课后分层练(二十一) 分段函数-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（人教A版）

[课后分层练(二十一)]　分段函数 (单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分) 【基础巩固】 1．(2025·福建泉州阶段练习)设函数f(x)＝则f(9)＝(　　) A．6 B．7 C．9 D．10 解析：选B.f(9)＝f(f(9＋4))＝f(f(13))＝f(10)＝10－3＝7. 2．函数f(x)＝若f(x)＝2，则x的值是(　　) A． B．± C．0或1 D． 解析：选A.若f(x)＝2， ①x≤－1时，x＋2＝2，解得x＝0(不符，舍去)； ②－1＜x＜2时，x2＝2，解得x＝(符合)或x＝－(不符，舍去)； ③x≥2时，2x＝2，解得x＝1(不符，舍去). 综上，x＝. 3．已知t∈R，函数f(x)＝若f(f(9))＝4，则t＝(　　) A．0 B．2 C．5 D．6 解析：选B.因为f(9)＝－2＝1，所以f(1)＝|1－3|＋t＝4⇒t＝4－2＝2. 4．(2025·河南南阳模拟)已知函数f(x)＝则不等式f(x)>3的解集是(　　 ) A．(－3，1)∪(3，＋∞) B．(－∞，－1)∪(2，3) C．(－1，1)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1，3) 解析：选A.函数f(x)＝则不等式f(x)>3等价于或 解得－3<x<0， 解得0≤x<1或x>3，于是得－3<x<1或x>3， 所以不等式f(x)>3的解集是(－3，1)∪(3，＋∞). 5．(多选)有以下判断，其中正确的有(　　) A．f(x)＝与g(x)＝表示同一函数 B．函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个 C．f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1是同一函数 D．若f(x)＝|x－1|－x，则f(f())＝0 解析：选BC.对于A，函数f(x)＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，函数g(x)＝定义域为R，两函数的定义域不同，所以不是同一函数，故A错误； 对于B，若函数y＝f(x)在x＝1处有定义，则f(x)的图象与直线x＝1的交点有1个； 若函数y＝f(x)在x＝1处没有定义，则f(x)的图象与直线x＝1没有交点，故B正确； 对于C，函数f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1的定义域与对应法则都相同，所以两函数是同一函数，故C正确； 对于D，由f(x)＝|x－1|－x，可得f()＝0，所以f(f())＝f(0)＝1，故D错误． 6．函数y＝的值域为________． 解析：由y＝作出函数图象，如图所示，由图象可得函数的值域为(－∞，2]. 答案：(－∞，2] 7．设函数f(x)＝若f(f(m))＝2，则实数m的取值是________． 解：因为f(x)＝所以当x≥0时，f(x)≤0， 因为f(f(m))＝2，所以f(m)<0， 令f(m)＝t<0，所以t2＋t＝2，解得t＝－2或t＝1(舍)， 所以f(m)＝－2， 所以当m≥0时，－m2＝－2，解得m＝， 当m<0时，m2＋m＝－2，方程无解． 所以实数m的取值是. 答案： 8．已知函数f(x)＝ (1)若f(a)＝5，求实数a的值； (2)画出函数的图象，并求出函数f(x)在区间[－2，2]上的值域． 解：(1)当a≥0时，由f(a)＝a2＋4＝5得a＝1； 当a<0时，由f(a)＝4－a＝5得a＝－1. 综上，a＝1或－1. (2)函数图象如图所示． 因为f(0)＝4，f(2)＝22＋4＝8， f(－2)＝4－(－2)＝6， 所以由图象知函数f(x)在[－2，2]上的值域为[4，8]. 9．如图，等腰梯形OABC的底角为60°，OA＝2，BC＝1，记梯形OABC位于直线x＝t(t>0)左侧的图形的面积为f(t)，试求函数f(t)的解析式． 解：当0<t≤时，f(t)＝×t×t＝t2， 当<t≤时，f(t)＝××＋(t－)×＝t－， 当<t<2时，f(t)＝×(1＋2)×－×(2－t)×(2－t)＝－t2＋2t－， 当t≥2时，f(t)＝×(1＋2)×＝， 综上所述，f(t)＝ 【综合运用】 10．(多选)设函数f(x)＝若f(1)＝2f(0)，则实数a可以为(　　) A．1 B．0 C．－1 D．－2 解析：选BCD.根据题意，函数f(x)＝ 若a<0，f(1)＝12＋1＝2，f(0)＝02＋1＝1，满足f(1)＝2f(0)， 若0≤a<1，f(0)＝1－0＝1，f(1)＝1＋1＝2，满足f(1)＝2f(0)， 若a≥1，f(0)＝1－0＝1，f(1)＝1－1＝0，不满足f(1)＝ 2f(0)， 故a的取值范围为(－∞，1)，分析选项：BCD符合． 11．(多选)函数f(x)＝则下列结论正确的是(　　) A．f(x)是偶函数 B．f(x)的值域是{0，1} C．方程f(f(x))＝f(x)的解只有x＝1 D．方程f(f(x))＝x的解只有x＝1 解析：选ABD.∵函数f(x)＝ ∴当x为有理数时，－x必为有理数，此时f(－x)＝f(x)＝1； 当x为无理数时，－x必为无理数，此时f(－x)＝f(x)＝0，故A正确； 当x为有理数时，f(x)＝1；当x为无理数时，f(x)＝0，即f(x)的值域是{0，1}，故B正确； 若x为有理数，则方程f(f(x))＝f(1)＝1＝f(x)恒成立； 若x为无理数，则方程f(f(x))＝f(0)＝1≠f(x)，此时无满足条件的x； 故方程f(f(x))＝f(x)的解为任意有理数，故C错误； 若x为有理数，则方程f(f(x))＝f(1)＝1，此时x＝1； 若x为无理数，则方程f(f(x))＝f(0)＝1，此时无满足条件的x，故D正确． 12．我们用符号max{a，b，c}表示a，b，c三个数中较大的数，若x∈R，f(x)＝max{－x＋3，x＋，x2－4x＋3}，则f(x)的最小值为________． 解：联立解得 联立解得或 联立解得或 作出函数f(x)＝max{－x＋3，x＋，x2－4x＋3}的图象如图： 由图可知，则f(x)的最小值为f(1)＝2. 答案：2 13．已知函数f(x)＝2＋(－2<x≤3). (1)用分段函数的形式表示函数f(x)； (2)画出函数f(x)的图象； (3)写出函数f(x)的值域． 解：(1)当0<x≤3时， f(x)＝2＋＝2－； 当－2<x≤0时，f(x)＝2＋＝x＋2； 综上，函数f(x)的解析式为f(x)＝ (2)图象过点(－2，0)，(0，2)，(3，1)， 其中点(－2，0)是空点，(0，2)和(3，1)是实心点，函数f(x)的图象如图所示： (3)由(2)知，图象最高点的坐标是(0，2). 故依据图象，函数f(x)的值域是(0，2]. 【创新探索】 14．定义运算a⊗b＝设函数f(x)＝x⊗(x＋1)，则该函数的图象是(　　) 解析：选C.由a⊗b的定义可知f(x)＝因为f(0)＝0－1＝－1，所以函数图象过点(0，－1)，排除A，B；当x<0时，f(x)＝x2>0，排除D，只有C符合． 学科网（北京）股份有限公司 $