课后分层练(七) 全称量词与存在量词-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（人教A版）

[课后分层练(七)]　全称量词与存在量词 (单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分) 【基础巩固】 1．下列全称量词命题中真命题的个数为(　　 ) ①对于任意实数x，都有x＋2>x； ②对任意的实数a，b，都有若|a|>|b|，则a2>b2成立； ③二次函数y＝x2－ax－1与x轴恒有交点； ④∀x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0. A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选C.①②③为真命题． 2．(版本融合：苏教必修一P37例1改编)下列命题中的假命题是(　　 ) A．∀x∈R，|x|＋1>0 B．∀x∈N*，(x－1)2>0 C．∃x∈R，|x|<1 D．∃x∈R, ＋1＝2 解析：选B.A中命题是全称量词命题，易知|x|＋1>0恒成立，故是真命题；B中命题是全称量词命题，当x＝1时，(x－1)2＝0，故是假命题；C中命题是存在量词命题，当x＝0时，|x|＝0<1，故是真命题；D中命题是存在量词命题，当x＝±1时，＋1＝2，故是真命题． 3．下列命题中既是全称量词命题又是真命题的是(　　 ) A．∀x∈R，2x＋1>0 B．若2x为偶数，则x∈N C．菱形的四条边都相等 D．π是无理数 解析：选C.A中命题是全称量词命题，但不是真命题，故A不正确；B中命题是全称量词命题，但不是真命题，故B不正确；C中命题是全称量词命题，也是真命题，故C正确； D中命题是真命题，但不是全称量词命题，故D不正确． 4．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是(　　) A．锐角三角形的内角是锐角或钝角 B．至少有一个实数x，使x2≤0 C．两个无理数的和必是无理数 D．存在一个负数x，使>2 解析：选B.A是全称量词命题．B为存在量词命题，当x＝0时，x2＝0成立，所以B正确．因为＋(－)＝0，所以C为假命题．对于任意一个负数x，都有<0，所以D为假命题． 5．(多选)下列命题中是存在量词命题的为(　　 ) A．有些自然数是偶数 B．正方形是菱形 C．能被6整除的数也能被3整除 D．存在x∈R，使得|x|≤0 解析：选AD.选项A是存在量词命题；选项B可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，是全称量词命题；选项C可以叙述为“一切能被6整除的数也都能被3整除”，是全称量词命题；选项D是存在量词命题． 6．(多选)命题p：存在实数x∈R，使得数据1，2，3，x，6的中位数为3.若命题p为真命题，则实数x的取值集合可以为(　　 ) A．{3，4，5} B．{x|x>2} C．{x|x≥3} D．{x|3≤x≤6} 解析：选ACD.因为中位数为3，所以x≥3，因此选项A，C，D均满足要求． 7．给出下列三个命题： ①∀x∈R，x2＋1≠0； ②矩形都不是梯形； ③∃x，y∈R，x2＋y2≤1. 其中全称量词命题是________(填序号). 解析：②省略了量词“所有的”． 答案：①② 8．给出下列命题： (1)∀x∈R，x2>0； (2)∃x∈R，x＋1≤0； (3)∃a∈(∁RQ)，b∈(∁RQ)，使得a＋b∈Q. 其中真命题的个数为________． 解析：(1)当x＝0时，x2＝0，是假命题； (2)存在x＝－2，使得x＋1≤0，是真命题； (3)当a＝2－，b＝3＋时，a＋b＝5，是真命题． 答案：2 9．已知命题p：∃x∈R，x2＋2x－a＝0，若p为假命题，则实数a的取值范围是________． 解析：依题意，方程x2＋2x－a＝0无实根，∴Δ＝4＋4a<0，解得a<－1. 答案：{a|a<－1} 10．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假． (1)∀x∈N，2x＋1是奇数； (2)存在一个x∈R，使＝0. 解：(1)是全称量词命题． 因为∀x∈N，2x＋1都是奇数， 所以该命题是真命题． (2)是存在量词命题． 因为不存在x∈R，使＝0成立， 所以该命题是假命题． 【综合运用】 11．(多选)下列命题中，是存在量词命题且是真命题的是(　　 ) A．∃x∈R，|x|≤0 B．存在x∈R，使得x2＋x＋1＝0 C．至少有一个无理数x，使得x3是有理数 D．有的有理数没有倒数 解析：选ACD.对于A，命题是存在量词命题，所以∃x＝0，使|x|＝0，所以A是真命题，故A正确； 对于B，x2＋x＋1＝0，Δ＝－3<0，方程无解，所以B是假命题，故B错误； 对于C，命题是存在量词命题，∃x＝，使得()3＝3是有理数，所以C是真命题，故C正确； 对于D，有理数0没有倒数，故D正确． 12．根据下述事实，得到含有量词的全称量词命题或存在量词命题为________________． 13＋23＝(1＋2)2， 13＋23＋33＝(1＋2＋3)2， 13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2， 13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2， …… 解析：根据已知等式可得，对于任意n∈N*且n≥2，总有13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2，所以得到如下全称量词命题：∀n∈N*且n≥2，13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2. 答案：∀n∈N*且n≥2，13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2 13．已知命题“∃－3≤x≤2，3a＋x－2＝0”为真命题，求实数a的取值范围． 解：由3a＋x－2＝0，得3a－2＝－x， ∵－3≤x≤2，∴－2≤－x≤3， ∴－2≤3a－2≤3，即0≤a≤， 故实数a的取值范围是{a|0≤a≤}． 【创新探索】 14．(新定义)定义一种新的“数值对”运算：对于两个实数a，b，记(a，b)的运算结果为a※b＝a2＋ab. 已知x，y为实数，命题p：(x，y)运算结果为6，命题q：判断p是q的什么条件？ 解：由p得：x2＋xy＝6，当x＝2，y＝1时成立，所以q⇒p；当x＝1，y＝5时x2＋xy＝6也成立．所以pq，可知p是q的必要不充分条件． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [备课札记] 学科网（北京）股份有限公司 $