课后分层练(三十四) 对数的运算-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（人教A版）

[课后分层练(三十四)]　对数的运算 (单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分) 【基础巩固】 1．已知f(x)＝则f(f(6))等于(　　 ) A． B． C．1 D．e4 解析：选A.根据题意，得f(6)＝log5(6－1)＝1，所以f(f(6))＝f(1)＝e1-2＝. 2．已知5x＝2，5y＝3，则的值为(　　 ) A． B． C． D． 解析：选A.因为5x＝2，5y＝3，所以x＝log52，y＝log53， 所以log5＝log5，所以. 3．已知a>1，log4a＋loga2＝，则a的值可以为(　　 ) A．3 B．4 C．6 D．8 解析：选B.∵a>1，log4a＋loga2＝ ∴， 设log2a＝x，则，解得x＝1或x＝2，即log2a＝1或2，解得a＝2或4. 4．已知2lg (x－2y)＝lg x＋lg y，则＝(　　 ) A． B．1 C．4 D．1或4 解析：选C.因为2lg (x－2y)＝lg x＋lg y， 所以lg (x－2y)2＝lg (xy)，其中x>0，y>0，x－2y>0， 因为y＝lg x在(0，＋∞)单调递增， 所以(x－2y)2＝xy， 整理得x2－5xy＋4y2＝0， 即(x－y)(x－4y)＝0， 解得x＝y或x＝4y， 当x＝y时，x－2y＝－y<0不满足题意； 当x＝4y时，x－2y＝2y>0满足题意； 此时＝4. 5．已知a，b∈R，lg a＋lg (2b)＝1，则4a＋b的最小值为(　　 ) A．2 B．4 C．2 D．4 解析：选D.lg a＋lg (2b)＝1，所以lg 2ab＝1，且a>0，b>0， 所以2ab＝10，即ab＝5， 4a＋b≥2， 当且仅当4a＝b且ab＝5，即时等号成立， 所以4a＋b的最小值为4. 6．(多选)(2025·浙江杭州期末)下列正确的有(　　 ) A．lg 3＋lg 4＝lg 7 B．log2100＝10log210 C．＝5 D．存在实数a，b使ln ＝ln a＋ln b 解析：选CD.选项A，lg 3＋lg 4＝＝lg 12，说法错误； 选项B，log2100＝log2102＝2log210，说法错误； 选项C，令log45＝t，则4t＝5，即＝5，说法正确； 选项D，正实数a，b满足ln ＝ln a＋ln b＝ln ab，所以ab＝a＋b，a>0，b>0，说法正确． 7．计算：ln 1＋lg 2＋3lg 5－lg ＝______． 解析：原式＝0＋lg ＝lg 1 000＝lg 103＝3. 答案：3 8．若2a＝5b＝m，且＝2，则实数m＝________． 解析：由题意知，2a＝5b＝m>0，则a＝log2m，b＝log5m，所以＝logm2＋logm5＝logm10＝2， 所以m2＝10，所以m＝. 答案： 9．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的，要使存留的污垢不超过1%，则至少要清洗的次数是________．(lg 2≈0.301 0) 解析：设至少要洗x次，则x≤，所以x≤，5x≥100， 故x lg 5≥2，即x≥≈2.86，因此至少洗3次． 答案：3 10．计算下列各式的值： －log5－log514； (2)(log2125＋log425＋log85)·(log52＋log254＋log1258)． 解：(1)原式＝＝＝log553－1＝2. (2)解法一　原式＝＝＝log25·3log52＝13log25·＝13. 解法二　原式＝＝＝＝13. 【综合运用】 11．已知函数f(x)＝ex－e－x－1，则f(lg 3)＋＝(　　 ) A．0 B．－2 C．1 D．2 解析：选B.函数g(x)＝f(x)＋1＝ex－e－x为奇函数，又lg ＝－lg 3，所以g(lg 3)＋g＝0，即f(lg 3)＋1＋f＋1＝0，即f(lg 3)＋＝－2. 12．已知a＝(log23)2，b＝log2，则(　　 ) A．2>a>b B．b>2>a C．b>a>2 D．a>b>2 解析：选D.因为a－b＝(log23)2－log2＝(log23)2－2log23＋1＝(log23－1)2>0， 所以a>b. 因为b＝log2>log24＝2，所以a>b>2. 13．已知函数f(x)＝ln ，则f(x)＋f(2－x)＝______，f＋f＋f＋…＋＝________． 解析：函数f(x)＝ln ，则f(x)＋f(2－x)＝＋ln ＝ln ＝＝2， 所以函数f(x)关于点(1，1)对称， 所以f＋f＋f＋…＋f＝4×2＋1＝9. 答案：2　9 14．已知lg 2＝a，lg 3＝b. (1)求lg 72，lg 4.5； (2)若lg x＝a＋b－2，求x的值． 解：(1)lg 72＝lg (23×32)＝3lg 2＋2lg 3＝3a＋2b； lg 4.5＝lg ＝2lg 3－lg 2＝2b－a. (2)lg x＝a＋b－2＝lg 2＋lg 3－2＝lg 2＋lg 3＋＝lg ， 所以x＝＝0.06. 【创新探索】 15．(多选)若2a+1＝3，2b＝，则以下结论正确的有(　　 ) A．b－a>1 B．>2 C．ab> D．b2<2a 解析：选BC.由题意得a＝log23－1，b＝log2＝3－log23， b－a－1＝3－log29，而log29>3，∴b－a－1<0，A错误； ∵a>0，b>0，a＋b＝2，a≠b， ∴＝>＝2，B正确； ab＝(log23－1)(3－log23)＝＋4log23－3＝－(log23－2)2＋1， 又2>log23>log22， ∴ab>－2＋1＝，C正确； b2－2a＝(3－log23)2－2(log23－1)＝(log23)2－8log23＋11＝(log23－4)2－5， 又3log23＝log227<log232＝5，即log23<，4－log23>4－， ∴b2－2a＝(log23－4)2－5> －5＝>0，∴b2>2a，D错误． 16．(2025·浙江模拟)已知函数f＝＝4x＋2x. (1)判断函数f的奇偶性并证明； (2)若实数a，b满足f＝0，求的取值范围． 解：(1)由>0得(1＋x)(1－x)>0，解得－1<x<1， 所以函数f的定义域为， 又f＝ln ＝－ln ，所以f为奇函数． (2)由f＝ln ＋＝＝0(－1<a<1，－1<b<1)， 所以＝1，即，整理得b＝－a， 所以g－2， 因为－1<a<1，令u＝2a，则<u<2， 令t＝2a＋2－a＝u＋<u<2， 又t＝u＋在上单调递减，在上单调递增， 当u＝1时，tmin＝2；当u＝时，t＝；当u＝2时，t＝，所以2≤t<， 所以t2＋t－2＝∈ 所以g的取值范围是 学科网（北京）股份有限公司 $