课后分层练(三十五) 换底公式-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（人教A版）

[课后分层练(三十五)]　换底公式 (单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分) 【基础巩固】 1．若lg 2＝a，lg 3＝b，则lg 12＝(　　 ) A．a2b B．2ab C．a＋2b D．2a＋b 解析：选D.由对数运算性质可得lg 12＝lg (3×22)＝lg 3＋lg 22＝lg 3＋2lg 2＝2a＋b， 2．已知alog94＝1，则2－a＝(　　 ) A． B． C． D．3 解析：选C.由alog94＝1可得4a＝9，即(2a)2＝9，2a＝3，故2－a＝. 3．若，则t＝(　　 ) A．2 B．12 C．48 D．144 解析：选D.由对数的运算性质可知＝logt3＋logt4＝logt12＝⇒t＝144. 4．下列等式正确的是(　　 ) A．(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2＝1 B．log35·log32·log59＝3 ＋eln 2＋＝π ＝1 解析：选A.对于A中，由(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2＝(1－lg 2)2＋2lg 2－(lg 2)2＝1，所以A正确； 对于B中，由log35·log32·log59＝≠3，所以B错误； 对于C中，由＋eln 2＋＝log78＋2＋5－π≠π，所以C错误； 对于D中，由×(0.4)-1＝≠1，所以D错误． 5．(2025·北京顺义一模)在天文学中，天体的明暗程度可以用视星等和绝对星等来描述．视星等m是在地球上看到的星体亮度等级，视星等受恒星距离影响．绝对星等M是假设把恒星放在距离地球10秒差距(10秒差距≈32.6光年)时的视星等，这样能比较不同恒星本身的亮度．视星等m和绝对星等M满足m－M＝5lg ，其中d是与地球的距离，单位为秒差距．若恒星A距离地球约32.6光年，恒星B距离地球约326光年，恒星A，B的视星等满足mB－mA＝4，则(　　 ) A．MB＝MA＋4 B．MB＝MA＋6 C．MA＝MB＋1 D．MA＝MB＋6 解析：选C.由题意mA－MA＝5lg ，mB－MB＝5lg ， 两式相减可得mA－MA－mB＋MB＝5lg －＝－5， 又mB－mA＝4，所以MB－MA＝－1，所以MA＝MB＋1. 6．已知3x＝2y＝6，则＝______． 解析：由于3x＝2y＝6，故x＝log36，y＝log26， 故＝log63＋log62＝log66＝1， 则＝2＝2＝1. 答案：1 7．方程log2x＋＝1的解是x＝________． 解析：原方程可变为log2x＋log2(x＋1)＝1，即log2[x(x＋1)]＝1，所以x(x＋1)＝2，解得x＝1或x＝－2.又即x>0，所以x＝1. 答案：1 8．已知x>0，y>0，且x＋2y＝1，则log22x＋log2y的最大值为________． 解析：x＋2y≥2，即1≥2，解得xy≤，当且仅当x＝时，等号成立，故log22x＋log2y＝log22xy≤log2＝－2. 答案：－2 9．求值： ＋0－； ＋lg 4＋lg ＋eln 2； (3)(2log43＋log83)(log32＋log92)． 解：＋0－. ＋lg 4＋lg ＋eln 2＝＋lg 22＋lg 5－lg 2＋2＝－＋2lg 2＋lg 5－lg 2＋2＝＋lg 2＋lg 5＝. (3)(2log43＋log83)(log32＋log92)＝＝＝·＝2. 10．(2025·云南曲靖模拟)求下列各式的值． lg 25＋lg 2－log49×log38＋. (2)已知log23＝a，log37＝b，试用a，b表示log1456. 解：lg 25＋lg 2－log49×log38＋2＝4＋lg 10－. (2)log1456＝， a＝log23＝，b＝log37＝， ∴ab＝， ∴log1456＝1＋. 【综合运用】 11．(多选)已知m，n∈(0，1)∪(1，＋∞)，若logm2＝，logn2＝，则下列命题正确的是(　　 ) A．若a＝2，则mn＝2 B．若a>2，则mn>2 C．若mn＝1，则a＝1 D．若mn>1，则a>1 解析：选ABC.由题意知log2m ＝1－2a，log2n＝a2，所以log2(mn)＝a2－2a＋1，所以mn＝2a2－2a＋1. 对于A，若a＝2，则mn＝21＝2，故A正确； 对于B，若a>2，则a2－2a＋1＝(a－1)2>1，所以mm>21＝2，故B正确； 对于C，若mn＝1，则a2－2a＋1＝0，解得a＝1，故C正确； 对于D，若mn>1，则a2－2a＋1＝(a－1)2>0，不能得到a>1，故D错误． 12．已知正实数a，b满足logab＋logba＝，aa＝bb，则a＋b＝______． 解析：令t＝logab，则logba＝， 由logab＋logba＝，得t＋，所以2t2－5t＋2＝0，解得t＝或t＝2， 所以logab＝或logab＝2，所以＝b或a2＝b. 当＝b时，则a＝b2， 由aa＝bb，得(b2)a＝b2a＝bb，所以2a＝b， 由又a>0，解得所以a＋b＝； 当a2＝b时，由aa＝bb，得aa＝(a2)b＝a2b，所以a＝2b，由又a>0，解得所以a＋b＝. 综上所述，a＋b＝. 答案： 13．(1)已知m>0，n>0，log4m＝log8n＝log16(2m＋n)，求log2－log4n的值． (2)设xa＝yb＝zc (x，y，z都是不为1的正数，abc≠0)，求z＝xy的充要条件． 解：(1)由log4m＝log8n＝log16(2m＋n)，得， 则log2＝log2＝log2，于是＝k>0， 整理得m＝k2，n＝k3，2m＋n＝k4，即2k2＋k3＝k4，解得k＝2，即m＝4，n＝8， 所以log2－log4n＝log22－log48＝. (2)令xa＝yb＝zc＝t，依题意，t>0且t≠1，则alogtx＝blogty＝clogtz＝1， 于是logtx＝，logty＝，logtz＝，z＝xy⇔logtz＝logtx＋logty⇔， 所以z＝xy的充要条件是. 【创新探索】 14．(新定义)把满足log23×log34×…×logn＋1(n＋2)，n∈N*为整数的n叫做“贺数”，则在区间(1，50)内所有“贺数”的个数是________.解析：因为log23×log34×…×logn＋1(n＋2)＝＝log2(n＋2)， 又log24＝2，log28＝3，log216＝4，log232＝5，log264＝6，…， 所以当n＋2＝4，8，16，32时，log2(n＋2)为整数，所以在区间(1，50)内“贺数”的个数是4. 答案：4 学科网（北京）股份有限公司 $