课后分层练(十) 不等关系与不等式-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（人教A版）

[课后分层练(十)]　不等关系与不等式 (单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分) 【基础巩固】 1．在开山工程爆破时，已知导火线燃烧的速度是0.5 cm/s，人跑开的速度为4 m/s，为了使点燃导火线的人能够在爆破时跑到100 m以外的安全区，导火线的长度x(cm)应满足的不等式为(　　 ) A．4×≥100 B．4×≤100 C．4×＞100 D．4×＜100 解析：选C.导火线燃烧的时间为 s，人在这段时间跑的路程为4× m．由题意可得4×＞100. 2．若a≠2，且b≠－1，则M＝a2＋b2－4a＋2b的值与－5的大小关系是(　　 ) A．M＞－5 B．M＜－5 C．M＝－5 D．不能确定 解析：选A.M＝(a－2)2＋(b＋1)2－5＞－5. 3．下列不等式，正确的个数为(　　 ) ①x2＋3＞2x(x∈R)；②a3＋b3≥a2b＋ab2；③a2＋b2≥2(a－b－1). A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选C.①x2＋3－2x＝(x－1)2＋2＞0，所以x2＋3＞2x；②a3＋b3－a2b－ab2＝(a＋b)(a2－ab＋b2)－ab(a＋b)＝(a＋b)(a2－2ab＋b2)＝(a＋b)(a－b)2，(a－b)2≥0，但a＋b的符号不能确定，所以②不一定正确；③a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，所以a2＋b2≥2(a－b－1).故①③正确． 4．(新背景)四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示．盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为h1，h2，h3，h4，则它们的大小关系正确的是(　　 ) A．h2＞h1＞h4 B．h1＞h2＞h3 C．h3＞h2＞h4 D．h2＞h4＞h1 解析：选A.根据四个杯的形状分析易知h2＞h1＞h4，或h2＞h3＞h4. 5．(多选)下面列出的几种不等关系中，正确的为(　　 ) A．x与2的和是非负数，可表示为x＋2＞0 B．小明的身高为x，小华的身高为y，则小明比小华矮，可表示为x＞y C．△ABC的两边之和大于第三边，记三边分别为a，b，c，则可表示为a＋b＞c，且b＋c＞a，且a＋c＞b D．若某天的温度为t ℃，最低温度为7 ℃，最高温度为13 ℃，则这一天的温度范围可表示为7 ℃≤t ℃≤13 ℃ 解析：选CD.对于A中，x与2的和是非负数，应表示为x＋2≥0，故A错误；对于B中，小明比小华矮，应表示为x＜y，故B错误；对于C中，根据三角形的性质，两边之和大于第三边，所以C正确；对于D中，最低温度为7 ℃，最高温度为13 ℃，则这天的温度范围可表示为7 ℃≤t ℃≤13 ℃，所以D正确． 6．某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1 000 万元的资金购买单价分别为40 万元、90 万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5 辆，B型汽车至少买6 辆，设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆，y辆，写出满足上述所有不等关系的不等式组________________． 解析：由题意得即 答案： 7．已知x＜1，则x2＋2与3x的大小关系为_________________． 解析：x2＋2－3x＝(x－1)(x－2).当x＜1时，x－1＜0，x－2＜0，所以(x－1)(x－2)＞0，即x2＋2－3x＞0，所以x2＋2＞3x. 答案：x2＋2＞3x 8．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则先到达教室的是________． 解析：设寝室到教室的路程为s，步行速度为v1，跑步速度为v2，则甲用时t1＝＋，乙用时t2＝，t1－t2＝＋－＝s(－)＝s·＝＞0， ∴t1>t2，∴乙先到达教室． 答案：乙 9．甲、乙两辆车从A地沿同一路线到达B地，甲车一半时间的速度为a，另一半时间的速度为b；乙车用速度a行走一半路程，用速度b行走另一半路程．若a≠b，试判断哪辆车先到达B地． 解：设从A地到B地的路程为S，甲车用的时间为t1，乙车用的时间为t2，则a＋b＝S， 所以t1＝，t2＝＋＝(＋)， 因为－(＋)＝－＝＝－＜0，即t1＜t2， 所以甲车先到达B地． 【综合运用】 10．若p＝－，q＝－，其中a≥0，则p，q的大小关系是(　　 ) A．p＜q B．p＝q C．p＞q D．不确定 解析：选A.由题意知p－q＝＋－(＋). ∵(＋)2－(＋)2＝2－2， 且(a＋3)(a＋6)－(a＋4)(a＋5)＝－2＜0，a≥0， ∴2－2＜0， 即(＋)2－(＋)2＜0， ∴p－q＝＋－(＋)＜0，故p＜q. 11．(新定义)若规定 ＝ad－bc(a，b∈R，且a≠b)，则E＝与F＝的大小关系为(　　 ) A．E＜F B．E＞F C．E≤F D．E≥F 解析：选B.－＝[a·a－(－b)·b]－[a·b－(－a)·b]＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2，∵a≠b，∴(a－b)2＞0，∴＞，即E＞F. 12．比较大小：a2＋b2＋c2________2(a＋b＋c)－4. 解析：a2＋b2＋c2－[2(a＋b＋c)－4]＝a2＋b2＋c2－2a－2b－2c＋4＝(a－1)2＋(b－1)2＋(c－1)2＋1≥1＞0， 故a2＋b2＋c2＞2(a＋b＋c)－4. 答案：＞ 13．(1)设m≠n，x＝m4－m3n，y＝n3m－n4，比较x与y的大小； (2)已知m∈R，a＞b＞1，函数y＝，当x＝a时，y＝y1，当x＝b时，y＝y2，试比较y1与y2的大小． 解：(1)x－y＝(m4－m3n)－(n3m－n4)＝(m－n)m3－n3(m－n)＝(m－n)(m3－n3)＝(m－n)2(m2＋mn＋n2)， ∵m≠n，∴(m－n)2＞0， 又∵m2＋mn＋n2＝(m + )2＋＞0， ∴(m－n)2(m2＋mn＋n2)＞0，∴x－y＞0，∴x＞y. (2)y1－y2＝－＝. ∵a＞b＞1，∴(a－1)(b－1)＞0，b－a＜0. ∴当m＞0时，y1－y2＜0，即y1＜y2； 当m＝0时，y1＝y2； 当m＜0时，y1－y2＞0，即y1＞y2. 【创新探索】 14．某种商品计划提价，现有四种方案：方案(Ⅰ)先提价m%，再提价n%；方案(Ⅱ)先提价n%，再提价m%；方案(Ⅲ)分两次提价，每次提价 ()%；方案(Ⅳ)一次性提价(m＋n)%.已知m＞n＞0，那么四种提价方案中，提价最多的是哪种方案？ 解：依题意，设单价为1，那么方案(Ⅰ)提价后的价格是1×(1＋m%)(1＋n%)＝1＋(m＋n)%＋m%·n%； 方案(Ⅱ)提价后的价格是1×(1＋n%)(1＋m%)＝1＋(m＋n)%＋m%·n%； 方案(Ⅲ)提价后的价格是1×[1+()%]2＝1＋(m＋n)%＋[()%]2； 方案(Ⅳ)提价后的价格是1＋(m＋n)%. 所以只要比较m%·n%与[()%]2的大小即可． 因为[()%]2－m%·n%＝[()%]2≥0， 又因为m＞n＞0， 所以[()%]2＞m%·n%. 即[1+()%]2＞(1＋m%)·(1＋n%). 因此，方案(Ⅲ)提价最多． 学科网（北京）股份有限公司 $