＝2，b＝1，c＝－1，d＝1，则满足a>b，c<d，而此时<，所以③错误， 对于④，若a＝－1，b＝0，则满足a2>b2，而此时－a>－b，所以④错误， 答案：② 8．若α，β满足－<α<β<，则2α－β的取值范围是________． 解析：因为－<α<β<，则－<a<，－<－β<，且α－β<0，所以－π<α－β<0，所以－<(α－β)＋α<. 故2α－β的取值范围是{2α－β|－<2α－β<}． 答案：{2α－β|－<2α－β<} 9．a<b<0，求证：<. 证明：由于－＝＝. ∵a<b<0， ∴b＋a<0，b－a>0，ab>0， ∴<0，故<. 10．已知a>b>0，c<d<0，|b|>|c|，求证： (1)b＋c>0； (2)<. 证明：(1)因为|b|>|c|且b>0，c<0， 所以b>－c，即b＋c>0. (2)因为c<d<0，所以－c>－d>0. 又a>b>0，所以a－c>b－d>0， 所以>>0， 所以<<，即<. 【综合运用】 11．手机屏幕面积与整机面积的比值叫手机的“屏占比”，它是手机外观设计中一个重要参数，其值通常在0～1之间．设计师将某手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量，升级为一款新手机的外观，则该手机“屏占比”和升级前比有什么变化(　　) A．“屏占比”不变 B．“屏占比”变小 C．“屏占比”变大 D．变化不确定 解析：选C.设升级前“屏占比”为，升级后“屏占比”为(a>b>0，m>0)，因为－＝>0，所以该手机“屏占比”和升级前比变大． 12．(多选)已知实数x，y满足－1≤x＋y≤3，4≤2x－y≤9，则4x＋y可能取的值为(　　) A．1 B．2 C．15 D．16 解析：选BC.由题意，实数x，y满足－1≤x＋y≤3，4≤2x－y≤9， 令4x＋y＝m(x＋y)＋n(2x－y)，即4x＋y＝(m＋2n)x＋(m－n)y， 可得解得所以4x＋y＝2(x＋y)＋(2x－y)， 因为－2≤2(x＋y)≤6，4≤2x－y≤9，所以2≤4x＋y≤15. 13．已知12<a<60，15<b<36，求a－2b，的取值范围． 解：因为15<b<36，所以－72<－2b<－30. 又12<a<60， 所以12－72<a－2b<60－30， 即－60<a－2b<30. 因为12<a<60，所以24<2a<120， 因为15<b<36，所以<<， 所以<<， 即<<8. 所以a－2b的取值范围是{a－2b|－60<a－2b<30}，的取值范围是{|<<8}． 14．(2025·河南驻马店模拟)一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好． (1)若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为210 m2，其中窗户面积为20 m2，该公寓采光效果是否合格？ (2)若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光是变好了还是变坏了？请说明理由． 解：(1)这所公寓的窗户面积为20 m2，则地板面积为190 m2， 由题意可得＝>＝10%， 所以这所公寓的采光效果合格． (2)设窗户面积为x m2，地板面积为y m2，窗户和地板同时增加m m2， 则－＝＝， 由题意可知0<x<y，m>0， 所以>0，即>. 所以公寓的采光效果变好了． 【创新探索】 15. 阅读材料： (1)若x>y>0，且m>0，则有<. (2)若a<b，c<d，则有a＋c<b＋d. 请依据以上材料解答问题： 已知a，b，c是三角形的三边，求证：＋＋<2. 解：因为a，b，c是三角形的三边，则b＋c>a>0，由材料(1)知，<＝，同理可得<，<， 由材料(2)得＋＋<＋＋＝＝2， 所以原不等式成立． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [备课札记] 学科网（北京）股份有限公司 $