课后分层练(九) 集合与逻辑中的参数问题-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（人教A版）

[课后分层练(九)]　集合与逻辑中的参数问题 (单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分) 【基础巩固】 1．已知集合A＝{－1，a}，B＝{－1，0，a2－a}，且A∪B＝B，则a＝(　　 ) A．1 B．0 C．2 D．0或2 解析：选C.由A∪B＝B，知A⊆B， 当a＝0时，a2－a＝0，B集合中出现重复元素，故不满足题意； 当a＝a2－a时，a＝0(舍)或a＝2，此时A＝{－1，2}，B＝{－1，0，2}，满足题意． 综上所述，a＝2. 2．已知A＝{1，x，y}，B＝{1，x2，2y}，若A＝B，则x－y＝(　　 ) A．0 B．1 C． D． 解析：选C.因为A＝B，所以或解得或或又集合中的元素需满足互异性，所以则x－y＝－＝. 3．已知集合M＝{x|－1<x<2}，N＝{a}，若M∩N≠∅，则a可能是(　　 ) A．－3 B．0 C．3 D．6 解析：选B.因为M∩N≠∅，所以－1<a<2. 4．(2025·福建福州模拟)已知集合A＝{1，3，}，B＝，则“m＝3”是“A∪B＝A”的(　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C.充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A.①若m＝3，则A＝{1，3，}，B＝，A∪B＝{1，3，}＝A， 所以“m＝3”是“A∪B＝A”的充分条件； ②若A∪B＝A，则m＝3或m＝，解得m＝3或m＝0或m＝1. 当m＝3时，A＝，B＝{1，3}，A∪B＝＝A，符合题意； 当m＝0时，A＝，B＝{1，0}，A∪B＝＝A，符合题意； 当m＝1时，A＝，B＝{1，1}，与集合中元素的互异性相矛盾，故舍去， 所以m＝3或m＝0，所以“m＝3”是“A∪B＝A”的不必要条件， 所以由①②可知，“m＝3”是“A∪B＝A”的充分不必要条件． 5．(多选)已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值有(　　 ) A．－2 B．－1 C．0 D．1 解析：选BCD.因为集合A仅有2个子集，所以集合A中仅有一个元素， 当a＝0时，2x＝0，所以x＝0，所以A＝{0}，满足要求； 当a≠0时，因为集合A中仅有一个元素，所以Δ＝4－4a2＝0，所以a＝±1，此时A＝{1}或A＝{－1}，满足要求． 6．已知集合A＝{2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，且1∈A，则实数a的值为___________． 解析：若(a＋1)2＝1，则a＝0或a＝－2， 当a＝0时，A＝{2，1，3}，符合元素的互异性； 当a＝－2时，A＝{2，1，1}，不符合元素的互异性，舍去 若a2＋3a＋3＝1，则a＝－1或a＝－2， 当a＝－1时，A＝{2，0，1}，符合元素的互异性； 当a＝－2时，A＝{2，1，1}，不符合元素的互异性，舍去． 答案：－1或0 7．已知集合A＝{1，2}，B＝{－a，a2＋3}．若A∪B＝{1，2，4}，则实数a＝______． 解析：因为A∪B＝{1，2，4}，故4必定在B＝{－a，a2＋3}中， 当a2＋3＝4时，解得a＝1或a＝－1， a＝1时，集合B＝{－1，4}，不满足A∪B＝{1，2，4}，故舍去， a＝－1时，集合B＝{1，4}，满足A∪B＝{1，2，4}，符合题意． 当－a＝4时，解得a＝－4，此时B＝{4，19}，不满足A∪B＝{1，2，4}，故排除， 综上a＝－1，即实数a的值为－1. 答案：－1 8．若命题“∃x∈R，x2－mx＋9<0”为假命题，则m的取值范围是________． 解析：因为命题“∃x∈R，x2－mx＋9<0”为假命题， 所以命题“∀x∈R，x2－mx＋9≥0”为真命题， 所以Δ＝(－m)2－4×9≤0， 解得－6≤m≤6， 所以m的取值范围是－6≤m≤6. 答案：－6≤m≤6 9．已知集合A＝{x|ax2－2x＋1＝0，a∈R}． (1)若集合A的子集只有一个，求实数a的取值范围； (2)若集合A中有且只有一个元素，求实数a的值． 解：(1)因为集合A的子集只有一个，则A＝∅，即方程ax2－2x＋1＝0无实数根， 于是得即解得a>1， 所以实数a的取值范围为a>1. (2)因为集合A中有且只有一个元素，则方程ax2－2x＋1＝0只有一个实数根或者两个相等实根， 当a＝0时，集合A＝{x|－2x＋1＝0}＝{}满足题意，则a＝0， 当a≠0时，则Δ＝4－4a＝0，a＝1，集合A＝{x|x2－2x＋1＝0}＝{1}满足题意，即a＝1， 所以实数a的值为0或1. 10．已知集合A＝{x|－3≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤3m－1}． (1)当m＝2时，求集合A∩B； (2)若B⊆A，求实数m的取值范围． 解：(1)当m＝2时，集合A＝{x|－3≤x≤5}，B＝{x|3≤x≤5}， 故A∩B＝{x|3≤x≤5}． (2)当B＝∅时，m＋1>3m－1，即m<1，满足B⊆A，故m<1满足题意； 当B≠∅时，m＋1≤3m－1，即m≥1时，解得－4≤m≤2， 于是得1≤m≤2，所以m≤2， 故实数m的取值范围是m≤2. 【综合运用】 11．(多选)若集合{x|ax2＋x＋a＝0}＝{x|x－b＝0}，则b的值可能为(　　 ) A．－1 B．0 C． D．1 解析：选ABD.根据题意，得ax2＋x＋a＝0只有一个实数根， 当a＝0时，ax2＋x＋a＝0化为x＝0，所以b＝0. 当a≠0时，Δ＝1－4a2＝0，则a＝±. 若a＝，则ax2＋x＋a＝0的解集为{－1}，所以b＝－1； 若a＝－，则ax2＋x＋a＝0的解集为{1}，所以b＝1. 12．已知集合A＝{x|－2<x<1}，B＝{x|x＝t2－a，t∈A}．若a＝0，则A∩B＝________；若A⊆B，则实数a的取值范围是________． 解析：当a＝0时，B＝{x|x＝t2，t∈A}＝{x|0≤x<4}， 故A∩B＝{x|0≤x<1}． 当－2<t<1时，－a≤x＝t2－a<4－a， 由A⊆B，得解得2≤a≤3. 答案：{x|0≤x<1}　2≤a≤3 13．已知命题p：“至少存在一个实数x(1≤x≤2)，使不等式x2＋2ax＋2－a>0成立”为真，试求实数a的取值范围． 解：命题p的否定为：“∀1≤x≤2，x2＋2ax＋2－a≤0成立”， 设y＝x2＋2ax＋2－a(1≤x≤2)， 由题意，有解得a≤－3， 因为命题p的否定为假命题， 所以a>－3，即a的取值范围是{a|a>－3}． 14．(思维提升)已知全集U＝R，集合A＝{x|x≤0，或x≥4}，B＝{x|a<x－1<2a－2}． (1)若∁UA⊆∁UB，求实数a的取值范围； (2)若(∁UA)∩B≠B，求实数a的取值范围． 解：(1)由题意，得B＝{x|a＋1<x<2a－1}． ∵∁UA⊆∁UB，∴B⊆A. 当B＝∅，即a＋1≥2a－1，即a≤2时，符合题意； 当B≠∅，即a>2时，由B⊆A，得a＋1≥4或2a－1≤0，得a≥3. 综上，实数a的取值范围为a≤2或a≥3. (2)∁UA＝{x|0<x<4}，若(∁UA)∩B＝B，则B⊆∁UA. 当B＝∅，即a≤2时，符合题意； 当B≠∅时，需满足解得2<a≤. ∴当(∁UA)∩B＝B时，a≤. ∴当(∁UA)∩B≠B时，a>，即实数a的取值范围为a>. 【创新探索】 15．(2025·山西晋中模拟)已知命题p：∀x∈，x2－a≥0，命题q：∃x∈R，ax2＋3x－1＝0. (1)若命题p的否定为真命题，求实数a的取值范围； (2)若命题p和q有且仅有一个是真命题，求实数a的取值范围． 解：(1)因为命题p的否定为真命题，即∃x∈，x2－a<0为真命题， 即∃x∈，a>x2，由于x2∈[4，9]，故a>4. (2)命题p：∀x∈，x2－a≥0为真命题时， 由于x2∈[4，9]，则此时a≤x2恒成立，故a≤4. 命题q：∃x∈R，ax2＋3x－1＝0为真命题时， a＝0时，x＝，符合题意； a≠0时，Δ＝9＋4a≥0，即a≥－，此时a≥－且a≠0； 综上，a≥－. 所以当p真q假时，a<－；当p假q真时，a>4. 学科网（北京）股份有限公司 $