课后分层练(三十八) 对数型函数的图象和性质-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（人教A版）

[课后分层练(三十八)]　对数型函数的图象和性质 (单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分) 【基础巩固】 1．函数f(x)＝的单调递增区间是(　　 ) A． B．(0，1] C．(0，＋∞) D．[1，＋∞) 解析：选D.f(x)的图象如图所示，由图象可知单调递增区间为[1，＋∞)． 2．(2025·四川南充模拟)“a<b＋e”是“ln (a－b)<1”的(　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 解析：选B.因为a<b＋e，所以a－b<e， 又因为a－b不一定大于0，即ln (a－b)不一定成立， 所以“a<b＋e”是“ln <1”的不充分条件， 因为y＝ln x在上单调递增， 所以ln <1⇔0<a－b<e，即a<b＋e，所以“a<b＋e”是“ln (a－b)<1”的必要条件， 所以“a<b＋e”是“ln <1”的必要不充分条件． 3．设f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝log2x，则当x<0时，f(x)的解析式为(　　 ) A．f(x)＝－log2x B．f(x)＝log2(－x) C．f(x)＝－log2(－x) D．f(x)＝logx2 解析：选C.当x<0时，－x>0，f(－x)＝log2(－x)．又因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝－f(－x)＝－log2(－x)． 4．(多选)关于函数f(x)＝lg 有下列结论，其中正确的是(　　 ) A．定义域是(0，＋∞) B．f(x)是奇函数 C．f(x)的最小值为－lg 2 D．f(x)在(0，1)上单调递增 解析：选AD.由>0，得x>0，∴函数的定义域为(0，＋∞)，故A正确； ∵定义域不关于原点对称，∴f(x)为非奇非偶函数，故B错误； ∵∈，∴f(x)无最小值，有最大值－lg 2，故C错误； 令u＝，可知u在(0，1)上单调递增，故f(x)在(0，1)上单调递增，故D正确． 5．如果函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的反函数图象过点(2，－1)，则a＝________． 解析：函数f(x)的反函数为g(x)＝logax，代入点(2，－1)，可得a＝. 答案： 6．不等式>0的解集为________． 解析：由>0，得4x＋2x+1<1，即(2x)2＋2·2x<1，(2x＋1)2<2，所以2x<－1，两边取以2为底的对数，得x<log2. 答案： 7．函数f(x)＝log2(4－x2)的单调递增区间是___________值域是________． 解析：由4－x2>0，得－2<x<2，所以函数f(x)＝log2(4－x2)的定义域为(－2，2)，所以函数f(x)＝log2(4－x2)的单调递增区间为(－2，0)，由0<4－x2≤4，知f(x)∈(－∞，2]. 答案：(－2，0)　(－∞，2] 8．若函数y＝loga(3＋ax)在[－2，－1]上单调递增，则实数a的范围是________． 解析：由题可知，a>0且a≠1， 令u＝3＋ax，则函数u＝3＋ax在[－2，－1]上是增函数， 又函数y＝loga(3＋ax)在[－2，－1]上是增函数，所以a>1，且umin＝－2a＋3>0，解得a<，所以1<a<. 答案： 9．已知f(x)＝lg (2＋x)＋lg (2－x)． (1)求函数f(x)的定义域； (2)判断函数f(x)的奇偶性，并加以证明； (3)求f的值． 解：(1)由得－2<x<2， 所以函数f(x)的定义域为{x|－2<x<2}． (2)f(x)为偶函数，证明如下： 因为函数f(x)的定义域为{x|－2<x<2}，关于原点对称， 又f(－x)＝lg (2－x)＋lg (2＋x)＝f(x)， 所以函数f(x)＝lg (2＋x)＋lg (2－x)为偶函数． (3)f＝lg ＋lg ＝lg []＝lg 1＝0. 10．求函数y＝的值域和单调区间． 解：由－x2＋2x＋1>0，知函数的定义域为. 设t＝－x2＋2x＋1＝－(x－1)2＋2. ∵y＝为减函数，且0<t≤2， ∴y≥－1，故y＝的值域为[－1，＋∞)． ∵t＝－x2＋2x＋1在上单调递增，在上单调递减， 又y＝为减函数， ∴函数y＝的单调递增区间为，单调递减区间为. 【综合运用】 11．已知函数f(x)＝ln ＋2，则f(lg 5)＋f等于(　　 ) A．4 B．0 C．1 D．2 解析：选A.因为f(x)＝ln ＋2，所以f(x)＋f(－x)＝＋2＋ln ＋2＝ln 1＋4＝4，则f(lg 5)＋＝f(lg 5)＋f(－lg 5)＝4. 12．(多选)若函数f(x)＝loga|x－1|在(0，1)上是减函数，则(　　 ) A．f(x)在(1，＋∞)上单调递增且无最大值 B．f(x)在(1，＋∞)上单调递减且无最小值 C．f(x)在定义域内是偶函数 D．f(x)的图象关于直线x＝1对称 解析：选AD.由|x－1|>0，得函数y＝loga|x－1|的定义域为{x|x≠1}． 设g(x)＝|x－1|＝则g(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，且g(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，D正确； 因为f(x)＝loga|x－1|在(0，1)上是减函数，所以a>1，所以f(x)＝loga|x－1|在(1，＋∞)上单调递增且无最大值，A正确，B错误； f(－x)＝loga|－x－1|＝loga|x＋1|≠f(x)，C错误． 13．函数f(x)＝(log2x)2－log2x3＋4，x∈(1，4]的值域为________． 解析：令t＝log2x，则t∈(0，2]，∴原函数化为y＝t2－3t＋4，t∈(0，2]，其对称轴方程为t＝，∴当t＝时，y有最小值为；当t＝0时，y有最大值为4，但取不到，∴f(x)的值域为. 答案： 14．已知函数f(x)＝log的图象关于原点对称，其中a为常数． (1)求a的值； (2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log(x－1)<m恒成立，求实数m的取值范围． 解：(1)∵函数f(x)的图象关于原点对称， ∴函数f(x)的定义域关于原点对称， ∵>0， ∴(x－1)(1－ax)>0， 令(x－1)(1－ax)＝0， 得x1＝1，x2＝，∴＝－1，a＝－1， 经验证，a＝－1满足题意． (2)∵f(x)＋log(x－1)＝log＋log(x－1)＝log(1＋x)， ∴当x>1时，log(1＋x)<－1， 又当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log(x－1)<m恒成立，∴m≥－1， 即实数m的取值范围是[－1，＋∞). 【创新探索】 15．如图，已知正方形ABCD的边长为2，BC平行于x轴，顶点A，B和C分别在函数y1＝3logax，y2＝2logax和y＝logax(a>1)的图象上，则实数a＝________. 解析：设B(x，2logax)，∵BC平行于x轴，∴C(x′，2logax)，即logax′＝2logax，∴x′＝x2，∴正方形ABCD的边长|BC|＝x2－x＝2，解得x＝2.由已知得AB垂直于x轴，A(x，3logax)，正方形ABCD边长|AB|＝3logax－2logax＝logax＝2，即loga2＝2，∴a＝. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $