课后分层练(六) 充要条件-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（人教A版）

[课后分层练(六)]　充要条件 (单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分) 【基础巩固】 1．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的(　　 ) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A.方程x2－2x＋1＝0的实根为x＝1. 2．设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的(　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B.由2－x≥0，得x≤2，由|x－1|≤1，得0≤x≤2.当x≤2时，不一定有0≤x≤2，又当0≤x≤2时，一定有x≤2，故“2－x>0”是“|x－1|≤1”的必要不充分条件． 3．(2023·天津卷)已知a，b∈R，则“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的(　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B.因为a2＝b2⇔a＝b或a＝－b，a2＋b2＝2ab⇔(a－b)2＝0⇔a＝b，所以 a2＋b2＝2ab⇒a2＝b2，但是a2＝b2a2＋b2＝2ab，所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件． 4．如图，点D，E分别为△ABC的边AB，AC上的两点，若α：＝，β：DE∥BC，则α是β的(　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B.因为当＝时，DE∥BC不一定成立，如图所示， 所以α是β的不充分条件； 由DE∥BC，可得∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，所以△ADE∽△ABC， 所以＝，所以α是β的必要条件． 所以α是β的必要不充分条件． 5．(多选)对任意实数a，b，c，下列命题为真命题的是(　　) A．“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件 B．“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件 C．“x<1”是“x2<1”的既不充分也不必要条件 D．“a<5”是“a<3”的必要条件 解析：选BD.对于A，a＝b⇒ac＝bc，但当c＝0时，由ac＝bc不一定推出a＝b，故A为假命题；易知B为真命题；对于C，当x＝－3<1时，x2＝9>1，所以x<1 x2<1，当x2<1时，有－1<x<1，所以x2<1⇒x<1，所以“x<1”是“x2<1”的必要不充分条件，故C为假命题；易知D为真命题． 6．(多选)下列选项中正确的是(　　 ) A．点P到圆心O的距离大于圆的半径是点P在⊙O外的充要条件 B．两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的充分不必要条件 C．A∪B＝A是B⊆A的必要不充分条件 D．x或y为有理数是xy为有理数的既不充分也不必要条件 解析：选AD.对于A，根据点与圆的位置关系可知A正确；对于B，两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的必要不充分条件，故B错误；对于C，A∪B＝A是B⊆A的充要条件，故C错误；对于D，若x为有理数或y为有理数，则xy不一定是有理数，例如x＝1，y＝，若xy为有理数，则x，y可能都不是有理数，例如x＝，y＝，故x或y为有理数为xy为有理数的既不充分也不必要条件，故D正确． 7．△ABC，△A1B1C1的对应角相等是△ABC≌△A1B1C1的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”) 解析：△ABC，△A1B1C1的对应角相等△ABC≌△A1B1C1；反之△ABC≌△A1B1C1⇒∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1，故填“必要不充分”． 答案：必要不充分 8．若集合A＝{－2，m2}，集合B＝{2，4}，则“A∩B＝{4}”的充要条件是________． 解析：由A∩B＝{4}，得m2＝4，得m＝±2，由m＝±2，得A＝{－2，4}，则A∩B＝{4}，所以“m＝±2”是“A∩B＝{4}”的充要条件． 答案：m＝±2 9．指出下列各题中p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”中选一个作答). (1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0； (2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等； (3)p：a>b，q：a＋c>b＋c. 解：(1)x－3＝0⇒(x－2)(x－3)＝0，但(x－2)(x－3)＝0x－3＝0，故p是q的充分不必要条件． (2)两个三角形相似两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似，故p是q的必要不充分条件． (3)a>b⇒a＋c>b＋c，且a＋c>b＋c⇒a>b，故p是q的充要条件． 10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，求证：a2－b2－ac＋bc＝0的充要条件是A＝B. 证明：充分性：若A＝B，则a＝b， ∴a2－b2－ac＋bc＝0成立． 必要性：∵a2－b2－ac＋bc＝0成立，且a2－b2－ac＋bc＝(a＋b)(a－b)－c(a－b)＝(a－b)(a＋b－c)， ∴(a－b)(a＋b－c)＝0， 又在△ABC中，a＋b－c>0， ∴a－b＝0，∴a＝b，∴A＝B. 综上，a2－b2－ac＋bc＝0的充要条件是A＝B. 【综合运用】 11．(多选)设全集为U，则下面选项中是“A⊆B”的充要条件的是(　　) A．A∩B＝A B．(∁UA)⊇(∁UB) C．(∁UB)∩A＝∅ D．(∁UA)∩B＝∅ 解析：选ABC.由A∩B＝A，可得A⊆B，由A⊆B可得A∩B＝A，故“A∩B＝A”是“A⊆B”的充要条件，故A正确； 由(∁UA)⊇(∁UB)可得A⊆B，由A⊆B可得(∁UA)⊇(∁UB)， 故“(∁UA)⊇(∁UB)”是“A⊆B”的充要条件，故B正确； 由(∁UB)∩A＝∅，可得A⊆B，由A⊆B可得(∁UB)∩A＝∅，故“(∁UB)∩A＝∅”是“A⊆B”的充要条件，故C正确； 由(∁UA)∩B＝∅，可得B⊆A，不能推出A⊆B，故“(∁UA)∩B＝∅”不是“A⊆B”的充要条件，故D不正确． 12．(新定义)设x为任意实数，[x]表示不超过x的最大整数，<x>表示不小于x的最小整数，例如：[1.1]＝1，[－1.1]＝－2，<0.9>＝1，<－0.9>＝0，那么“[a]＝<b>”是“a≥b”的(　　 ) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B.设[a]＝<b>＝k，由[x]和<x>的定义得a≥k，b≤k， 所以a≥k≥b，即a≥b，充分性成立； 当a＝2.2，b＝2.1时，[a]＝2，<b>＝3，[a]<<b>，必要性不成立； 所以“[a]＝<b>”是“a≥b”的充分不必要条件． 13．已知集合A＝{2，3，m2＋4m＋2}，B＝{0，7，m2＋4m－2，2－m}，求A∩B＝{3，7}的充要条件． 解：若A∩B＝{3，7}，A＝{2，3，m2＋4m＋2}，B＝{0，7，m2＋4m－2，2－m}， 则m2＋4m＋2＝7且m2＋4m－2＝3，解得m＝1或m＝－5； 或m2＋4m＋2＝7且2－m＝3(无解，舍去). 经检验，m＝－5时，2－m＝7，不满足集合中元素的互异性，不合题意舍去， 则m＝1，所以m＝1是A∩B＝{3，7}的必要条件； 若m＝1，则A＝{2，3，7}，B＝{0，1，3，7}，所以A∩B＝{3，7}， 所以m＝1是A∩B＝{3，7}的充分条件． 综上，A∩B＝{3，7}的充要条件为m＝1. 【创新探索】 14．(多选)有限集合S中元素的个数记作card(S).设A，B都为有限集合，则下列命题中是真命题的有(　　 ) A．A∩B＝∅的充要条件是card(A∪B)＝card(A)＋card(B) B．A⊆B的必要条件是card(A)≤card(B) C．AB的必要条件是card(A)≤card(B) D．A＝B的充要条件是card(A)＝card(B) 解析：选AB.易知card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B).A∩B＝∅，也就是集合A与集合B没有公共元素，A是真命题；A⊆B，也就是集合A中的元素都是集合B中的元素，B是真命题；AB，也就是集合A中至少有一个元素不是集合B中的元素，因此A中的元素个数有可能多于B中的元素个数，C是假命题；A＝B，也就是集合A中的元素与集合B中的元素完全相同，两个集合中的元素个数相同，并不意味着它们的元素相同，D是假命题． 15．(知识融合)如图，已知矩形ABCD，AD＝a，AB＝b，P是BC上的点，则存在点P使∠APD＝90°的充要条件是__________． 解析：以线段AD为直径画圆，如图所示： 如图(1)：当＝b时，即a＝2b时，圆与线段BC有唯一公共点P，这时有∠APD＝90°； 如图(2)：当>b，即a>2b时，圆与线段BC有两个交点M，N，当P点与M，N两点中一点重合时，就有∠APD＝90°； 如图(3)：当<b，即a<2b时，圆与线段BC无公共点，则∠APD<90°. 故使∠APD＝90°的充要条件是a≥2b. 答案：a≥2b 学科网（北京）股份有限公司 $