课后分层练(三十一) 简单指数函数的图象和性质-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（人教A版）

[课后分层练(三十一)]　简单指数函数的图象和性质 (单选题、填空题每题5分，解答题每题15分) 【基础巩固】 1．函数f(x)＝的定义域为(　　 ) A．(－∞，2] B．(－∞，5)∪(5，＋∞) C．[2，＋∞) D．[2，5)∪(5，＋∞) 解析：选D.函数f(x)＝的定义域满足解得x≥2且x≠5. 2．若函数y＝ax＋(b－1)(a>0，且a≠1)的图象不经过第二象限，则有(　　 ) A．a>1且b<1 B．0<a<1且b≤1 C．0<a<1且b>0 D．a>1且b≤0 解析：选D.由指数函数图象的特征可知当0<a<1时，函数y＝ax＋(b－1)(a>0，且a≠1)的图象必经过第二象限，故排除选项B、C. 又函数y＝ax＋(b－1)(a>0，且a≠1)的图象不经过第二象限， 则其图象与y轴的交点不在x轴上方，所以当x＝0时，y＝a0＋(b－1)≤0，即b≤0. 3．在下图中，二次函数y＝ax2＋bx＋c与指数函数y＝x的图象只可能是(　　 ) 解析：选A.因为y＝x为指数函数，所以>0，且≠1，所以－<0， 因为二次函数y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝－，所以排除B、D， 由指数函数的图象可知0<<1，所以－<－<0， 所以二次函数图象顶点的横坐标在内，所以C错误． 4．已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，则a，b，c的大小关系是(　　 ) A．a>b>c B．a>c>b C．c>a>b D．b>c>a 解析：选A.因为函数y＝0.4x为定义域R上的减函数，所以1＝0.40>0.40.2>0.40.6，又因为a＝20.2>20＝1，所以a>b>c. 5．已知函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，则下列选项正确的是(　　 ) A．函数f(x)的值域为R B．若a>1，m>n，则am<an C．函数f(x)的图象恒过定点(0，1) D．若0<a<1，x>0，则f(x)>1 解析：选C.函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)为指数函数，指数函数的定义域为R，值域为(0，＋∞)，故A错误； 若a>1，则f(x)＝ax在R上单调递增，又m>n，则am>an，故B错误； 指数函数f(x)的图象恒过定点(0，1)，故C正确； 若0<a<1，则f(x)＝ax在R上单调递减，则由x>0，得0<f(x)<1，故D错误． 6．已知(0.61.2)a>(1.20.6)a，则a的取值范围是(　　 ) A．(0，＋∞) B．(－∞，0) C．(1，＋∞) D．(－∞，1) 解析：选B.由指数函数y＝0.6x是减函数知＝1； 由指数函数y＝1.2x是增函数知，1.20.6>1.20＝1，∴0.61.2<1.20.6， 设幂函数为y＝xa，由(0.61.2)a>(1.20.6)a知，幂函数在第一象限应为减函数，故a<0. 7．若函数f(x)＝在R上是增函数，则a的取值范围是(　　 ) A．(2，9) B．(2，＋∞) C．(2，9] D．[9，＋∞) 解析：选C.因为函数f(x)在R上是增函数，则函数f(x)＝(a－2)x在(－∞，1]上为增函数，所以a－2>0， 又因为函数f(x)＝6x＋1在(1，＋∞)上为增函数，所以a－2≤6＋1， 即0<a－2≤7，解得2<a≤9. 8．函数y＝a2-x＋3(a>0，且a≠1)的图象经过一定点，则该定点坐标为________． 解析：当2－x＝0，即x＝2时，y＝a0＋3＝4，所以y＝a2-x＋3的图象经过定点(2，4)． 答案：(2，4) 9．若a>0且a≠1，且，则实数a的取值范围为________． 解析：因为a>0且a≠1，且>，所以y＝ax为增函数，所以a>1. 答案：(1，＋∞) 10．已知函数y＝ax-1(a>0，且a≠1)的图象经过点. (1)求实数a的值； (2)作出此函数的图象． 解：(1)将点代入y＝ax-1，得a2-1＝，所以a＝. (2)由(1)知y＝x-1， 将函数y＝x的图象向右平移1个单位长度即可得到函数y＝x-1的图象，如图． 【综合运用】 11．设a＝0.1e0.2，b＝，c＝0.2e0.1，则下列选项正确的是(　　 ) A．c<b<a B．b<a<c C．b<c<a D．a<c<b 解析：选B.a＝0.1e0.2＝e0.2>e0＝＝b， c＝0.2e0.1＝e0.1>e0＝>＝b， 而e0.1，因为e<210，所以e0.1<2， 所以e0.1<×2＝1，故a<c， 所以b<a<c. 12．已知函数f(x)＝ex－e2-x，则下列说法正确的是(　　 ) A．f(x)关于直线x＝－1对称 B．f(x)关于点(1，0)对称 C．f(x)关于点(－1，0)对称 D．f(x)关于直线x＝1对称 解析：选B.∵f(x)＝ex－e2-x， ∴f(2－x)＝e2-x－ex，f(－2－x)＝e-2-x－e4+x， ∴f(－2－x)＝e-2-x－e4+x≠f(x)＝ex－e2-x，故A错误； f(2－x)＝e2-x－ex＝－(ex－e2-x)＝－f(x)，故B正确； f(－2－x)＝e-2-x－e4+x≠－f(x)＝－(ex－e2-x)，故C错误； f(2－x)＝e2-x－ex≠f(x)＝ex－e2-x，故D错误． 13．函数y＝ax-4(a>0，且a≠1)的图象恒过定点P，则点P的坐标为________；若点P在直线mx＋ny－1＝0上，其中mn>0，则的最小值为________． 解析：因为y＝ax恒过定点(0，1)， 所以y＝ax-4(a>0，且a≠1)恒过定点P(4，1)，所以4m＋n－1＝0，即4m＋n＝1， 所以＝·(4m＋n)＝5＋≥9， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为9. 答案：(4，1)　9 14．已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1)． (1)若f(x)的图象如图①所示，求a，b的值； (2)若f(x)的图象如图②所示，求a，b的取值范围； (3)在(1)中，若|f(x)|＝m有且仅有一个实数根，求m的取值范围． 解：(1)f(x)的图象过点(2，0)，(0，－2)， 所以 又因为a>0，且a≠1，所以a＝，b＝－3. (2)f(x)单调递减，所以0<a<1， 又f(0)<0，即a0＋b<0，所以b<－1. 故a的取值范围为(0，1)，b的取值范围为(－∞，－1)． (3)画出|f(x)|＝＝m有且仅有一个实数根，则m＝0或m≥3. 故m的取值范围为[3，＋∞)∪{0}． 【创新探索】 15．(2025·江西赣州期末)函数y＝f图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝为奇函数．可以将其推广为：函数y＝f图象关于点P成中心对称图形的充要条件是函数y＝－n为奇函数．已知函数f＋2. (1)证明：函数f的图象关于点成中心对称图形； (2)判断函数y＝f的单调性，若f<4，求实数x的取值范围． 解：(1)由题意得函数f的定义域为R， 又y＝f－2＝2x－2－x， 令g－2＝2x－2－x， 可知g＝2－x－2x， 从而g， 所以g是奇函数，即y＝f(x＋1)－2是奇函数， 故函数f图象关于成中心对称图形． (2)设x1，x2∈R，且x1<x2， 所以f＝＝＝， 因为x1<x2，所以x1－1<x2－1， 则2x1－1<2x2－1，故2x1－1－2x2－1<0， 又1＋>0，所以f<f， 所以函数f＋2在(－∞，＋∞)上是增函数， 由f<4可得f(x2－1＋1)－2＋－2<0， 即g<0， 所以g<g， 又函数g在上是增函数， 所以x2－1<3－3x，即x2＋3x－4<0，解得－4<x<1， 所以实数x的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $