课后分层练(十八) 函数的概念(一)-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（人教A版）

[课后分层练(十八)]　函数的概念(一) (单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分) 【基础巩固】 1．下列对应是从集合A到集合B的函数的是(　　) A．A＝R，B＝{x∈R|x＞0}，f：x→ B．A＝N，B＝N*，f：x→|x－1| C．A＝{x∈R|x＞0}，B＝R，f：x→x2 D．A＝R，B＝{x∈R|x≥0}，f：x→ 解析：选C.A中，x＝0时，集合B中没有元素与之对应；B中，x＝1时，|x－1|＝0，集合B中没有元素与之对应；C正确；D中，当x为负数时，B中没有元素与之对应． 2．函数y＝的定义域是(　　) A．{x|x＜－，或x＞1} B． C． D． 解析：选B.由题意，可得2－≥0，即≥0，即2x2－x－1≥0，解得x≤－或x≥1. 3．已知函数f(x＋2)＝x2－3x＋4，则f(1)＝(　　) A．4 B．6 C．7 D．8 解析：选D.由x＋2＝1，得x＝－1.令x＝－1，得f(1)＝(－1)2－3×(－1)＋4＝1＋3＋4＝8. 4．函数f(x)＝x2＋1(0<x≤2且x∈N*)的值域是(　　) A．{x|x≥1} B．{x|x>1} C．{2，3} D．{2，5} 解析：选D.因为0<x≤2且x∈N*，所以x＝1或x＝2，所以f(1)＝2，f(2)＝5，故函数的值域为{2，5}． 5．若函数f(x)＝ax2－1，a为一个正数，且f(f(－1))＝－1，那么a的值是(　　) A．1 B．0 C．－1 D．2 解析：选A.因为f(x)＝ax2－1，所以f(－1)＝a－1，f(f(－1))＝f(a－1)＝a·(a－1)2－1＝－1，所以a(a－1)2＝0.又因为a为正数，所以a＝1. 6．(多选)托马斯说：“函数概念是近代数学思想之花．”根据函数的概念判断：下列对应关系是集合M＝{－1，2，4}到集合N＝{1，2，4，16}的函数的是(　　) A．y＝2x B．y＝x＋2 C．y＝x2 D．y＝ 解析：选CD.对于A，当x＝－1时，y＝－2，没有对应值，不满足条件；对于B，当x＝4时，y＝x＋2＝6，没有对应值，不满足条件；C，D满足条件． 7．(多选)下列函数中，定义域为{x}的是(　　) A．y＝ B．y＝ C．y＝＋(3x－3)0 D．y＝(2x－2)0 解析：选AC.对于A选项，依题可知x－1≠0，且2x－2≥0，所以x>1，故A符合题意； 对于B选项，依题可知x－1≥0，所以x≥1，故B不符合题意； 对于C选项，依题可知x－1≥0，且3x－3≠0，所以x>1，故C符合题意； 对于D选项，依题可知2x－2≠0，所以x≠1，故D不符合题意． 8．若函数y＝的定义域为R，则实数a的取值范围为________． 解析：由题意不等式ax2－4ax＋3＞0的解集为R，当a＝0时，不等式变为3＞0，解集为R，符合题意．当a≠0时，实数a应满足条件解得0＜a＜.综上，实数a的取值范围为{a|0≤a＜}． 答案： 9．已知函数f(x)＝x2－mx＋n且f(1)＝－1，f(n)＝m，则f(f(－1))＝________，f(f(x))＝________． 解析：由题意知解得 所以f(x)＝x2－x－1，故f(－1)＝1， f(f(－1))＝f(1)＝－1， f(f(x))＝f(x2－x－1)＝(x2－x－1)2－(x2－x－1)－1＝x4－2x3－2x2＋3x＋1. 答案：－1　x4－2x3－2x2＋3x＋1 10．已知f(x)＝， (1)求f(x)的定义域； (2)求证：f()＝－f(x)； (3)若f(a)＝2，求a. 解：(1)若使函数f(x)＝有意义，需满足1－x2≠0，即x≠±1. 所以函数f(x)＝的定义域为{x|x≠±1}． (2)证明：∵f()＝＝＝， －f(x)＝－＝， ∴f()＝－f(x). (3)∵f(a)＝2，∴＝2， ∴3a2＝1，解得a＝±. 【综合运用】 11．函数y＝f(x)的图象如图所示，那么f(x)的定义域是______，其中只与x的一个值对应的y值的范围是________． 解析：观察函数图象可知，f(x)的定义域是[－3，0]∪[2，3]；只与x的一个值对应的y值的范围是[1，2)∪(4，5]. 答案：[－3，0]∪[2，3]　[1，2)∪(4，5] 12．已知f(x)满足f(ab)＝f(a)＋f(b)且f(2)＝p，f(3)＝q，则f(72)＝________． 解析：因为f(ab)＝f(a)＋f(b)， 所以f(9)＝f(3)＋f(3)＝2q， f(8)＝f(4)＋f(2)＝f(2)＋f(2)＋f(2)＝3p， 所以f(72)＝f(8×9)＝f(8)＋f(9)＝3p＋2q. 答案：3p＋2q 13．一个小球被抛出后经过6 s落地，小球在空中运动时与地面的最大距离为9 m，且小球的高度h与运动时间t之间的关系为h＝－t2＋6t，求该关系所表示的函数的定义域和值域，并用函数的定义来描述这个函数． 解：定义域为A＝， 因为h＝－t2＋6t＝－2＋9，则值域为B＝， 对应关系h＝－t2＋6t把集合A中的任意一个数t，对应到集合B中唯一确定的数－t2＋6t. 14．(一题多解)已知f(x)＝，x∈R. (1)计算f(a)＋f()的值； (2)计算f(1)＋f(2)＋f()＋f(3)＋f()＋f(4)＋f()的值． 解：(1)由于f(a)＝，f()＝， 所以f(a)＋f()＝1. (2)法一　因为f(1)＝＝， f(2)＝＝， f()＝＝， f(3)＝＝，f()＝＝， f(4)＝＝，f()＝＝， 所以f(1)＋f(2)＋f()＋f(3)＋f()＋f(4)＋f()＝＋＋＋＋＋＋＝. 法二　由(1)知，f(a)＋f()＝1， 则f(2)＋f()＝f(3)＋f()＝f(4)＋f()＝1， 即[f(2)＋f()]＋[f(3)＋(f())]＋[f(4)＋f()]＝3， 而f(1)＝，所以f(1)＋f(2)＋f()＋f(3)＋f()＋f(4)＋f()＝. 【创新探索】 15．(多选)(数学文化)德国数学家狄利克雷(1805—1859)在1837年时提出：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，那么y是x的函数．”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个x，有一个确定的y和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示，如狄利克雷函数D(x)，即当自变量取有理数时，函数值为1；当自变量取无理数时，函数值为0.以下关于狄利克雷函数D(x)的性质正确的有(　　) A．D()＝1 B．D(x)的值域为[0，1] C．D(x)的定义域为R D．D(x－1)＝D(x) 解析：选CD.因为是无理数，所以D()＝0，故A错误；D(x)的值域为{0，1}，故B错误；D(x)的定义域为R，故C正确；当x为有理数时，x－1也为有理数，所以此时D(x－1)＝D(x)＝1，当x为无理数时，x－1也为无理数，所以此时D(x－1)＝D(x)＝0，所以对x∈R，都有D(x－1)＝D(x)，故D正确． 学科网（北京）股份有限公司 $