课后分层练(十四) 应用基本不等式求最值-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（人教A版）

[课后分层练(十四)]　应用基本不等式求最值 (单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分) 【基础巩固】 1．已知正数a，b满足a2＋b2＝1，则ab的最大值为(　　 ) A．1 B． C． D． 解析：选C.已知正数a，b满足a2＋b2＝1，则ab≤＝，当且仅当a＝b＝时取等号． 2．若正实数x，y，且x＋2y＝1，则＋的最小值为(　　 ) A．2 B．3＋2 C．5＋2 D．7＋4 解析：选D.若正实数x，y，且x＋2y＝1， 则＋＝(＋)(x＋2y)＝4＋3＋＋≥7＋2＝7＋4， 当且仅当＝，即时等号成立． 故＋的最小值为7＋4. 3．已知正实数x，y满足＋＝1，则4xy－3x的最小值为(　　 ) A．9 B．10 C．11 D．12 解析：选A.由＋＝1，可得x＝>0，故y>1，则4xy－3x＝·[4(y－1)＋1]＝4(y－1)＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当x＝3，y＝时取等号，故目标式的最小值为9. 4．(2025·广东中山月考)若正实数a，b，满足(a＋2)(b＋1)＝9，则a＋b的最小值为(　　 ) A．9 B．6 C．3 D．2 解析：选C.令m＝a＋2，n＝b＋1，则mn＝9，a＋b＝m＋n－3≥2－3＝3，当且仅当m＝n＝3，即a＝1，b＝2时，取等号． 5．已知实数x满足0<x<，则＋的最小值为(　　 ) A．9 B．18 C．27 D．36 解析：选C.因为0<x<，所以1－3x>0， 所以＋＝(＋)[3x＋(1－3x)]＝＋＋15≥2＋15＝27， 当且仅当＝，即x＝时取等号． 故＋的最小值为27. 6．(2025·江苏苏州期中)已知实数x>y>0，则＋的最小值为(　　 ) A．12 B．9 C．6 D．3 解析：选B.＋＝＋， 设t＝－1，x>y>0，故t>0， ＋＝3(t＋1)＋＝4t＋＋5≥2＋5＝9， 当且仅当4t＝，即t＝时，等号成立． 7．(2025·山西模拟)若x>1，则函数y＝x＋的最小值为________． 解析：y＝x＋＝x＋2＋＝x－1＋＋3， 由x>1可知x－1>0， x－1＋＋3≥2＋3＝7，当且仅当x＝3时，等号成立， 即函数y＝x＋的最小值为7. 答案：7 8．已知实数x，y满足x>0，y>0，且x2＋4y2－xy＝1，则x＋2y的最大值为________． 解析：因为1＝x2＋4y2－xy＝(x＋2y)2－x(2y)，可得x(2y)＝[(x＋2y)2－1]， 又因为x(2y)≤，即[(x＋2y)2－1]≤，整理可得(x＋2y)2≤， 且x>0，y>0，则x＋2y>0，可得x＋2y≤，当且仅当x＝2y，即x＝，y＝时，x＋2y取得最大值. 答案： 9．(2025·福建福州期中)已知正数a，b，x，y满足a＋b＝10，＋＝1，x＋y的最小值为16，求a，b的值． 解：x＋y＝＝a＋b＋＋≥10＋2＝10＋2，当且仅当＝时等号成立， 因为x＋y的最小值为16，所以10＋2＝16， 所以＝3，即ab＝9， 又因为a＋b＝10，解得或 10．(2025·安徽池州期中)已知x>0，y>0，且x＋y＝5，若＋≥2m＋1恒成立，求实数m的取值范围． 解：因为x>0，y>0，且x＋y＝5，则x＋1＋y＋2＝8， 所以＋＝(＋)[(x＋1)＋(y＋2)]＝[5＋＋]≥(5＋2)＝， 当且仅当＝时，即当x＝，y＝时，等号成立， 所以＋的最小值为， 因为＋≥2m＋1恒成立， 所以2m＋1≤，解得m≤， 所以实数m的取值范围是{m|m≤}． 【综合运用】 11．(2025·天津红桥期中)已知a>b>0，则4a＋＋的最小值为(　　 ) A．2 B．2 C．6 D．4 解析：选C.由a>b>0，则2a－b>0，2a＋b>0， 所以4a＋＋＝(2a＋b)＋＋(2a－b)＋≥2＋2＝6， 当且仅当即时取等号， 所以4a＋＋的最小值为6. 12．(多选)已知a，b为正实数，且ab＋2a＋b＝16，则(　　 ) A．2a＋b的最小值为8 B．＋的最小值为 C．ab的最大值为2 D．b＋的最小值为 解析：选AD.对于选项A，由16＝ab＋2a＋b，得b＝＝－2， 所以2a＋b＝2a＋－2＝2(a＋1)＋－4≥2－4＝8， 当且仅当2(a＋1)＝，即a＝2，b＝4时取等号，所以选项A正确； 对于选项B，因为ab＋2a＋b＝16，所以＋≥2＝2＝， 当且仅当a＋1＝b＋2，即a＝3－1，b＝3－2时取等号， 此时＋取得最小值，所以选项B错误； 对于选项C，因为16＝ab＋2a＋b≥ab＋2， 当且仅当2a＝b，即a＝2，b＝4时取等号， 又>0，解不等式得0<≤2，即0<ab≤8，得到ab的最大值为8，所以选项C错误； 对于选项D，由选项A知b＝－2，由a>0，b>0，得0<a<8， 所以b＋＝＋－2＝(＋)(＋)－2＝＋－≥2－＝， 当且仅当＝，即a＝时取等号， 此时b＋取得最小值，所以选项D正确． 13．求函数y＝的最小值． 解：函数y＝的定义域为[0，＋∞)，＋1>0. ＝ ＝(＋1)＋－4 ≥2－4＝2， 当且仅当＋1＝，即x＝4时等号成立． 所以当x＝4时，函数y＝的最小值为2. 【创新探索】 14．(2025·山东聊城期中)学习与探究问题：正实数x，y满足x＋y＝1，求＋的最小值．求解本问题的方法很多，其中一种求解方法是：＋＝(＋)(x＋y)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即y＝2x，而x＋y＝1时，即x＝，y＝时等号成立．这种解题方法叫作“1”的代换． (1)利用上述求解方法解决下列问题：若实数a，b，x，y满足－＝1，试比较a2－b2与(x－y)2的大小，并注明等号成立的条件； (2)利用(1)的结论，求T＝－的最小值，并注明使得T取得最小值时t的值． 解：(1)由－＝1，可得a2－b2＝(a2－b2)(－)＝x2＋y2－(＋)， 又由＋≥2＝2|xy|，当且仅当＝时，等号成立， 所以x2＋y2－(＋)≤x2＋y2－2|xy|≤x2＋y2－2xy＝(x－y)2， 所以a2－b2≤(x－y)2，当且仅当＝且x，y同号时等号成立， 此时x，y满足－＝1. (2)令x＝且y＝，由－＝1，即－＝1， 则＝，＋＝1，解得a2＝1，b2＝， 因为T＝－，所以t≥1，9t－8＝t－1＋8t－7>t－1，则T>0， 所以T＝x－y≥＝＝， 当且仅当x＝9y>0，即x＝，y＝时等号成立，此时t＝， 所以当t＝时，T有最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $