课后分层练(三十) 指数函数的概念-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（人教A版）

[课后分层练(三十)]　指数函数的概念 (单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分) 【基础巩固】 1．已知函数f(x－2)＝2x－x＋3，则f(0)＝(　　 ) A．2 B．4 C．5 D．7 解析：选C.令x－2＝0，得x＝2，所以f(0)＝f(2－2)＝22－2＋3＝5. 2．函数y＝(a2－4a＋4)ax是指数函数，则有(　　 ) A．a＝1，或a＝3 B．a＝1 C．a＝3 D．a>0，且a≠1 解析：选C.由已知得即得a＝3. 3．(多选)已知函数f(x)＝若f(a)＝3，则实数a的值可为(　　 ) A．－1 B．－3 C．9 D．27 解析：选AD.当a≥0时，f(a)＝＝3，所以a＝27；当a<0时，f(a)＝＝3，所以a＝－1. 4．(多选)若函数f(x)＝(m2＋2m－2)ax是指数函数，则实数m的值为(　　 ) A．－3 B．1 C．－1 D．－2 解析：选AB.因为函数f(x)＝(m2＋2m－2)ax是指数函数，所以m2＋2m－2＝1，解得m＝1或m＝－3. 5．随着我国经济的不断发展，2018年年底某偏远地区居民的人均年收入为3 000元，预计该地区今后居民的人均年收入将每年以6%的年平均增长率增长，那么2025年年底该地区的居民人均年收入为(　　 ) A．3 000×1.06×7元 B．3 000×1.067元 C．3 000×1.06×8元 D．3 000×1.068元 解析：选B.设经过x年，该地区的居民人均年收入为y元，根据题意可得y＝3 000×1.06x，从2018年到2025年共经过了7年，故2025年年底该地区的居民人均年收入为3 000×1.067元． 6．函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点(－1，2)，则f(x)＝__________． 解析：因为函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点(－1，2)，所以f(－1)＝a-1＝2，解得a＝，所以f(x)＝x. 答案：x 7．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0，2)时，f(x)＝2x，则f(－9)＝__________________________________________________. 解析：因为f(x＋4)＝f(x)， 所以函数f(x)是以4为周期的周期函数， 又因f(x)是定义在R上的奇函数， 所以f(－9)＝－f(9)＝－f(1)＝－2. 答案：－2 8．(2025·辽宁本溪期末)已知函数f(x)＝则f(f(0))＝___________________________________________. 解析：f(0)＝＝1，所以f(f(0))＝f(1)＝30－-1＝－2. 答案：－2 9．已知函数f(x)＝(a2－2a－2)ax是指数函数． (1)求实数a的值； (2)判断F(x)＝f(x)＋的奇偶性，并加以证明． 解：(1)由函数f(x)＝(a2－2a－2)ax是指数函数可得解得a＝3. (2)F(x)是偶函数，证明如下： 由(1)可得f(x)＝3x， 所以F(x)＝3x＋，定义域为R， 因为F(－x)＝3－x＋＝F(x)， 所以F(x)是偶函数． 10．(2025·福建厦门期中)已知指数函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)的图象过点(3，8)． (1)求函数f(x)的解析式； (2)求函数g(x)＝f2(x)－2f(x)＋5在x∈[－1，2]上的值域． 解：(1)因为函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象过点(3，8)，则f(3)＝a3＝8，解得a＝2，因此，f(x)＝2x. (2)g(x)＝(2x)2－2×2x＋5， 令t＝2x，因为x∈[－1，2]，则t∈， 令h(t)＝t2－2t＋5＝(t－1)2＋4， 当t∈时，函数h(t)单调递减，此时，x∈[－1，0]， 当t∈(1，4]时，函数h(t)单调递增，此时，x∈(0，2]， 故当x∈[－1，2]时，g(x)min＝g(0)＝4， 又因为g(－1)＝2＋4＝，g(2)＝(4－1)2＋4＝13， 故g(x)max＝13， 所以函数g(x)在[－1，2]上的值域为[4，13]. 【综合运用】 11．(多选)设指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，则下列等式中正确的是(　　 ) A．f(x＋y)＝f(x)f(y) B．f(x－y)＝ C．f(nx)＝[f(x)]n(n∈Q) D．[f(xy)]n＝[f(x)]n[f(y)]n(n∈N＋) 解析：选ABC.对于A，f(x＋y)＝ax＋y，f(x)f(y)＝ax·ay＝ax＋y，所以f(x＋y)＝f(x)f(y)，故A正确； 对于B，f(x－y)＝ax－y，＝ax－y，所以f(x－y)＝，故B正确； 对于C，f(nx)＝anx，[f(x)]n＝(ax)n＝anx，所以f(nx)＝[f(x)]n，故C正确； 对于D，[f(xy)]n＝(axy)n＝＝(ax)n·(ay)n＝anx·any＝anx＋ny，所以[f(xy)]n≠[f(x)]n[f(y)]n，故D错误． 12．(多选)已知f(x)是定义在R上的奇函数且满足f(x＋1)为偶函数，当x∈[1，2]时，f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1)．若f(－1)＋f(4)＝12，则(　　 ) A．a＝4，b＝－16 B．a＝－3，b＝－9 C．f(2 022)＝0 D．f＝8 解析：选ACD.因为f(x)为奇函数，所以f(x)的图象关于点(0，0)中心对称，因为f(x＋1)为偶函数， 所以f(x)的图象关于直线x＝1对称． 根据条件可知f(x＋2)＝f(－x)＝－f(x)，则f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)， 即4为f(x)的一个周期，则f(4)＝－f(2)＝f(0)＝0， 所以f(2 022)＝f(2)＝0，所以C正确； 又因为f(－1)＝－f(1)＝－(a＋b)，f(－1)＋f(4)＝12， 所以解得或(舍去)，所以A正确，B错误； 所以当x∈[1，2]时，f(x)＝4x－16，所以f＝f＝f＝－f＝8，所以D正确． 13．(2025·安徽滁州期中)已知函数f(x)＝(a2－3a＋3)ax为指数函数，函数g(x)＝为奇函数． (1)求f(x)，g(x)的解析式； (2)设函数h(x)(x≠0)满足g(x)·[h(x)＋2]＝2x－2－x，若不等式h(2x)≥kh(x)－18恒成立，求实数k的最大值． 解：(1)因为f(x)＝(a2－3a＋3)ax为指数函数，所以a2－3a＋3＝1，解得a＝1(舍去)或a＝2，所以f(x)＝2x， 所以g(x)＝， 因为g(x)为奇函数，所以g(－x)＝－g(x)，即， 得到(1－b)(2x＋1)＝0，解得b＝1，可得g(x)＝. (2)因为g(x)[h(x)＋2]＝2x－2－x， 所以h(x)＋2＝＝2x＋2－x＋2， 所以h(x)＝2x＋2－x(x≠0)， 所以h(2x)＝22x＋2-2x＝(2x＋2－x)2－2， 不等式h(2x)≥kh(x)－18恒成立，即(2x＋2－x)2－2≥k(2x＋2－x)－18恒成立， 令t＝2x＋2－x，则t＝2x＋2－x>＝2， 由t2－2≥kt－18，可得k≤t＋在t>2时恒成立， 因为t>2，由基本不等式可得t＋≥8，当且仅当t＝4时，等号成立， 所以k≤8，即实数k的最大值为8. 【创新探索】 14．牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同，假定保鲜时间y与储藏温度x的关系式为y＝kerx(k，r为常数)．若牛奶在0 ℃的冰箱中，保鲜时间约是100 h，在5 ℃的冰箱中，保鲜时间约是80 h，那么在10 ℃的冰箱中的保鲜时间是多少？ 解：由题意得解得 所以y＝100， 所以当x＝10时，y＝100×＝64， 所以牛奶在10 ℃的冰箱中的保鲜时间为64 h． 学科网（北京）股份有限公司 $