课后分层练(二十四) 函数奇偶性的概念及判断-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（人教A版）

[课后分层练(二十四)]　函数奇偶性的概念及判断 (单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分) 【基础巩固】 1．对于定义域是R的任意奇函数f(x)，都有(　　 ) A.f(x)－f(－x)>0 B.f(x)－f(－x)≤0 C.f(x)·f(－x)≤0 D.f(x)·f(－x)>0 解析：选C.∵f(x)为奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)，f(x)·f(－x)＝f(x)·[－f(x)]＝－[f(x)]2≤0， 又f(0)＝0，∴－[f(x)]2≤0. 2．已知函数f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝x2＋2，那么f(－1)的值是(　　 ) A.－3 B．－1 C.1 D．3 解析：选A.∵函数f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝x2＋2， ∴f(－1)＝－f(1)＝－(12＋2)＝－3. 3．已知函数f(x)＝(x－1)，则f(x)为(　　) A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数又不是偶函数 解析：选D.因为f(x)＝(x－1)，则≥0，得定义域为[－1，1). 因为f(x)定义域不关于原点对称，则f(x)既不是奇函数又不是偶函数． 4．(2025·河北秦皇岛模拟)已知函数f(x)＝1－|x－2|＋|x|，则下列函数为奇函数的是(　　 ) A.y＝f(x＋1)＋1 B.y＝f(x－1)＋1 C.y＝f(x＋1)－1 D.y＝f(x－1)－1 解析：选C.因为f(x)＝1－|x－2|＋|x|， 所以f(x＋1)－1＝1－|x＋1－2|＋|x＋1|－1＝－|x－1|＋|x＋1|， 令g(x)＝f(x＋1)－1＝－|x－1|＋|x＋1|，定义域为R， 且g(－x)＝－|－x－1|＋|－x＋1|＝－(－|x－1|＋|x＋1|)＝－g(x)， 所以g(x)＝f(x＋1)－1为奇函数，故C正确； 又y＝f(x＋1)＋1＝－|x－1|＋|x＋1|＋2，为非奇非偶函数，故A错误； y＝f(x－1)＋1＝1－|x－1－2|＋|x－1|＋1＝－|x－3|＋|x－1|＋2，为非奇非偶函数，故B错误； y＝f(x－1)－1＝1－|x－1－2|＋|x－1|－1＝－|x－3|＋|x－1|，为非奇非偶函数，故D错误． 5．(多选)已知定义在区间[－7，7]上的一个偶函数，它在[0，7]上的图象如图，则下列说法正确的是(　　) A.这个函数有两个单调增区间 B.这个函数有三个单调减区间 C.这个函数在其定义域内有最大值7 D.这个函数在其定义域内有最小值－7 解析：选BC.由题意作出该函数在[－7，0]上的图象，如图所示． 由图象可知该函数有三个单调递增区间，三个单调递减区间，在其定义域内有最大值7，最小值不为－7. 6．(多选)已知函数f(x)＝mx2＋nx＋3m＋n是偶函数，且其定义域为[m－1，2m]，则(　　) A.m＝3 B.n＝0 C.函数f(x)的定义域为[－，] D.函数f(x)的最大值为 解析：选BCD.因为函数f(x)＝mx2＋nx＋3m＋n是偶函数，所以函数的定义域关于原点对称． 又因为函数f(x)的定义域为[m－1，2m]，所以m－1＋2m＝0，解得m＝，故A错误； 又因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝mx2－nx＋3m＋n＝f(x)＝mx2＋nx＋3m＋n，解得n＝0.所以函数的解析式为f(x)＝x2＋1. 定义域为[－，]，其图象是开口向上，且以y轴为对称轴的抛物线， 所以当x＝±时，f(x)取得最大值，故BCD正确． 7．已知f(x)＝x2＋bx＋1，x∈[－2a，a＋3]是偶函数，则实数a＋b的值为______． 解析：由题设知f(－x)＝f(x)，则(－x)2＋b(－x)＋1＝x2＋bx＋1，得2bx＝0恒成立，故b＝0， 由偶函数的定义域关于原点对称，则－2a＋a＋3＝0，可得a＝3， 所以a＋b＝3. 答案：3 8．若函数f(x)＝为奇函数，则a＝________． 解析：在定义f(－x)＝－f(x)中令x＝1，则f(－1)＝－f(1)， ∴＝－，解得a＝，经检验，符合题意． 答案： 9．判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x2(x2＋2)； (2)f(x)＝|x＋1|－|x－1|； (3)f(x)＝； (4)f(x)＝ 解：(1)∵x∈R，∴－x∈R. 又∵f(－x)＝(－x)2[(－x)2＋2]＝x2(x2＋2)＝f(x)，∴f(x)为偶函数． (2)∵x∈R，∴－x∈R. 又∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数． (3)由得－2≤x≤2，且x≠0，所以定义域为[－2，0)∪(0，2]，关于原点对称， 所以f(x)＝＝＝. 又f(－x)＝＝－＝－f(x)， 所以f(x)是奇函数． (4)函数f(x)的定义域为R，定义域关于原点对称． ①当x＝0时，－x＝0， 所以f(－x)＝f(0)＝0，f(x)＝f(0)＝0， 所以f(－x)＝－f(x)； ②当x>0时，－x<0，所以f(－x)＝－(－x)2－2(－x)－3＝－(x2－2x＋3)＝－f(x)； ③当x<0时，－x>0，所以f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝－(－x2－2x－3)＝－f(x). 综上，可知函数f(x)为奇函数． 【综合运用】 10．设函数f(x)，g(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(　　) A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数 C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数 解析：选C.易知选项ABCD中的函数定义域即为R； 因为f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，所以f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)， 对于A，f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)，故f(x)g(x)是奇函数，即A错误； 对于B，|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)，故|f(x)|g(x)是偶函数，即B错误； 对于C，f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，故f(x)|g(x)|是奇函数，即C正确； 对于D，|f(－x)g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|，故|f(x)g(x)|是偶函数，即D错误． 11．(多选)函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2－1，则(　　 ) A.f(－1)＝－1 B．g(－1)＝2 C.f(1)＋g(1)＝1 D．f(1)＋g(1) ＝2 解析：选AC.由f(x)－g(x)＝x3＋x2－1得：f(－x)－g(－x)＝－x3＋x2－1， 又f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，∴－f(x)－g(x)＝－x3＋x2－1； 由 得f(x)＝x3，g(x) ＝－x2＋1； 对于A，f(－1)＝(－1)3＝－1，A正确； 对于B，g(－1)＝－(－1)2＋1＝0，B错误； 对于CD，f(1)＋g(1)＝1－1＋1＝1，C正确，D错误． 12．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为________． 解析：当x>0时，不等式f(x)>x转化为x2－4x>x，∴x>5，由函数是奇函数，图象关于原点对称，因此当x<0时不等式f(x)>x的解集为－5<x<0，综上不等式的解集为(－5，0)∪(5，＋∞). 答案：(－5，0)∪(5，＋∞) 13．已知函数f(x)＝，若f(a)＝，则f(－a)＝________. 解析：根据题意，f(x)＝＝1＋， 而h(x)＝是奇函数， 故f(－a)＝1＋h(－a)＝1－h(a)＝2－[1＋h(a)]＝2－f(a)＝2－＝. 答案： 14．(2025·内蒙古鄂尔多斯期末)已知函数f(x)＝ax＋(a，b∈R). (1)判断f(x)的奇偶性，并用定义进行证明； (2)若b＝2a，试讨论f(x)在(，＋∞)上的单调性． 解：(1)当a＝b＝0时，f(x)＝0(x≠0)既是奇函数也是偶函数； 当a，b不同时为0时，f(x)是奇函数，证明如下： 函数f(x)的定义域为，对于∀x∈，都有－x∈， 且f(－x)＝a(－x)＋＝－(ax＋)＝－f(x)， 故f(x)为奇函数． 综上，当a＝b＝0时，f(x)既是奇函数也是偶函数；当a，b不同时为0时，f(x)是奇函数． (2)当b＝2a时，f(x)＝ax＋＝a. 当a＝0时，f(x)＝0在(，＋∞)上无单调性； 当a≠0时，任取x1，x2∈(，＋∞)，且x1<x2， 则f－f＝a(x1－x2＋－)＝a(x1－x2)·， ∵x1，x2∈(，＋∞)，且x1<x2， ∴x1－x2<0，x1x2>2，x1x2－2>0. 若a>0，则f－f＝a(x1－x2)·<0，即f<f， ∴f(x)在(，＋∞)上单调递增； 若a<0，则f－f＝a(x1－x2)·>0，即f>f， ∴f(x)在(，＋∞)上单调递减． 【创新探索】 15．已知函数f(x)对一切x、y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y). (1)求证：f(x)是奇函数； (2)若f(－3)＝a，试用a表示f(12). 解：(1)证明：由已知f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，令y＝－x得f(0)＝f(x)＋f(－x)， 令x＝y＝0得f(0)＝2f(0)，所以f(0)＝0. 所以f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，故f(x)是奇函数． (1) 因为f(x)为奇函数．所以f(－3)＝－f(3)＝a，所以f(3)＝－a.又f(12)＝f(6)＋f(6)＝2f(3)＋2f(3)＝4f(3)，所以f(12)＝－4a. 学科网（北京）股份有限公司 $