课后分层练(十三) 基本不等式的应用-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（人教A版）

[课后分层练(十三)]　基本不等式的应用 (单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分) 【基础巩固】 1．已知正数a，b满足a＋4b＝12，则ab的最大值为(　　 ) A．3 B．6 C．9 D．12 解析：选C.因为a，b为正数，a＋4b＝12，所以ab＝a·4b≤()2＝×62＝9， 当且仅当a＝4b＝6时，等号成立， 所以当a＝6，b＝时，ab取得最大值9. 2．已知x＞，则y＝4x＋的最小值为(　　 ) A．－3 B．2 C．5 D．7 解析：选D.∵x＞，∴4x－5＞0，∴y＝4x＋＝4x－5＋＋5≥2＋5＝7，等号成立的条件是x＝. 3．(－6≤a≤3)的最大值为(　　 ) A．9 B． C．3 D． 解析：选B.因为－6≤a≤3，所以3－a≥0，a＋6≥0，所以 ≤＝，当且仅当3－a＝a＋6，即a＝－时，等号成立． 即 (－6≤a≤3)的最大值为. 4．设x＞0，则函数y＝x＋－的最小值为(　　 ) A．0 B． C．1 D． 解析：选A.因为x＞0，所以x＋＞0，所以y＝x＋－＝(x＋)＋－2≥2－2＝0，当且仅当x＋＝，即x＝时，等号成立，所以函数的最小值为0. 5．(多选)小王从甲地到乙地往返的速度分别为a和b(a<b)，其全程的平均速度为v，则(　　) A．a<v< B．v＝ C．<v< D．v＝ 解析：选AD.设甲、乙两地之间的距离为s，因为a<b，所以v＝＝<＝，又v－a＝－a＝＝>0，所以v>a，所以a<v<. 6．已知直角三角形的斜边长为20 cm，则该直角三角形面积的最大值是________． 解析：设直角三角形的两直角边长分别为a cm，b cm， 由题意得a2＋b2＝400≥2ab，当且仅当a＝b＝10 时，等号成立，∴ab≤200，∴ab≤100. 故该直角三角形面积的最大值为100 cm2. 答案：100 cm2 7．设0＜m＜，若＋≥k恒成立，则k的最大值为________． 解析：由题意可知1－2m＞0，k≤()min. 又＋＝[2m＋(1－2m)]＝4＋2(＋)≥8，当且仅当＝，即m＝时，等号成立．故k≤8，所以k的最大值为8. 答案：8 8．某地在改造体育中心时需更新所有座椅，要求座椅的使用年限为15 年，已知每千套座椅建造成本是8 万元，设每年的管理费用为y 万元，总座椅数为x 千套，两者满足关系式：y＝(0≤x≤8).15 年的总维修费用为80 万元，记w(单位：万元)为15 年的总费用．请问当设置多少套座椅时，15 年的总费用w最小？求出最小值．(总费用＝建造成本费用 ＋使用管理费用＋总维修费用) 解：由题意得，建造成本费用为8x(0≤x≤8) 万元， 使用管理费用为(0≤x≤8) 万元， 所以w＝8x＋＋80(0≤x≤8)， 则w＝4(2x＋5)＋＋60≥180， 当且仅当4(2x＋5)＝，即x＝5时，w取得最小值，即当设置5千套座椅时，15 年的总费用w最小，最小值为180 万元． 【综合运用】 9．(2025·黑龙江哈尔滨期中)已知a>0，b>0，3a＋b＝3ab，则a＋b的最小值为(　　 ) A．2 ＋3 B．4 ＋3 C．2 ＋4 D．＋ 解析：选D.因为3a＋b＝3ab，所以＋＝1， 则a＋b＝(a＋b)＝1＋＋＋≥＋2＝＋，当且仅当＝，即a＝，b＝时等号成立， 所以a＋b的最小值为＋. 10．已知a＞0，b＞0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值等于(　　 ) A．10 B．9 C．8 D．7 解析：选B.因为a＞0，b＞0， 所以＋≥⇔＋＝5＋＋≥m.由a＞0，b＞0得5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当a＝b时，等号成立．所以m≤9. 11．(数学文化)十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若不相等的两个正实数a，b满足a＋b＝4，且＋＞t恒成立，则实数t的取值范围是________． 解析：因为a>0，b>0，且a＋b＝4，所以＋＝(a＋b)(＋)＝≥(2＋2)＝1，当且仅当即a＝b＝2时等号成立．因为＋>t恒成立，所以t<1. 答案：{t|t<1} 12．已知x＞0，y＞0，xy＝x＋2y，若xy≥m－2恒成立，则实数m的最大值是________． 解析：要使xy≥m－2恒成立，即使m≤xy＋2恒成立， ∴只要m≤(xy＋2)min即可． ∵x＞0，y＞0，xy＝x＋2y， ∴xy＝x＋2y≥2，当且仅当x＝2y，即x＝4，y＝2时取等号． 令t＝(t>0)，则t2≥2t， ∴t≥2，即xy≥8，∴xy＋2的最小值为10， ∴m≤10，即m的最大值为10. 答案：10 13．某品牌电脑体验店预计全年购入360台电脑，已知该品牌电脑的进价为3 000元/台，为节约资金决定分批购入，若每批都购入x(x∈N*)台，且每批需付运费300元，储存购入的电脑全年所付保管费与每批购入电脑的总价值(不含运费)成正比(比例系数为k)，若每批购入20台，则全年需付运费和保管费7 800元． (1)记全年所付运费和保管费之和为y元，求y关于x的函数关系式； (2)若要使全年用于支付运费和保管费的资金最少，则每批应购入电脑多少台？ 解：(1)由题意，得y＝×300＋k×3 000x. 当x＝20时，y＝7 800，解得k＝0.04，所以y＝×300＋0.04×3 000x＝＋120x(x∈N*). (2)由(1)得y＝＋120x≥2＝2×3 600＝7 200，当且仅当＝120x，即x＝30时，等号成立，所以要使全年用于支付运费和保管费的资金最少，每批应购入电脑30台． 【创新探索】 14．(1)已知a，b都是正数，求证：(a＋)(b＋)≥4； (2)已知a，b，c均为正数，求证：＋＋≥3. 证明：(1)∵a>0，b>0， ∴a＋≥2＝2，b＋≥2 ＝2. 由不等式的性质，得(a＋)≥4， 当且仅当a＝b＝1时，等号成立． (2)∵a，b，c为正数，∴左边＝＋－1＋＋－1＋＋－1＝＋＋(＋)－3≥6－3＝3. 即＋＋≥3(当且仅当a＝b＝c时，等号成立). 学科网（北京）股份有限公司 $