课后分层练(十二) 基本不等式-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（人教A版）

[课后分层练(十二)]　基本不等式 (单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分) 【基础巩固】 1．给出条件①ab>0；②ab<0；③a>0，b>0；④a<0，b<0，其中能使ab＋≥2成立的条件有(　　 ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 解析：选C.由基本不等式可知，要使ab＋≥2成立，则ab＞0，所以a，b同号，所以①③④均可以． 2．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则t与s的大小关系是(　　 ) A．s≥t B．s＞t C．s≤t D．s＜t 解析：选A.因为b2＋1≥2b，所以a＋b2＋1≥a＋2b，即s≥t. 3．若0<a<b，则下列不等式成立的是(　　 ) A. ＜＜a＜b B．a＜ ＜＜b C. ＜a＜＜b D．a＜＜ ＜b 解析：选B.因为0<a<b，所以a＜ ，＜b.当0<a<b时，由基本不等式得 ＜，所以a＜ ＜＜b. 4．(数学文化)《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”．如图所示，AB是半圆O的直径，点C是AB上一点(不同于A，B，O)，点D在半圆O上，且CD⊥AB，CE⊥OD于E，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的“无字证明”为(　　 ) A. ≤(a＞0，b＞0) B．＜(a＞0，b＞0，a≠b) C.≤ (a＞0，b＞0) D．＜ ＜(a＞0，b＞0，a≠b) 解析：选D.由AC＝a，BC＝b，可得半圆O的半径DO＝，易得DC＝＝，DE＝＝.因为DE＜DC＜DO，所以＜ ＜(a＞0，b＞0，a≠b). 5．(多选)下列说法正确的是(　　 ) A．若0<x<，则x(1－2x)的最大值为 B．函数y＝(x>－1)的最小值为2 C．已知x>0，y>0，且x＋2y＝2，则3x＋9y的最小值为6 D．若正数x，y满足x2＋xy－2＝0，则3x＋y的最小值是4 解析：选ACD.对于A，因为0<x<，所以1－2x>0，所以x(1－2x)＝×2x(1－2x)≤×()2＝，当且仅当2x＝1－2x，即x＝时，等号成立，所以x(1－2x)的最大值为，故A正确； 对于B，因为x>－1，所以x＋1>0，所以y＝＝＝x＋1＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x＋1＝，即x＝0时等号成立，所以函数y＝的最小值为3，故B错误； 对于C，因为x>0，y>0，x＋2y＝2，则3x＋9y≥2＝2＝6，当且仅当即时，等号成立，所以3x＋9y的最小值为6，故C正确； 对于D，因为x2＋xy－2＝0，x>0，y>0，所以y＝－x，则3x＋y＝3x－x＋＝2x＋≥2＝4，当且仅当2x＝即x＝1时等号成立，此时y＝1，所以3x＋y的最小值为4，故D正确． 6．若a＞b＞c，则与 的大小关系是____________________． 解析：因为a＞b＞c，所以＝≥ ，当且仅当a－b＝b－c，即2b＝a＋c时，等号成立． 答案：≥ 7．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率x与增长率的平均值的大小关系为________． 解析：用两种方法求出第三年的产量分别为A(1＋a)(1＋b)，A(1＋x)2，则有(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b). ∴1＋x＝ ≤＝1＋， ∴x≤，当且仅当a＝b时，等号成立． 答案：x≤ 8．已知0<x<，求y＝x(1－3x)的最大值． 解：因为0<x<，所以1－3x>0， 则y＝x(1－3x)＝≤＝， 当且仅当3x＝1－3x，即x＝时，取等号， 所以y＝x(1－3x)的最大值为. 9．已知x，y都是正数，求证：(x＋y)(x2＋y2)·(x3＋y3)≥8x3y3. 证明：∵x，y都是正数， ∴x2＞0，y2＞0，x3＞0，y3＞0，x＋y≥2＞0， ∴x2＋y2≥2＞0，x3＋y3≥2＞0(当且仅当x＝y时等号成立). ∴(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥2·2·2， 即(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3，当且仅当x＝y时，等号成立． 【综合运用】 10．(2025·安徽江淮质检)已知正数a，b满足(a－1)(b－2)＝4，则a＋4b的最小值为(　　 ) A．16 B．17 C．18 D．19 解析：选B.由(a－1)(b－2)＝4，得或 当时，又a>0，b>0， 所以 此时(a－1)(b－2)＝4不可能成立，故a＋4b＝(a－1)＋4(b－2)＋9≥2＋9＝17， 当且仅当即时取等号． 11．(多选)设a＞0，b＞0，则下列不等式恒成立的是(　　 ) A．a2＋1＞a B．a2＋9＞6a C．(a＋b) ≥4 D. ≥4 解析：选ACD.设a＞0，b＞0，a2＋1－a＝＋＞0，A成立；a2＋9－6a＝(a－3)2≥0，B不成立；(a＋b)＝1＋＋＋1≥2＋2＝4，当且仅当＝，即a＝b时取等号，故C成立；a＋≥2，b＋≥2，所以≥4，当且仅当a＝，b＝，即a＝b＝1时取等号，故D成立． 12．已知a，b是不相等的正数，x＝，y＝，则x，y的大小关系是________． 解析：由题意得x2＝，y2＝a＋b＝. ∵a＋b＞2(a≠b)，∴x2＜y2. 又∵x＞0，y＞0，∴x＜y. 答案：x＜y 13．根据要求完成下列问题： (1)已知x>0，y>0，2x＋3y＝1，求出＋的最小值，以及取最小值时x，y的值； (2)已知a，b，c，d∈R，比较(a2＋b2)(c2＋d2)与(ac＋bd)2的大小并说明理由． 解：(1)因为x>0，y>0，2x＋3y＝1， 所以＋＝(＋)(2x＋3y)＝12＋＋≥12＋2＝24，当且仅当＝即2x＝3y＝时等号成立， 所以＋的最小值为24，此时x＝，y＝. (2)(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，理由如下： 因为(a2＋b2)(c2＋d2)－(ac＋bd)2＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2－a2c2－b2d2－2acbd＝a2d2＋b2c2－2acbd＝(ad－bc)2≥0， 所以(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2. 【创新探索】 14．(2025·福建期末)设a＞0，b＞0，c＞0，证明： (1)＋≥； (2)＋＋≥＋＋. 证明：(1)∵a＞0，b＞0， ∴(a＋b)≥2·2 ＝4，当且仅当a＝b时，等号成立， ∴＋≥. (2)由(1)可得＋≥， 同理可得＋≥，＋≥， 三式相加，得2≥＋＋， ∴＋＋≥＋＋. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [备课札记] 学科网（北京）股份有限公司 $