课后分层练(十五) 二次函数与一元二次方程、不等式-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（人教A版）

[课后分层练(十五)]　二次函数与一元二次方程、不等式 (单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分) 【基础巩固】 1．不等式 x2－2x>0的解集是(　　 ) A．{x} B．{x} C．{x} D．{x} 解析：选B.由x2－2x>0，得x(x－2)>0，解得x>2或x<0. 2．下列四个不等式：①－x2＋x＋1≥0；②x2－2 x＋>0；③x2＋6x＋10>0；④2x2－3x＋4<1.其中解集为R的是(　　 ) A．① B．② C．③ D．④ 解析：选C.不等式①的解集显然不为R；不等式②对应方程的根的判别式Δ1＝(－2)2－4×>0，所以不等式②的解集不为R；不等式③对应方程的根的判别式Δ2＝62－4×10<0，且对应函数图象的开口向上，故不等式③的解集为R；不等式④可化为2x2－3x＋3<0，其所对应的二次函数图象开口向上，显然不等式④的解集不为R. 3．不等式x2＋ax＋4＜0的解集不是空集，则实数a的取值范围是(　　 ) A．{a|a＞4，或a＜－4} B．{a|－4＜a＜4} C．{a|a≥4，或a≤－4} D．{a|－4≤a≤4} 解析：选A.不等式x2＋ax＋4＜0的解集不是空集，即不等式x2＋ax＋4＜0有解，所以Δ＝a2－4×1×4＞0，解得a＞4或a＜－4. 4．(新定义)在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)＜0的实数x的取值范围为(　　 ) A．{x|0＜x＜2} B．{x|－2＜x＜1} C．{x|x＜－2或x＞1} D．{x|－1＜x＜2} 解析：选B.因为x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋x－2＝x2＋x－2＜0，所以(x＋2)(x－1)＜0，所以－2＜x＜1. 5．(多选)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为{x|x≤－3，或x≥4}，则下列说法正确的是(　　 ) A．a>0 B．不等式bx＋c>0的解集为{x|x<－12} C．a＋b＋c>0 D．不等式cx2－bx＋a<0的解集为{x|x<－，或x>} 解析：选ABD.由题意知，－3和4是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，且a>0，故选项A正确； 由上可知即所以不等式bx＋c>0可化为－ax－12a>0，即x＋12<0，解得x<－12，故选项B正确； 因为1∉{x|x≤－3，或x≥4}，所以当x＝1时，有a＋b＋c<0，故选项C错误； 不等式cx2－bx＋a<0可化为－12ax2＋ax＋a<0，即12x2－x－1>0，解得x<－或x>，故选项D正确． 6．(多选)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论中正确的是(　　) A．b＝－2a B．a＋b＋c<0 C．a＋c<b D．abc<0 解析：选ACD.由题意得a<0，对称轴x＝－＝1，则b＝－2a>0，故A正确； 当x＝1时，y＝a＋b＋c>0，故B错误； 当x＝－1时，y＝a－b＋c<0，则a＋c<b，故C正确； 当x＝0时，y＝c>0，则abc<0，故D正确． 7．已知集合M＝{x|－9x2＋6x－1＜0}，N＝{x|x2－3x－4＜0}，则M∩N＝____________． 解析：解不等式－9x2＋6x－1＜0得x≠，即M＝{x|x≠}． 解不等式x2－3x－4＜0得－1＜x＜4， 即N＝{x|－1＜x＜4}． ∴M∩N＝{x|－1＜x＜4，且x≠}． 答案：{x|－1<x<4，且x≠} 8．若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＜0)的图象与x轴的两个交点为(－1，0)和(3，0)，则不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是________________． 解析： 由已知画出二次函数y＝ax2＋bx＋c的大致图象，如图，所以不等式的解集为{x|x＜－1，或x＞3}． 答案：{x|x<－1，或x>3} 9．解下列不等式： (1)－2x2＋x－6<0； (2)－x2＋6x－9≥0； (3)x2－2x－3>0； (4)－4x2＋4x－1>0. 解：(1)原不等式可化为2x2－x＋6>0. 对于方程2x2－x＋6＝0，易知函数y＝2x2－x＋6的图象开口向上， 因为Δ＝(－1)2－4×2×6＝－47<0， 所以函数y＝2x2－x＋6的图象与x轴无交点，大致如图1所示， 由图1可知原不等式的解集为R. (2) 原不等式可化为x2－6x＋9≤0，即(x－3)2≤0，函数y＝(x－3)2的图象如图2所示， 由图2可知原不等式的解集为{x|x＝3}． (3)易知方程x2－2x－3＝0的两根分别是x1＝－1，x2＝3， 则函数y＝x2－2x－3的图象与x轴有两个交点，分别为点(－1，0)和点(3，0)， 又函数y＝x2－2x－3的图象开口向上，所以该函数的图象如图3所示， 由图3可得原不等式的解集为{x|x<－1，或x>3}． (4) 原不等式可化为4x2－4x＋1<0， 易知方程4x2－4x＋1＝0有两个相等实根x1＝x2＝， 画出函数y＝4x2－4x＋1的图象如图4所示， 由图4可知原不等式的解集为∅. 【综合运用】 10．某同学求解关于x的不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)时，因弄错常数b的符号，解得解集为{x|－6<x<1}．若该同学解不等式的过程正确，则不等式cx2＋bx＋a<0 的解集为(　　 ) A． B. C. D. 解析：选C.由题意知，a<0，且－6＋1＝，－6×1＝，所以b＝－5a，c＝－6a，所以cx2＋bx＋a<0 可化为6x2＋5x－1<0，解得－1＜x＜. 11．(多选)已知关于x的不等式x2－4ax＋3a2<0(a<0)的解集为{x|x1<x<x2}，则(　　 ) A．x1x2＋x1＋x2<0的解集为{a|－<a<0} B．x1x2＋x1＋x2的最小值为－ C．x1＋x2＋的最大值为－ D．x1＋x2＋的最小值为 解析：选ABC.不等式x2－4ax＋3a2<0(a<0)的解集为{x|x1<x<x2}，根据根与系数的关系，可得x1x2＝3a2，x1＋x2＝4a.x1x2＋x1＋x2<0可化为3a2＋4a<0，解得－<a<0，∴A正确； x1x2＋x1＋x2＝3a2＋4a＝3(a＋)2－≥－，∴B正确； x1＋x2＋＝4a＋，∵a<0， ∴－4a－≥2＝，当且仅当－4a＝－，即a＝－时取等号，∴4a＋≤－，∴x1＋x2＋的最大值为－，∴C正确，D错误． 12．已知集合A＝{x|x2－2x－3>0}，B＝{x|x2＋px＋q≤0}．若A∪B＝R，且A∩B＝{x|－2≤x<－1}，求实数p及q的值． 解：因为x2－2x－3>0，即(x－3)·(x＋1)>0，解得x>3或x<－1， 所以集合A＝{x|x>3，或x<－1}． 因为A∪B＝R，A∩B＝{x|－2≤x<－1}， 所以集合B＝{x|－2≤x≤3}，因为集合B＝{x|x2＋px＋q≤0}， 所以x＝－2和x＝3是方程x2＋px＋q＝0的解， 则解得p＝－1，q＝－6. 13．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴相交于(1，0)与(3，0)两点，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集是否确定？若确定，求出其解集；若不确定，请给出一个条件，使其解集确定． 解：不确定．由二次函数的图象及一元二次不等式的关系可知： 当a>0时，ax2＋bx＋c>0的解集为{x|x<1，或x>3}； 当a<0时，ax2＋bx＋c>0的解集为{x|1<x<3}． 故只需要给a一个具体值或给定a的符号，不等式ax2＋bx＋c>0的解集就是确定的，如给定a>0，则其解集为{x|x<1，或x>3}． 【创新探索】 14．设0＜b＜1＋a，若关于x的不等式(x－b)2＞(ax)2的整数解恰有3个，求a的取值范围． 解：原不等式转化为[(1－a)x－b][(1＋a)x－b]＞0. ①当－1＜a≤1时，结合不等式解集的形式知不符合题意； ②当a＞1时，解原不等式可得＜x＜，由题意知0＜＜1，所以要使原不等式的整数解恰有3个，则需－3≤＜－2，整理得2a－2＜b≤3a－3.结合题意b＜1＋a，有2a－2＜1＋a，所以a＜3，从而有1＜a＜3.综上，a的取值范围是1＜a＜3. 学科网（北京）股份有限公司 $