课后分层练(二十五) 函数单调性和奇偶性的综合应用-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（人教A版）

[课后分层练(二十五)]　函数单调性和奇偶性的综合应用 (单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分) 【基础巩固】 1．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为(　　) A.y＝x＋1 B．y＝－x2 C.y＝ D．y＝x|x| 解析：选D.A是增函数，不是奇函数；B和C都不是定义域内的增函数，排除，只有D正确． 2．若函数f(x)是偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，则(　　 ) A.f(－2)<f(3)<f(－4) B.f(3)<f(－2)<f(－4) C.f(3)<f(－4)<f(－2) D.f(－4)<f(3)<f(－2) 解析：选D.因为函数f(x)是偶函数，所以f(3)＝f(－3)，因为函数f(x)在(－∞，0]上是增函数，所以有f(－4)<f(－3)<f(－2)，即f(－4)<f(3)<f(－2). 3．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式<0的解集为(　　 ) A.(－1，0)∪(1，＋∞) B.(－∞，－1)∪(0，1) C.(－∞，－1)∪(1，＋∞) D.(－1，0)∪(0，1) 解析：选D.由f(x)为奇函数可知，＝<0. 而f(1)＝0，则f(－1)＝－f(1)＝0. 当x>0时，f(x)<0＝f(1); 当x<0时，f(x)>0＝f(－1). 又∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，∴奇函数f(x)在(－∞，0)上为增函数． 所以0<x<1，或－1<x<0. 4．如果奇函数f(x)在[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f(x)在区间[－7，－3]上是(　　 ) A.增函数且最小值为－5 B.减函数且最小值为－5 C.增函数且最大值为－5 D.减函数且最大值为－5 解析：选C.因为奇函数f(x)在[3，7]上是增函数且最小值为5，而奇函数的图象关于原点对称，所以f(x)在区间[－7，－3]上是增函数且最大值为－5. 5．设f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，若x1<0，x1＋x2>0，下列结论正确的是(　　) A.f(x1)<f(x2) B.f(x1)>f(x2) C.f(|x1|)>f(|x2|) D.f(－x1)>f(x2) 解析：选A.由x1＋x2>0，x1<0得x2>－x1>0， ∵f(x)在(0，＋∞)是增函数， ∴f(x2)>f(－x1)， 又f(x)是R上的偶函数，∴f(－x1)＝f(x1)＝f(|x1|)，f(x2)＝f(|x2|)，∴f(x2)>f(x1). 6．(多选)(新定义)若函数f(x)同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有f(x)＋f(－x)＝0；②对于定义域上的任意x1，x2，当x1≠x2时，恒有<0，则称函数f(x)为“理想函数”．则下列函数中能被称为“理想函数”的有(　　) A.f(x)＝ 　　 B．f(x)＝x2 C.f(x)＝ 　　 D．f(x)＝－x 解析：选CD.已知性质①说明函数是奇函数，性质②说明函数在定义域内是减函数， 选项A，函数在(－∞，0)及(0，＋∞)是减函数，但在定义域内不是减函数，选项B，在[0，＋∞)上是增函数，均不合题意， 选项C，f(x)＝x≥0时，f(－x)＝(－x)2＝x2＝－f(x)，x<0时，f(－x)＝－(－x)2＝－x2＝－f(x)，因此在定义域内f(－x)＝－f(x)，函数为奇函数， 在(－∞，0)上是减函数且f(x)>0，在[0，＋∞)上也是减函数且f(x)≤0，因此函数在定义域内是减函数，满足题意，选项D，f(x)＝x易知其满足题意． 7．若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是(　　 ) A.[－1，1]∪[3，＋∞) B.[－3，－1]∪[0，1] C.[－1，0]∪[1，＋∞) D.[－1，0]∪[1，3] 解析：选D.因为定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，所以f(x)在(0，＋∞)上也是单调递减，且f(－2)＝0 ，f(0)＝0，所以当x∈(－∞，－2)∪(0，2)时，f(x)>0，当x∈(－2，0)∪(2，＋∞)时，f(x)<0， 所以由xf(x－1)≥0可得：或或x＝0， 解得－1≤x≤0或1≤x≤3， 所以满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1，0]∪[1，3]. 8．已知y＝f(x)是奇函数，若g(x)＝f(x)＋2且g(1)＝1，则g(－1)＝_______． 解析：因为g(x)＝f(x)＋2，g(1)＝1，所以1＝f(1)＋2，所以f(1)＝－1，又因为f(x)是奇函数，所以f(－1)＝1，则g(－1)＝f(－1)＋2＝3. 答案：3 9．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)－2. (1)求f(x)的解析式； (2)若f(m＋1)<f(2－m)，求实数m的取值范围． 解：(1)因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)－2， 则当x<0时，－x>0，f(x)＝f(－x)＝－x(－x＋1)－2＝x2－x－2， 所以当x<0时，f(x)＝x2－x－2， 故f(x)＝ (2)依题意，f(x)＝x2＋x－2在[0，＋∞)上单调递增， 则f<f⇔f(|m＋1|)<f⇔|m＋1|<|m－2|，解得m<， 所以实数m的取值范围是(－∞，). 【综合运用】 10．已知函数f(x)＝＋1在[－2 025，2 025]上的最大值和最小值分别为M，N，则M＋N＝________． 解析：f(x)＝＋1，则f(x)－1＝， 令g(x)＝f(x)－1＝，定义域为[－2 025，2 025]， 则g(－x)＝＝－＝－g(x)，故g(x)为奇函数，所以g(x)max＋g(x)min＝0， 即f(x)max－1＋f(x)min－1＝0，故M＋N＝2. 答案：2 11．已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，a∈R). (1)判断f(x)的奇偶性； (2)若f(x)在[2，＋∞)是增函数，求实数a的取值范围． 解：(1)当a＝0时，f(x)＝x2， 对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，∴f(x)为偶函数． 当a≠0时，f(x)＝x2＋(a≠0，x≠0)， 取x＝±1，得f(－1)＋f(1)＝2≠0，f(－1)－f(1)＝－2a≠0， ∴f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)，∴函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数． (2)设2≤x1<x2，f(x1)－f(x2)＝x＋－x－＝[x1x2(x1＋x2)－a]， 要使函数f(x)在x∈[2，＋∞)上为増函数，必须f(x1)－f(x2)<0恒成立． ∵x1－x2<0，x1x2>4，∴即a<x1x2(x1＋x2)恒成立． 又∵x1＋x2>4，∴x1x2(x1＋x2)>16.∴a的取值范围是(－∞，16]. 12．已知函数f(x)＝是定义在[－1，1]上的奇函数，且f(1)＝1. (1)求m，n的值； (2)试判断函数f(x)的单调性，并证明你的结论； (3)求使f(a－1)＋f(a2－1)<0成立的实数a的取值范围． 解：(1)由题意，x∈[－1，1]在f(x)＝中，函数是奇函数，且f(1)＝1， 可得f(0)＝0即n＝0；又(m＋n)＝1，则m＝2，∴m＝2，n＝0；经验证满足题意． (2)由题意及(1)得，f(x)＝在[－1，1]上为增函数．证明如下： 设－1≤x1<x2≤1，则f(x1)－f(x2)＝－＝， ∵－1≤x1<x2≤1，∴x1－x2<0，x1x2<1， ∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， ∴f(x)在[－1，1]上为增函数； (3)由题意，f(x)＝，x∈[－1，1]， ∴f(a－1)＋f(a2－1)<0，即f(a－1)<－f(a2－1)＝f(1－a2)， ∴－1≤a－1<1－a2≤1，解得0≤a<1， ∴a的取值范围是[0，1). 【创新探索】 13．(多选)(新定义)给出定义：若m－<x≤m＋(其中m为整数)，则称m为离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}＝m，则下列关于函数f(x)＝x－{x}的四个说法中正确的有(　　) A.函数y＝f(x)的定义域是R，值域是(－，] B.函数y＝f(x)是偶函数 C.函数y＝f(x)是奇函数 D.函数y＝f(x)在(－，]上单调递增 解析：选AD.化简函数解析式可得， f(x)＝x－{x}＝画出函数的图象，如图所示，由图象可知函数y＝f(x)的定义域是R，值域是(－，]，故A正确． 由图可以得出，函数图象既不关于y轴对称，也不关于坐标原点对称，且f(x)在(－，]上单调递增， 故函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数，从而B，C错误，D正确． 学科网（北京）股份有限公司 $