课后分层练(三) 并集与交集-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（人教A版）

[课后分层练(三)]　并集与交集 (单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分) 【基础巩固】 1．(人教A必修一P14习题 1.3T1改编)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于(　　 ) A．{x|0≤x≤2} B．{x|－1≤x≤2} C．{x|0≤x≤4} D．{x|－1≤x≤4} 解析：选A.在数轴上表示出集合A与集合B，如图所示． 由交集的定义，知A∩B＝{x|0≤x≤2}． 2．(人教A必修一P12练习T2改编)设A＝{x|x2－4x－5＝0}，B＝{x|x2＝1}，则A∪B等于(　　 ) A．{－1，1，5} B．{－1，5} C．{1，5} D．{－1} 解析：选A.∵A＝{x|x2－4x－5＝0}＝{x|(x－5)(x＋1)＝0}＝{－1，5}，B＝{x|x2＝1}＝{－1，1}，∴A∪B＝{－1，1，5}． 3．已知集合A＝{x|－2<x≤1}，B＝{x|0<x≤a}，若A∪B＝{x|－2<x≤3}，A∩B等于(　　 ) A．{x|－2<x<0} B．{x|0<x≤1} C．{x|1<x≤3} D．{x|－2<x≤3} 解析：选B.因为A＝{x|－2<x≤1}，B＝{x|0<x≤a}，A∪B＝{x|－2<x≤3}，所以a＝3，B＝{x|0<x≤3}，所以A∩B＝{x|0<x≤1}． 4．(数学文化)中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数．三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二．问：物几何？”现有如下表示：已知 A＝{x|x＝3n＋2，n∈N*}，B＝{x|x＝5n＋3，n∈N*}，C＝{x|x＝7n＋2，n∈N*}，若x∈A∩B∩C，则下列选项中符合题意的整数x为(　　 ) A．8 B．127 C．37 D．23 解析：选D.因为8＝7×1＋1，则8∉C，选项A不合题意． 127＝3×42＋1，则127∉A，选项B不合题意． 37＝3×12＋1，则37∉A，选项C不合题意． 23＝3×7＋2，故23∈A；23＝5×4＋3，故23∈B；23＝7×3＋2，故23∈C，则23∈A∩B∩C，选项D符合题意． 5．(多选)已知集合A＝{x|x2－x＝0}，集合B中有两个元素，且满足A∪B＝{0，1，2}，则集合B可以是(　　 ) A．{0，1} B．{0，2} C．{0，3} D．{1，2} 解析：选BD.因为A＝{x|x2－x＝0}＝{0，1}，且满足A∪B＝{0，1，2}，所以集合B中必有元素 2.又集合B中有两个元素，所以集合B可以是{0，2}或{1，2}． 6．(多选)已知集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}，则(　　 ) A．A∩B＝{1，2} B．A∪B＝{－1，0，1，2，3} C．0∈B D．－1∈B 解析：选ACD.因为集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}，所以B＝{－2，－1，0，1，2}，所以A∩B＝{1，2}，所以A选项正确；所以A∪B＝{－2，－1，0，1，2，3}，所以B选项错误；所以0∈B，所以C选项正确；所以－1∈B，所以D选项正确． 7．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{y|y＝2x－1，x∈A}，则A∩B＝________． 解析：A∩B＝{1，2，3}∩{y|y＝2x－1，x∈A}＝{1，2，3}∩{1，3，5}＝{1，3}． 答案：{1，3} 8．已知集合M＝{x|－1≤x≤3}，N＝{x|x＝2k－1，k∈N*}，Venn图如图所示，则阴影部分所表示的集合的元素共有________个． 解析：M＝{x|－1≤x≤3}，集合N是全体正奇数组成的集合，则阴影部分所表示的集合为M∩N＝{1，3}，即阴影部分所表示的集合共有2个元素． 答案：2 9．某网店统计连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店： (1)第一天售出但第二天未售出的商品有________种； (2)这三天售出的商品最少有________种． 解析：设三天都售出的商品有x种，第一天售出，第二天未售出，且第三天售出的商品有y种，则三天售出商品的种类关系如图所示． 由图可知，(1)第一天售出但第二天未售出的商品有16－y＋y＝16(种). (2)这三天售出的商品有(16－y)＋y＋x＋(3－x)＋(6＋x)＋(4－x)＋(14－y)＝(43－y)种． 因为所以0≤y≤14，所以(43－y)min＝43－14＝29， 即这三天售出的商品最少有29种． 答案：(1)16　(2)29 10．已知集合A＝{x|x2－px＋15＝0}和B＝{x|x2－ax－b＝0}，若A∪B＝{2，3，5}，A∩B＝{3}，分别求实数p，a，b的值． 解：因为A∩B＝{3}，所以3∈A， 从而可得p＝8，所以A＝{3，5}． 又由于3∈B，且A∪B＝{2，3，5}， 所以B＝{2，3}， 所以方程x2－ax－b＝0的两个根为2和3. 由根与系数的关系可得a＝5，b＝－6. 综上可得，p＝8，a＝5，b＝－6. 【综合运用】 11．(版本融合：人教B必修一P20练习BT5(1)改编)设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是(　　 ) A．{a|a<2} B．{a|a>－2} C．{a|a>－1} D．{a|－1<a≤2} 解析：选C.在数轴上表示出集合A，B，可知a的取值范围是{a|a>－1}． 12．(新背景)由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金提出了“戴德金分割”，才结束了持续2 000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足M∪N＝Q，M∩N＝∅，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称(M，N)为戴德金分割．试判断，对于任一戴德金分割(M，N)，下列选项中不可能成立的是(　　 ) A．M没有最大元素，N有一个最小元素 B．M没有最大元素，N也没有最小元素 C．M有一个最大元素，N有一个最小元素 D．M有一个最大元素，N没有最小元素 解析：选C.若M＝{x∈Q|x<0}，N＝{x∈Q|x≥0}，则M没有最大元素，N有一个最小元素0，故A不符合题意； 若M＝{x∈Q|x<}，N＝{x∈Q|x≥}，则M没有最大元素，N也没有最小元素，故B不符合题意； 若M＝{x∈Q|x≤0}，N＝{x∈Q|x>0}，M有一个最大元素，N没有最小元素，故D不符合题意； M有一个最大元素，N有一个最小元素不可能，故C符合题意． 13．已知集合 A＝{x|x≥3}，B＝{x|1≤x≤7}，C＝{x|x≥a－1}． (1)求A∪B，A∩B； (2)若C∪A＝A，求实数a的取值范围． 解：(1)因为A＝{x|x≥3}，B＝{x|1≤x≤7}，所以A∪B＝{x|x≥1}，A∩B＝{x|3≤x≤7}． (2)因为C∪A＝A，A＝{x|x≥3}，C＝{x|x≥a－1}，所以C⊆A，所以a－1≥3，即a≥4，所以实数a的取值范围是{a|a≥4}． 14．已知集合A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}． (1)若A∪B＝B，求实数a的值； (2)若A∩B＝B，求实数a的值或取值范围． 解：(1)由题意，知A＝{－4，0}． 若A∪B＝B，则B＝A＝{－4，0}． 由解得a＝1. (2)由题意，知A＝{－4，0}． 若A∩B＝B，则B⊆A. ①若B为空集，则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝8a＋8<0，解得a<－1； ②若B只有一个元素，则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝8a＋8＝0，解得a＝－1. 将a＝－1代入方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，得x2＝0，即x＝0，则B＝{0}，符合要求； ③若B＝A＝{－4，0}，由(1)可知a＝1. 综上所述，实数a的取值范围为{a|a≤－1，或a＝1}． 【创新探索】 15．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋a－1＝0}，C＝{x|x2－mx＋2＝0}，若A∪B＝A，A∩C＝C，则实数a，m的取值集合分别为________________________________________________________________________． 解析：依题意，得A＝{1，2}， 由x2－ax＋a－1＝0，解得x＝a－1或x＝1. 因为A∪B＝A，所以B⊆A，所以a－1∈A， 所以a－1＝1或a－1＝2，所以a＝2或a＝3. 因为A∩C＝C，所以C⊆A. 当C＝∅时，Δ＝m2－8<0，即－2<m<2； 当C为单元素集合时，Δ＝0，m＝±2，此时C＝{}或C＝{－}，不满足题意； 当C为双元素集合时，C只能为{1，2}，此时m＝3. 综上，实数a的取值集合为{2，3}，实数m的取值集合为{m|m＝3或－2<m<2}． 答案：{2，3}，{m|m＝3，或－2<m<2} 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [备课札记] 学科网（北京）股份有限公司 $