课后分层练(十六) 一元二次不等式的应用-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（人教A版）

[课后分层练(十六)]　一元二次不等式的应用 (单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分) 【基础巩固】 1．不等式≥1的解集是(　　 ) A． B．{x|≤x<2} C． D．{x|x≥} 解析：选B.≥1⇔≥0， ∴(4x－3)(x－2)≤0且x≠2， 解得≤x<2， 则原不等式的解集为{x|≤x<2}． 2．若关于x的不等式ax－b>0的解集为{x|x>1}，则关于x的不等式>0的解集为(　　 ) A.{x|x>1，或x<－2} B．{x|1<x<2} C．{x|x>2，或x<－1} D．{x|－1<x<2} 解析：选C.因为ax－b>0的解集为{x|x>1}，所以a>0，且a＝b，故＝>0，等价为(x＋1)(x－2)>0，所以x>2或x<－1. 3．若集合A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝∅，则实数a的取值范围是(　　 ) A．{a|0<a<4} B．{a|0≤a<4} C．{a|0<a≤4} D．{a|0≤a≤4} 解析：选D.当a＝0时，满足条件； 当a≠0时，由 得0<a≤4，所以0≤a≤4. 4．设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)(n＋x)>0的解集是(　　) A．{x|x<－n，或x>m} B．{x|－n<x<m} C．{x|x<－m，或x>m} D．{x|－m<x<n} 解析：选B.方程(m－x)(n＋x)＝0的两根为m，－n，因为m＋n>0，所以m>－n. 结合函数y＝(m－x)(n＋x)的图象(图略)，得不等式的解集是{x|－n<x<m}． 5．(多选)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|x<－2，或x>4}，则(　　 ) A．a>0 B．不等式bx＋c>0的解集为{x|x<－4} C．a＋b＋c>0 D．不等式cx2－bx＋a<0的解集为{x|x<－，或x>} 解析：选ABD.依题意a>0，且ax2＋bx＋c＝0的根为－2和4， 则∴ 因此a＋b＋c＝－9a<0，所以A正确，C错误； 又bx＋c>0⇔－2ax－8a>0，∴x<－4，B正确； 不等式cx2－bx＋a<0⇔8x2－2x－1>0， 解得x>或x<－，D正确． 6．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，每涨价1元，其销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，售价b的取值范围应是________． 解析：设每个涨价a元，则涨价后的利润与原利润之差为(10＋a)(400－20a)－10×400＝－20a2＋200a. 要使商家利润有所增加，则必须使－20a2＋200a>0，即a2－10a<0，得0<a<10. 所以售价b的取值范围应为{b|90<b<100}． 答案：{b|90<b<100} 7．若关于x的不等式>0的解集为{x|<－1，或x>4}，则实数a＝________． 解析：由题意知，不等式的解集为{x|x<－1，或x>4}，则(x－a)(x＋1)>0⇔(x＋1)(x－4)>0，故a＝4. 答案：4 8．在一个限速40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m．又知甲、乙两种车型的刹车距离s m与车速x km/h之间分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2.则这次事故的主要责任方为________． 解析：由题意列出不等式 s甲＝0.1x＋0.01x2>12， s乙＝0.05x＋0.005x2>10. 分别求解，得x甲<－40或x甲>30， x乙<－50或x乙>40. 由于x>0，从而得x甲>30 km/h，x乙>40 km/h. 经比较知乙车超过限速，应负主要责任． 答案：乙车 9．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－2x－8<0}，B＝{x|<1}，C＝{x|1－a≤x<1＋a}． (1)求集合(∁UB)∩A； (2)若B∪C＝B，求实数a的取值范围． 解：(1)由x2－2x－8<0，得－2<x<4， 所以A＝{x|－2<x<4}． 由<1得<0，解得0<x<3， 所以B＝{x|0<x<3}， 所以∁UB＝{x|x≤0，或x≥3}． 所以(∁UB)∩A＝{x|－2<x≤0，或3≤x<4}． (2)因为B∪C＝B，所以C⊆B. 当1－a≥1＋a，即a≤0时，C＝∅，满足题意； 当C≠∅时，满足解得0<a<1. 综上，实数a的取值范围为{a|a<1}． 【综合运用】 10．某地每年销售木材约20万立方米，每立方米价格为2 400元，为了减少木材消耗，决定按销售收入的t%征收木材税，这样每年的木材销售量减少t万立方米．为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是(　　 ) A．{t|1≤t≤3} B．{t|3≤t≤5} C．{t|2≤t≤4} D．{t|4≤t≤6} 解析：选B.设按销售收入的t%征收木材税时，税金收入为y万元， 则y＝2 400×t%＝60(8t－t2). 令y≥900，即60(8t－t2)≥900.解得3≤t≤5. 11．(多选)下列关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a>0的解集讨论正确的是(　　) A．当a＝1时，解集为∅ B．当a>1时，解集为{x|x>a} C．当a<1时，解集为{x|x<a，或x>1} D．无论a取何值，解集均不为空集 解析：选CD.原不等式可化为(x－1)(x－a)>0. 对于A，当a＝1时，原不等式为(x－1)2>0，解得x≠1，故A错误； 对于B，当a>1时，不等式的解集为{x|x<1，或x>a}，故B错误； 对于C，当a<1时，不等式的解集为{x|x>1，或x<a}，故C正确； 对于D，对于一元二次方程x2－(a＋1)x＋a＝0，Δ＝(a＋1)2－4a＝(a－1)2≥0，所以无论a取何值，不等式的解集均不为空集，故D正确． 12．若不等式ax2＋5x＋1≤0的解集为{x|－≤x≤－}，则不等式<0的解集为________． 解析：依题意，方程ax2＋5x＋1＝0有两根－与－， ∴－＋＝－，且＝， 故a＝6， 则<0⇔<0， ∴(x－2)(x－3)<0，解之得2<x<3. 答案：{x|2<x<3} 13．已知关于x的不等式x2－mx＋m>0，其中m为参数． (1)若该不等式的解集为R，求m的取值范围； (2)当x>1时，该不等式恒成立，求m的取值范围． 解：(1)由题意得m2－4m<0，解得0<m<4， ∴m的取值范围为{m|0<m<4}． (2)当x>1时，x－1>0， ∴x2－mx＋m>0⇔m<. ∵＝＝(x－1)＋＋2≥2＋2＝4， 当且仅当x－1＝，即x＝2时取到等号，∴m<4， ∴m的取值范围是{m|m<4}． 【创新探索】 14．现有如图所示的矩形地块AMPN，其中AM＝60 m，AN＝40 m，现根据市政规划建设占地如图中矩形ABCD所示的幼儿园，要求顶点C在地块的对角线MN上，B，D分别在边AM，AN上． (1)要使幼儿园的占地面积不小于576 m2，AB的长度应该在什么范围内？ (2)如何设计才能使幼儿园的占地面积最大？最大面积是多少？ 解：(1)使AB＝x m，由题意得△NDC∽△NAM， ∴＝，即＝， 则AD＝ m. 设矩形ABCD的面积为S m2，则S＝40x－x2(0<x<60). 要使幼儿园的占地面积不小于576 m2， 则40x－x2≥576，化简得x2－60x＋864≤0，解得24≤x≤36. (2)S＝40x－x2＝x(60－x)≤＝600，当且仅当x＝60－x，即x＝30时等号成立，此时AD＝40－×30＝20(m)，故当AB＝30 m，AD＝20 m时，幼儿园的占地面积最大，最大面积是600 m2. 学科网（北京）股份有限公司 $